Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d. Wykład 4 Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d. Ruchem ośrodka ciągłego rządzą prawa Newtona wraz z prawem zachowania masy: Bilans pędu W stanie równowagi dla ciała stałego: Bilans momentu pędu Bilans masy Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d. Na poprzednim wykładzie rozpatrzyliśmy przypadek równowagi: masa *przyspieszenie x2 V r r+dr x1 x3 funkcja czterech zmiennych Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d. x2 V Wektor przyśpieszenia: r r+dr x1 x3 Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d. Pochodna wędrowna: Czyli masa * przyspieszenie ( na jednostkę masy ) : Gęstość płynu ( kg/m3) Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d. Ostatecznie : Dla płynów siły powierzchniowe oddziałują tylko na powierzchnię objętości kontrolnej. Przykładem sił powierzchniowych są siły ciśnieniowe oraz naprężenia lepkie. Ciśnienie działa zawsze normalnie do powierzchni ścianki i reprezentuje naprężenia działające na element płynu w spoczynku. Naprężenia lepkie pojawiają się podczas ruchu elementu płynu i działają normalnie, oraz stycznie do powierzchni. Sumaryczny tensor naprężeń jest definiowany jako: naprężenia lepkie ciśnienie Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d. Sumaryczna siła działająca na element kontrolny związana jest z pojawieniem się gradientu naprężeń. Dla rozpatrywanego układu składowa x sił powierzchniowych może być wyznaczona z bilansu Pozostałe składowe wyznacza się analogicznie: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d. Przeliczając składowe siły na jednostkę objętości i mnożąc przez objętość elementu kontrolnego otrzymujemy: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d. Dla dx, dy, dz  0: Siła powierzchniowa na Jednostkę objętości: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d. Ostatecznie równanie bilansu pędu można zapisać: Gdzie siła masowa to grawitacja Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d. Zbiornik wypełniony nieruchomym płynem: Z=0 Z=h Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d. Pod wpływem działania naprężeń w ośrodku ciągłym pojawiają się odkształcenia. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Czym jest odkształcenie ? Jedną z metod podejścia jest traktowanie odkształcenia jako „odwzorowanie” pierwotnego stanu ciała na stan ciała odkształconego. W Mechanice Ośrodków Ciągłych (MOC) konfiguracja ciała stałego opisana jest przez ciągły model matematyczny, którego punkty geometryczne identyfikuje się z położeniami cząstek materialnych danego ciała. Gdy takie ciało zmienia swą konfigurację wskutek pewnych oddziaływań fizycznych, zakładamy, że zmiana ta jest ciągła; znaczy to iż punkty będące sąsiadami przed odkształceniem pozostają sąsiadami i po odkształceniu. Pęknięcia które prowadzą do powstawania nowych powierzchni granicznych muszą być traktowane oddzielnie i wymagają oddzielnego opisu !!!!

ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Niech układ współrzędnych a1, a2, a3 będzie tak wybrany, że punkt P w danej chwili czasu jest określony za pomocą współrzędnych ai . W następnym momencie ciało odkształca się. Czyli przechodzi do nowej konfiguracji. Punkt P przechodzi do punktu Q ze współrzędnymi xi. względem nowego układu współrzędnych (a1,a2,a3) (x1,x2,x3) (w ogólności mogą być to układy krzywoliniowe) Założymy że , zmiana konfiguracji ciała jest ciągła oraz odwzorowanie punktu P na Q jest zależnością jednoznaczną. Prawo transformacji: (3.1)

ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Jeśli P, P`, i P`` są punktami sąsiednimi tworzącymi trójkąt w konfiguracji pierwotnej i jeśli w wyniku odkształcenia przechodzą one w punkty Q, Q`, Q``, to zmiana powierzchni i kątów omawianego trójkąta jest całkowicie określona jeśli znamy zmiany długości boków trójkąta. Odkształcenia ciała mają fizyczny związek z naprężeniami. Opis zmian odległości między dwoma dowolnymi punktami ciała jest kluczem do analizy odkształceń !!!! Rozważmy nieskończenie mały element liniowy łączący punkt P(a1,a2,a3) z punktem P`(a1 + da1, a2 + da2, a3 + da3 ). Kwadrat długości ds0 odcinaka PP` w konfiguracji pierwotnej jest dany przez zależność Pitagorasa ( przestrzeń jest Euklidesowa) lub w notacji tensorowej gdzie aij obliczone dla punktu P jest euklidesowym tensorem metrycznym dla układu współrzędnych ai

ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ ANALIZA TENSOROWA Oznaczenia i umowa sumacyjna W rachunku tensorowym szeroko stosuje się oznaczenia wskaźnikowe. Zbiór n zmiennych x1, x2,…,xn oznacza się zwykle xi, i=1,…,n. Równanie płaszczyzny w przestrzeni 3-wymiarowej x1,x2,x3 ma postać (ai, i p to stałe): Można to zapisać krócej: Jeszcze krótszy jest zapis przy użyciu tzw. konwencji sumacyjnej

ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Konwencja ta brzmi : Powtórzenie jakiegokolwiek wskaźnika ( niezależnie czy jest to wskaźnik dolny czy górny) w pewnym wyrażeniu oznacza sumowanie względem tego wskaźnika w całym jego zakresie. Wskaźnik względem którego odbywa się sumowanie nosi nazwę wskaźnika niemego. Wskaźnik względem którego nie ma sumowania, nosi nazwę wskaźnika wolnego. Gdy punkty P i P` po odkształceniu przechodzą w punkty Q(x1,x2,x3) i Q`(x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3) kwadrat długości ds nowego elementu QQ` wynosi: albo gdzie gij obliczone dla punktu Q jest euklidesowym tensorem metrycznym dla układu współrzędnych xi korzystając z równań (3.1) odpowiednie przyrosty możemy wyznaczyć z:

ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Czyli kwadraty długości odpowiednio wyniosą: Różnica między kwadratami długości elementów może być zapisana, po kilku zmianach wskaźników niemych jako: albo:

ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Określmy teraz tensor odkształcenia: tak, że (3.2) (3.3)

ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Tensor odkształcenia (strain tensor) Eij został wprowadzony przez Greena i Sain-Venanta i nosi nazwę tensora odkształcenia Greena. Tensor odkształcenia (strain tensor) eij został wprowadzony przez Cauchy`ego dla nieskończenie małych odkształceń oraz przez Almansiego i Hamela dla odkształceń skończonych i znany jest jako tensor odkształceń Almansiego. Przez analogię do terminologii stosowanej w hydrodynamice Eij jest często nazywany tensorem odkształcenia we współrzędnych Lagrangea, podczas gdy eij nazywany jest tensorem odkształcenia we współrzędnych Eulera. Tensory Eij i eij są tensorami symetrycznymi to jest:

ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Z równań (3.2) i (3.3) wynika fundamentalne stwierdzenia że, koniecznym i dostatecznym warunkiem na to by odkształcenie ciała było ruchem sztywnym ( to znaczy by składało się z translacji i obrotu bez zmian odległości między poszczególnymi cząstkami) jest, by wszystkie składowe tensora odkształcenia Eij lub eij były równe zeru w całym obszarze ciała W powyższym opisie wykorzystywaliśmy dwa układy współrzędnych ai i xi Istnieją dwa szczególnie korzystne sposoby wyboru współrzędnych: Używamy jednego i tego samego układu prostokątnych współrzędnych kartezjańskich zarówno dla pierwotnej konfiguracji jak też dla konfiguracji ciała odkształconego. w tym przypadku tensor metryczny jest nadzwyczaj prosty:

ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ II. Zniekształcamy układ odniesienia w konfiguracji ciała odkształconego w taki sposób aby współrzędne x1, x2, x3 danej cząsteczki miały te same wartości liczbowe jak w konfiguracji pierwotnej tj. a1, a2, a3. W tym przypadku: i równania (3.2) i (3.3) redukują się do postaci: Wszystkie informacje o odkształceniu są zawarte w zmianie tensora metrycznego przy przejściu od układu odniesienia dla konfiguracji pierwotnej do zniekształconego układu odniesienia dla konfiguracji końcowej. Tak wybrane współrzędne noszą nazwę współrzędnych unoszenia lub współrzędnych wewnętrznych.

ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Znaczenie poszczególnych składowych tensora odkształcenia. ( wybór I) Tensor odkształcenia w prostokątnych współrzędnych kartezjańskich Jeśli korzystamy z tego samego kartezjańskiego prostoliniowego i ortogonalnego układu współrzędnych do opisu zarówno konfiguracji pierwotnej jak też końcowej to: Wprowadźmy wektor przemieszczenia u ze składowymi: a3, x3 (a1, a2, a3) (x1, x2, x3) a2, x2 a1, x1 wówczas:

ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ oraz tensory odkształcenia redukują się do prostej postaci:

ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Podstawmy oznaczenia nieskrócone ( x, y, z zamiast x1, x2, x3 oraz u, v, w zamiast u1, u2, u3) Jeśli składowe przemieszczenia ui są takie, iż ich pierwsze pochodne są na tyle małe, że kwadraty i iloczyny pochodnych cząstkowych ui można zaniedbać wówczas eij redukuje się do tensora nieskończenie małego odkształcenia Cauchy`ego W przypadku przemieszczeń nieskończenie małych znika różnica między tensorami odkształcenia Lagrange`a i Eulera

ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Geometryczna interpretacja składowych nieskończenie małego odkształcenia Niech x, y, z będą współrzędnymi prostokątnego układu współrzędnych. Rozważmy element dx Zmiana kwadratu długości tego elementu wskutek odkształcenia wynosi rów. (3.2): W tym szczególnym ds = dx a ds0 różni się od ds tylko o nieskończenie małą wielkość drugiego rzędu. Stąd: i przedstawia to wydłużenie względne

ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Rozważmy nieskończenie mały element o bokach dx i dy. suma przedstawia zmianę konta xOy będącego pierwotnie katem prostym W praktyce inżynierskiej podwójne składowe odkształcenia eij noszą nazwę odkształceń postaciowych

ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Przypadek 3 nosi nazwę odkształcenia czysto postaciowego Wielkość nosi nazwę elementarnego obrotu elementu dxdy. Nazwa taka jest sugerowana przez przypadek 4 bo jeśli: to i ωz jest istotnie katem obrotu elementu prostokątnego jako ciała sztywnego.

ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Jeśli tensor odkształcenia znika w punkcie P, można dowieść, że dla pola nieskończenie małych odkształceń nieskończenie mały obrót otoczenia punktu P jako ciała sztywnego przedstawia wektor ωi Weźmy punkt P` z otoczenia punktu P. Niech współrzędne punku P i P` będą odpowiednio xi i xi + dxi. Przemieszczenie P` względem P wynosi: (vorticity tensor) tensor obrotu