Zmienna losowa. Wybrane rozkłady zmiennej. Przedział ufności. Jacek Szanduła

Eksperyment statystyczny. Zdarzenie elementarne Eksperyment statystyczny. Zdarzenie elementarne. Przestrzeń zdarzeń elementarnych. Eksperyment statystyczny – działanie lub proces obserwacji prowadzące do pojedynczego wyniku, którego nie można przewidzieć z pewnością. Zdarzenie elementarne – pojedynczy, najbardziej podstawowy wynik eksperymentu statystycznego. Przestrzeń zdarzeń elementarnych, zbiór zdarzeń elementarnych – zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych danego eksperymentu. Jacek Szanduła

Przykład przestrzeni zdarzeń elementarnych Eksperyment statystyczny: rzut kostką Jest 6 możliwych wyników (zdarzeń elementarnych): Zdarzenie elementarne Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem złożonym z 6 elementów:  : { , , , , , } Jacek Szanduła

Zmienna losowa Formalnie: Nieformalnie: Funkcja przyporządkowująca wartość rzeczywistą każdemu zdarzeniu elementarnemu Ei w przestrzeni zdarzeń Ω: X: EiΩ → R Nieformalnie: Zmienna ilościowa, która reprezentuje możliwy wynik eksperymentu statystycznego. Jacek Szanduła

Zmienna losowa – przykład 1 Eksperyment: rzut kością. Możliwe wartości: 1 2 3 4 5 6 Zdarzenie elementarne Wartość rzeczywista Jacek Szanduła

Zmienna losowa – przykład 2 Eksperyment: pięciokrotny rzut monetą. Zmienna losowa – liczba orłów. Możliwe wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5 2 Zdarzenie elementarne Wartość zmiennej Jacek Szanduła

Zmienna losowa dyskretna i ciągła Zmienna losowa dyskretna, zmienna losowa skokowa Zbiór możliwych wyników jest przeliczalny np.: liczba zawartych dziś transakcji: x = 0, 1, 2, … Zmienna losowa ciągła Zbiór możliwych wyników jest nieprzeliczalny np.: czas spóźnienia na zajęcia: x  [0, 90 min.] Jacek Szanduła

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej dyskretnej – przykład Eksperyment: trzykrotny rzut monetą. Zmienne losowa: Liczba orłów (X). Ω: {OOO, OOR, ORO, ORR, RRR, RRO, ROR, ROO} Wartość zmiennej xi Prawdopodobieństwo pi 1/8 1 3/8 2 3 p 0,325 0,250 0,125 xi 1 2 3 Jacek Szanduła

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej – przykład Autobusy jeżdżą co 15 minut. Są punktualne, lecz nie wiemy kiedy jechał ostatni autobus. f (czas) a = 1/15 czas [minuta] 5 10 15 Jacek Szanduła

Parametry zmiennych losowych Dyskretna Ciągła Wartość oczekiwana Wariancja gdzie: Odchylenie standardowe Mediana Modalna, dominanta Jacek Szanduła

Rozkład normalny Zmienna losowa X ma rozkład normalny ze średnią μ i odchyleniem standardowym σ, co zapisujemy X ~ N(μ, σ), jeżeli jej funkcja gęstości i dystrybuanta dane są następującymi wzorami: Jacek Szanduła

Rozkład normalny – wykresy Jacek Szanduła

Rozkład normalny – prawdopodobieństwa Jacek Szanduła

Standaryzacja Transformacja zmiennej losowej na zmienną o zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej wariancji. Jeżeli E(X) = μ i V(X) = σ2, to: Zmienna standaryzowana: Jeżeli X ~ N(μ, σ), to Z ~ N(0, 1). Z ma standaryzowany (standardowy) rozkład normalny. Jacek Szanduła

Tablice rozkładu normalnego Z ~ N(0, 1) Jacek Szanduła

Rozkład normalny – funkcje w MS Excel 2013 P(X<1,7) = ? ROZKŁ.NORMALNY(1,7;0;1;1) 0,955 ROZKŁ.NORMALNY.S(1,7;1) ? 1,7 P(X<x0) = 0,6  x0 = ? ROZKŁ.NORMALNY.ODWR(0,6;0;1) 0,6 ROZKŁ.NORMALNY.S.ODWR(0,6) x0 0,253 Jacek Szanduła

Rozkład normalny – przykład Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15). Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby: 100 < IQ < 120; 80 < IQ < 120; IQ < 120 IQ < 85; IQ > 150; 90 < IQ < 130; 120 < IQ < 130. Jacek Szanduła

Rozkład normalny – przykład Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15). Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby: 100 < IQ < 120; z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 … 1,1 0,364 0,367 0,369 0,371 0,373 1,2 0,385 0,387 0,389 0,391 0,393 1,3 0,403 0,405 0,407 0,408 0,410 1,4 0,419 0,421 0,422 0,424 0,425 z = 1,(3) Jacek Szanduła

Rozkład normalny – przykład Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15). Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby: 80 < IQ < 120; 1,(3) - 1,(3) - 1,(3) 1,(3) 1,(3) Jacek Szanduła

Rozkład normalny – przykład Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15). Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby: IQ < 120 1,(3) 1,(3) Jacek Szanduła

Rozkład normalny – przykład Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15). Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby: IQ < 85; z 0,00 0,01 0,02 … 0,9 0,316 0,319 0,321 1,0 0,341 0,344 0,346 1,1 0,364 0,367 0,369 1,2 0,385 0,387 0,389 -1 1 Jacek Szanduła

Rozkład normalny – przykład Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15). Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby: IQ > 150; Ponad 3σ 3,33 Jacek Szanduła

Rozkład normalny – przykład Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15). Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby: 90 < IQ < 130; 0,(6) -0,(6) -0,(6) 2 2 Jacek Szanduła

Rozkład normalny – przykład Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15). Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby: 120 < IQ < 130. Jacek Szanduła

Rozkład chi-kwadrat Zmienna losowa ma rozkład chi-kwadrat z n stopniami swobody Χ ~ χ2n, jeżeli jest sumą kwadratów n niezależnych zmiennych losowych o standaryzowanym rozkładzie normalnym: Jacek Szanduła

Rozkład chi-kwadrat – wykresy f(x) ~ χ23 F(x) ~ χ23 Jacek Szanduła

Tablice rozkładu chi-kwadrat P(X>x0) x0 Jacek Szanduła

Rozkład chi-kwadrat – funkcje w MS Excel 2013 ROZKŁ.CHI.PS(12; 9) 0,213 12 ROZKŁ.CHI.ODWR.PS(0,6;9) 0,6 7,36 Jacek Szanduła

Rozkład chi-kwadrat – przykład Zmienna X ma rozkład chi-kwadrat z 5 stopniami swobody Χ ~ χ25 . Oblicz prawdopodobieństwa: P(X > 1,61), P(X < 11,07). Znajdź wartość x0, jeżeli: P(X > x0) = 0,8, P(X < x0) = 0,9. Jacek Szanduła

Rozkład chi-kwadrat – przykład Zmienna X ma rozkład chi-kwadrat z 5 stopniami swobody Χ ~ χ25 . Oblicz prawdopodobieństwa: P(X > 1,61) P(X > 1,61) ≈ 0,9 1,61 p n 0,99 0,95 0,9 0,8 0,5 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 … 3 0,115 0,352 0,584 1,005 2,366 4,642 6,251 7,815 9,837 11,345 4 0,297 0,711 1,064 1,649 3,357 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277 5 0,554 1,145 1,610 2,343 4,351 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086 6 0,872 1,635 2,204 3,070 5,348 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812 Jacek Szanduła

Rozkład chi-kwadrat – przykład Zmienna X ma rozkład chi-kwadrat z 5 stopniami swobody Χ ~ χ25 . Oblicz prawdopodobieństwa: P(X < 11,07) P(X < 11,07) P(X > 11,07) ≈ 1 – 0,05 = 0,95 11,07 p n 0,99 0,95 0,9 0,8 0,5 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 … 3 0,115 0,352 0,584 1,005 2,366 4,642 6,251 7,815 9,837 11,345 4 0,297 0,711 1,064 1,649 3,357 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277 5 0,554 1,145 1,610 2,343 4,351 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086 6 0,872 1,635 2,204 3,070 5,348 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812 Jacek Szanduła

Rozkład chi-kwadrat – przykład Zmienna X ma rozkład chi-kwadrat z 5 stopniami swobody Χ ~ χ25 . Znajdź wartość x0, jeżeli: P(X > x0) = 0,8, P(X > x0) = 0,8  x0 = 2,343 x0 p n 0,99 0,95 0,9 0,8 0,5 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 … 3 0,115 0,352 0,584 1,005 2,366 4,642 6,251 7,815 9,837 11,345 4 0,297 0,711 1,064 1,649 3,357 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277 5 0,554 1,145 1,610 2,343 4,351 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086 6 0,872 1,635 2,204 3,070 5,348 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812 Jacek Szanduła

Rozkład chi-kwadrat – przykład Zmienna X ma rozkład chi-kwadrat z 5 stopniami swobody Χ ~ χ25 . Znajdź wartość x0, jeżeli: P(X < x0) = 0,9. P(X < x0) = 0,9 P(X > x0) = 0,1 x0 = 9,236 x0 p n 0,99 0,95 0,9 0,8 0,5 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 … 3 0,115 0,352 0,584 1,005 2,366 4,642 6,251 7,815 9,837 11,345 4 0,297 0,711 1,064 1,649 3,357 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277 5 0,554 1,145 1,610 2,343 4,351 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086 6 0,872 1,635 2,204 3,070 5,348 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812 Jacek Szanduła

Rozkład Studenta, rozkład t, rozkład t Studenta Gdy Z ~ N(0,1) i χ2n (zmienna o rozkładzie chi-kwadrat z n stopniami swobody) są niezależne, to ma rozkład Studenta z n stopniami swobody Jacek Szanduła

Rozkład Studenta – wykresy Jacek Szanduła

Tablice rozkładu t Studenta Dwustronne Jednostronne Jacek Szanduła

Rozkład t Studenta – funkcje w MS Excel 2013 P(T24>1) = ? ROZKŁ.T.PS(x;stopnie_swobody) ROZKŁ.T.PS(1;24) 0,16 P(|X|>1) = ? 0,32 1 ROZKŁ.T.DS(x;stopnie_swobody) ROZKŁ.T.DS(1;24) - 1 1 P(|T24|>t0) = 0,6  t0 = ? ROZKŁ.T.ODWR.DS(prawdopodobieństwo;stopnie_swobody) ROZKŁ.T.ODWR.DS(0,6;24) - 0,53 0,53 Jacek Szanduła

Rozkład t Studenta – funkcje w MS Excel 2013 ROZKŁ.T ROZKŁ.T.DS ROZKŁ.T.PS ROZKŁ.T.ODWR ROZKŁ.T.ODWR.DS Jacek Szanduła

Rozkład t Studenta – przykład Zmienna T16 ma rozkład Studenta z 16 stopniami swobody. Znajdź prawdopodobieństwo: P(-2,12 < T16 < 1,746). Jakie są wartości tα, jeżeli: P(T16 < tα) = 0,75, P(| T16 | > tα) = 0,9. Jacek Szanduła

Rozkład t Studenta – przykład Zmienna T16 ma rozkład Studenta z 16 stopniami swobody. Znajdź prawdopodobieństwo: P(-2,12 < T16 < 1,746). -2,12 1,746 α n 0,475 0,45 0,4 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 0,95 0,9 0,8 0,5 0,2 0,02 0,001 14 … 15 0,064 0,128 0,258 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 16 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 17 0,257 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 18 Jacek Szanduła

Rozkład t Studenta – przykład Zmienna T16 ma rozkład Studenta z 16 stopniami swobody. Jakie są wartości tα, jeżeli: P(T16 < tα) = 0,75, tα α n 0,475 0,45 0,4 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 0,95 0,9 0,8 0,5 0,2 0,02 0,001 14 … 15 0,064 0,128 0,258 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 16 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 17 0,257 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 18 Jacek Szanduła

Rozkład t Studenta – przykład Zmienna T16 ma rozkład Studenta z 16 stopniami swobody. Jakie są wartości tα, jeżeli: P(| T16 | > tα) = 0,9. tα α n 0,475 0,45 0,4 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 0,95 0,9 0,8 0,5 0,2 0,02 0,001 14 … 15 0,064 0,128 0,258 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 16 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 17 0,257 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 18 Jacek Szanduła