RÓWNANIE FALI Drgania harmoniczne punktu materialnego odbywające się wokół położenia równowagi można opisać podając zależność wychylenia od czasu:  = 0;  = 0; t = 0; Umownie przyjmujemy, że zaburzenie  = 0 odpowiada chwili przyjętej za początek rachuby czasu (t = 0). Niech zaburzenie (stan drgania) przesuwa się w przestrzeni np. w kierunku osi z. Wówczas cząstka znajdująca się w punkcie o współrzędnej z  0 będzie opóźniona w drganiach względem cząstki znajdującej się w punkcie 0 (z = 0) – źródła fali. Opóźnienie jest proporcjonalne do odległości „z” od źródła fali. Załóżmy, że stan drgań przesuwa się ruchem jednostajnym z prędkością V. Do punktu B’, odległego od źródła fali (punktu 0) o z’, zaburzenie dociera z opóźnieniem t = z’ / v

Wychylenie ’ punktu B’, z położenia równowagi wyraża się wzorem: RÓWNANIE FALI Wychylenie ’ punktu B’, z położenia równowagi wyraża się wzorem: T – okres drgań wychylenie punktu B’ wychylenie punktu B”

RÓWNANIE FALI Jaki warunek musi spełnić odległość (z” - z’) aby punkty B’ i B” były najbliższymi punktami w których w każdej chwili wychylenia od położenia równowagi są identyczne ? Z okresowości funkcji sinus wynika, że ’ = ” jeśli argumenty pod znakiem „sin” będą się różniły o całkowitą wielokrotność 2. stąd z” – z’ = vT odległość tę nazywamy długością fali 

równanie fali płaskiej, harmonicznej Długość fali równa się drodze, jaką zaburzenie przebywa w czasie jednego okresu drgania źródła. Ogólnie: – liczba falowa równanie fali płaskiej, harmonicznej gdzie:  – wychylenie z położenia równowagi cząstki znajdującej się w odległości „z” od źródła fali, po czasie t ω – pulsacja źródła fali A0 – amplituda drgań źródła fali

Kierunek rozchodzenia się fali nazywamy promieniem fali. RÓWNANIE FALI Kierunek rozchodzenia się fali nazywamy promieniem fali. Zbiór punktów przestrzeni, którym odpowiada jednakowa faza drgań związanych z określoną falą, nazywamy czołem fali lub jej powierzchnią falową. Fale płaskie: powierzchnie falowe w przestrzeni – płaszczyzny równoległe linie falowe w przestrzeni dwuwymiarowej – proste równoległe

równanie fali kulistej (kolistej) Fale, których czoło stanowi w przestrzeni trójwymiarowej powierzchnia kuli, zaś w przestrzeni dwuwymiarowej okrąg koła nazywamy odpowiednio falami sferycznymi i kolistymi. Fale takie pochodzą od źródeł punktowych. Amplituda fali kulistej maleje wraz ze wzrostem odległości od źródła. Przy założeniu, iż nie ma strat energii, amplitudę fali opisuje wzór: gdzie: R – promień źródła fali r – odległość od źródła A0 – amplituda w odległości 1m od źródła a w przypadku źródła punktowego równanie fali kulistej (kolistej)

RÓWNANIE FALI Źródła Z1 i Z2 są źródłami fal sinusoidalnych rozchodzących się w ośrodku izotropowym, jednorodnym. Niech fale te będą wzbudzane przez punktowe źródła Z1 i Z2, których pulsacja drgań równa się odpowiednio 1 i 2, a fazy początkowe wynoszą 1 i 2.

Drgania wzbudzane w punkcie P będą spełniać równania: RÓWNANIE FALI Drgania wzbudzane w punkcie P będą spełniać równania: Oznaczmy: Stąd: Zgodnie z zasadą superpozycji drgań, wypadkowe drganie w punkcie P opisuje wzór:

Możliwe są dwa przypadki: RÓWNANIE FALI 2 gdzie: Możliwe są dwa przypadki: Różnica faz (1 - 2) zależy od czasu (zmienia się w czasie) – źródła Z1 i Z2 nazywamy niespójnymi. 2. Różnica faz (1 - 2) nie zależy od czasu. Fale takie i wzbudzające je źródła nazywamy spójnymi.

Zakładamy, że 1 = 2 , zaś  = T  T1 = T2; v = const; stąd k1 = k2 RÓWNANIE FALI W przypadku 2 (1 - 2) nie zależy od czasu, zatem (1 - 2)t = 0, stąd 1 - 2 = 0, więc 1 = 2, T1 = T2. Wówczas (1 - 2) nie jest funkcją czasu. Zakładamy, że 1 = 2 , zaś  = T  T1 = T2; v = const; stąd k1 = k2 Amplituda drgań w punkcie P zależy od różnicy faz 1 - 2, a ta z kolei zależy od odległości punktu P od źródeł Z1 i Z2. Przypadek 1 a) max interferencyjne w P

- maksimum interferencyjne RÓWNANIE FALI b) - maksimum interferencyjne Maksimum interferencyjne w punkcie P: Różnica dróg przebytych przez fale ze źródeł Z1 i Z2 do punktu P równa jest całkowitej wielokrotności długości fali (przy założeniu, że 1 = 2) lub jest równa 0.

- minimum interferencyjne RÓWNANIE FALI Przypadek 2 - minimum interferencyjne Minimum interferencyjne w punkcie P: Różnica dróg przebytych przez fale ze źródeł Z1 i Z2 do punktu P równa jest nieparzystej wielokrotności połowy długości fali.

RÓWNANIE FALI

Rozpatrzmy przypadek interferencji fal: „biegnącej” i odbitej. FALE STOJĄCE Rozpatrzmy przypadek interferencji fal: „biegnącej” i odbitej. Falę płaską biegnącą wzdłuż osi x opisuje równanie: Fala odbita przebywa dodatkową drogę (2x) do P.

Wynik interferencji w punkcie P: FALE STOJĄCE Wprowadźmy parametr d w celu scharakteryzowania warunków odbicia (od ściany sztywnej fala odbija się ze zmianą fazy na przeciwną, od swobodnego końca bez zmiany fazy). Zatem równanie opisujące falę odbitą ma postać: Wynik interferencji w punkcie P:

*) Amplituda w punkcie P FALE STOJĄCE Amplituda w punkcie P *) Ze wzoru *) wynika, że amplituda drgań cząstki (np. liny, węża gumowego) zależy od odległości cząstki (punktu P) od końca B (liny, węża), czyli od x. Dla x = 0, A = 0 (sznur przymocowany do ściany) Wtedy zaś ponieważ x = 0 to Jeśli koniec jest nieruchomy faza przy odbiciu fali zmienia się na przeciwną. W punkcie B jest węzeł fali (A = 0).

W jakich położeniach cząstki liny mają maksymalną amplitudę ? Licząc od ściany W odległościach x’, x”, x”’ powstają strzałki (cząstki mają maksymalną amplitudę)

Obliczamy położenia węzłów: FALE STOJĄCE Obliczamy położenia węzłów: A = 0 zatem: Węzły powstają w położeniach (licząc od końca liny B)

Przy odbiciu od swobodnego końca fale odbijają się bez zmiany fazy. FALE STOJĄCE Zakładamy teraz, że koniec liny jest swobodny. Na końcu liny powstaje strzałka: Jeśli x = 0, to i d = 0. Przy odbiciu od swobodnego końca fale odbijają się bez zmiany fazy. Położenie strzałek i węzłów można obliczyć podobnie jak wyżej.

oraz o długości ( + d) z prędkością PRĘDKOŚĆ GRUPOWA Rozważmy przypadek, gdy w danym ośrodku biegną fale o długości  z prędkością oraz o długości ( + d) z prędkością Obie fale biegną w kierunku osi x (rysunek). Obliczamy prędkość u wierzchołka fali powstałej w wyniku superpozycji obu fal. U – prędkość grupowa W chwili t = 0 wierzchołek „grupy” fal znajduje się w punkcie B (B’). Po czasie t wierzchołek „grupy” fal przesunął się na odległość s (teraz zgodne fazy mają punkty A i A’). Zatem ale stąd *)

podstawiamy do wzoru *) PRĘDKOŚĆ GRUPOWA Z rysunku podstawiamy do wzoru *) U <   - prędkość fazowa Jeśli w ośrodku nie występuje tzw. dyspersja to wtedy U = v

PRĘDKOŚĆ GRUPOWA

normalną do powierzchni. Amplituda = 0, gdy ZASADA HUYGENSA – FRESNELA. UGIĘCIE FALI Treść zasady Huygensa-Fresnela składa się z przyjętych bez dowodu postulatów: Źródło fali Z można zastąpić układem fikcyjnych źródeł fal wtórnych. Jako te fikcyjne źródła można przyjąć małe odcinki zamkniętej powierzchni otaczającej źródło Z. 2. Źródła wtórne są spójne. Za powierzchnię S przyjmuje się powierzchnię falową. Wtedy fazy drgań źródeł wtórnych są takie same, a także moce wtórnych źródeł są jednakowe. 3. Amplituda fali wtórnej jest tym mniejsza im większy jest kąt , jaki tworzy kierunek fali z normalną do powierzchni. Amplituda = 0, gdy Nie istnieją fale wsteczne. 4. Jeżeli część powierzchni S jest zasłonięta, fale wtórne wysyłane są tylko przez odsłoniętą część powierzchni S. Wysyłanie fal odbywa się tak, jak w nieobecności osłony.

ZASADA HUYGENSA – FRESNELA. UGIĘCIE FALI Każdy punkt ośrodka, w którym rozchodzi się fala jest źródłem fal cząstkowych; obwiednia fal cząstkowych tworzy czoło fali (powierzchnie falową).

Odbicie fali. Prawo odbicia.  - kąt padania  - kąt odbicia

Kąt odbicia fali równa się kątowi padania. ODBICIE FALI, PRAWO ODBICIA AD = BC (fala cząstkowa rozejdzie się na odległość AD w czasie, w którym czoło fali padającej przebędzie odległość CB) z przystawania trójkątów (kąty o ramionach wzajemnie prostopadłych są sobie równe) prawo odbicia Kąt odbicia fali równa się kątowi padania.

1 – prędkość fali padającej w ośrodku I ZAŁAMANIE FALI, PRAWO ZAŁAMANIA  – kąt załamania 1 – prędkość fali padającej w ośrodku I 2 – prędkość fali załamanej w ośrodku II

prawo załamania ramiona wzajemnie prostopadłe współczynnik załamania ośrodka II względem I prawo załamania

NATĘŻENIE FALI Rozchodzenie się fali polega na przekazywaniu energii (w przypadku fal mechanicznych – przekazywaniu energii ruchu drgającego cząstek ośrodka). Natężeniem fali nazywamy wielkość liczbową równą ilości energii przenoszonej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali. Ponieważ energia ruchu drgającego cząstek ośrodka jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy drgań wokół ich położeń równowagi ( ~ A2) zatem natężenie fali jest również proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali. ~

TŁUMIENIE FAL Rozchodzeniu się fali w ośrodku towarzyszy pochłanianie energii (część energii drgań zamienia się w energię ruchu cieplnego). Załóżmy, że fala płaska przechodzi przez warstwę substancji o grubości x. Natężenie fali zmienia się od wartości I0 do I, przy czym I < I0. Przeźroczystość danej substancji D dla danej fali wyraża się stosunkiem:

 – współczynnik pochłaniania energii w ośrodku TŁUMIENIE FAL Przyjmując, że ilość energii pochłoniętej w warstwie o grubości dx w jednostce czasu i w jednostkowej powierzchni jest proporcjonalna do I i dx, możemy zapisać: gdzie:  – współczynnik pochłaniania energii w ośrodku Całkując stronami otrzymujemy: C wyznaczamy z warunków początkowych – jeśli x = 0, to I = I0  lnI0 = C

TŁUMIENIE FAL Zatem Wniosek: Natężenie fali wykładniczo maleje z grubością warstwy (przy stałym ).

TŁUMIENIE FAL

a o częstości f > 20 000 Hz ultradźwiękami. AKUSTYKA Fale akustyczne są to fale podłużne rozchodzące się w ośrodku sprężystym. Źródłami fal akustycznych (głosowych) są ciała drgające (struny, membrany). Ucho ludzkie odbiera fale głosowe w przedziale częstości 20 – 20 000 Hz. Fale o częstości f < 20 Hz nazywamy infradźwiękami, a o częstości f > 20 000 Hz ultradźwiękami. W zależności od kształtu widma akustycznego rozróżniamy: 1. tony 2. dźwięki 3. szumy Tzw. szumy nie maja charakteru periodycznego. Odpowiada im ciągły zakres częstości.

Dźwięki słyszalne charakteryzujemy podając: AKUSTYKA f f0 2f0 4f0 Dźwięki słyszalne charakteryzujemy podając: częstość drgań (wysokość dźwięku) 2. amplitudę drgań (głośność – natężenie dźwięku) 3. widmo akustyczne (barwę dźwięku)

Za głośność wzorcową przyjmujemy głośność dźwięku o częstości 1 kHz AKUSTYKA Za głośność wzorcową przyjmujemy głośność dźwięku o częstości 1 kHz i natężeniu I0 = 10-12 J/m2s (próg słyszalności) Głośność dźwięku o tej samej częstości i o innym natężeniu I określamy prawem Webera: Głośność wyrażamy w belach (B) lub decybelach (dB): 1dB = 0,1 B Np. I = 1000 I0, to  = lg1000 = 3 B = 30 dB

1 kHz i głośności  dB, to jego głośność określamy jako  fonów. AKUSTYKA Głośność dźwięku o innej częstości porównujemy z głośnością dźwięku o częstości 1 kHz. Wówczas głośność wyrażamy w fonach. Tzn. jeśli dany dźwięk wydaje się „tak samo głośny” jak dźwięk o częstości 1 kHz i głośności  dB, to jego głośność określamy jako  fonów. Próg bólu: 120 dB przy f = 5000 Hz szelest liści rozmowa hałas uliczny fortissimo orkiestry 10 – 20 dB 50 – 70 dB 80 – 90 dB 90 – 100 dB

AKUSTYKA

n Gdy źródło jest nieruchome to w czasie t wysyła n zagęszczeń. AKUSTYKA. EFEKT DOPPLERA Gdy źródło jest nieruchome to w czasie t wysyła n zagęszczeń. W tym czasie pierwsze zagęszczenie przebędzie odległość s = Vdt n

n n n n n n 1.Ruchome źródło dźwięku, nieruchomy obserwator EFEKT DOPPLERA 1.Ruchome źródło dźwięku, nieruchomy obserwator Jeśli Z porusza się z prędkością Vz, to n zagęszczeń znajdzie się w odległości: n n W tym przypadku ale , zaś n n n Zatem , ale więc n

EFEKT DOPPLERA Jeśli źródło oddala się od obserwatora to : n

n 2.Nieruchome źródło dźwięku, obserwator porusza się z prędkością Vo EFEKT DOPPLERA 2.Nieruchome źródło dźwięku, obserwator porusza się z prędkością Vo n

n n n n t’ – czas, w którym obserwator minie n zagęszczeń EFEKT DOPPLERA n t’ – czas, w którym obserwator minie n zagęszczeń n n n