Wytrzymałość materiałów (WM I - 12) r.a. 2017/2018

prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Środy: 14.00-15.45 W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

Wykład W12: Wyznaczanie energii sprężystej, napreżeń i odkształceń prętów i układów prętowych – metody energetyczne: - Metoda Maxwella-Mohra - Przykłady zastosowań. Autorstwo poniższego wykładu: © Prof. Krzysztof Kaliński http://pg.edu.pl/288cd25679_miroslaw.gerigk/wizytowka

Metody energetyczne Metoda Maxwella-Mohra xi l B F1 F2 Fi Fn RB RA A Dotychczas omówione metody w przypadku układów złożonych należą do zbyt pracochłonnych, znaczne uproszczenie obliczeń można uzyskać wprowadzając modyfikację metody Castigliano zwaną metodą Maxwella-Mohra. Do jej wyprowadzenia, załóżmy tymczasowo, że energia sprężysta układu pochodzi tylko od momentów gnących. Rozważmy belkę spoczywającą na podporze przegubowej A i podporze przesuwnej B, obciążoną siłami F1, F2, …., Fi, …., Fn. xi l B F1 F2 Fi Fn RB RA A © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:40

Metody energetyczne Energia sprężysta belki w przedziale i wynosi: gdzie: Mgi – moment gnący w przekroju określonym współrzędną xi belki. Symbol li przy znaku całki oznacza całkowanie na długości przedziału xi belki Rozpatrzmy teraz tę samą belkę obciążoną w punkcie C jednostkową siłą fikcyjną Ffik = 1. Dla tak obciążonej belki można łatwo wyznaczyć wykres momentów gnących. W przekroju określonym współrzędną xi moment gnący oznaczamy jako M’gi. Dla dowolnej wartości siły Ffik moment gnący w przekroju xi belki wyniesie M’giFfik. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:40

Metody energetyczne Ffik = 1 A B C RA’ xi RB’ l M’g(x)’ M’gi + x Jeżeli teraz do układu zasadniczego wprowadzimy w punkcie C siłę fikcyjną Ffik, to moment gnący, zgodnie z zasadą superpozycji, w przekroju określonym współrzędną xi belki wyniesie Mgi + M’giFfik. Wartość energii sprężystej w przedziale i określi wówczas zależność: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:40

Metody energetyczne B F1 F2 F3 Fn RB RA A Ffik = 0 xi C u l Jeśli uwzględni się, że energia sprężysta w całej belce jest sumą energii dla wszystkich przedziałów, to ugięcie u w przekroju C belki, zgodnie z twierdzeniem Castigliano wynosi: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:40

Metody energetyczne Ponieważ w rzeczywistości siła fikcyjna Ffik jest równa zeru (Ffik = 0) to otrzymujemy wyrażenie zwane wzorem Maxwella-Mohra: Reasumując, zgodnie z metodą Maxwella-Mohra wyznaczenie przemieszczenia u, sprowadza się do obliczenia całki, pod znakiem której występuje moment gnący spowodowany rzeczywistym obciążeniem zewnętrznym Mg, oraz moment gnący jaki wywołałaby jednostkowa siła fikcyjna (Ffik = 1) odpowiadającą temu przemieszczeniu . © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:40

Metody energetyczne Nietrudno udowodnić, że jeśli energia sprężysta układu będzie zależeć od następujących obciążeń zewnętrznych N, Ms, Mgy, Mgz, Ty, Tz, to przemieszczenie u, będzie określone następującą zależnością: gdzie: , , , , , – odpowiednie składowe sił wewnętrznych przy obciążeniu fikcyjnym wynoszącym Ffik = 1. Przykład. Belka o długości 3l i sztywności EI, podparta przegubowo na obu końcach, obciążona jest siłami skupionymi F i 2F. Wyznaczyć przemieszczenie u w punkcie C przyłożenia siły 2F . © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:40

Metody energetyczne x 2F F A B C RA RB l 1. Równania równowagi dla układu zasadniczego stąd © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:40

Metody energetyczne 2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego Przedział nr 1 dla układu zasadniczego © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:40

Metody energetyczne Przedział nr 2 dla układu zasadniczego Przedział 3 dla układu zasadniczego 3. Równania równowagi dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:40

Metody energetyczne Ffik = 1 x A B C R’A R’B l stąd © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:40

Metody energetyczne 4. Równania momentów gnących dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1 Przedział nr 1 i 2 dla układu z siłą fikcyjną Przedział nr 3 dla układu z siłą fikcyjną © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:40

Metody energetyczne 5. Zgodnie z wzorem Maxwella-Mohra przemieszczenie uC w punkcie C wynosi: czyli po scałkowaniu i wstawieniu granic całkowania: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:40

Metody energetyczne stąd Przykład. Rama ABC o sztywności EI jest podparta na podporze przegubowej w punkcie A i podporze przesuwnej w punkcie C oraz obciążona równomiernie na długości 2r obciążeniem q. Wyznaczyć metodą Maxwella-Mohra kąt obrotu u przekroju C pręta ramy. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne x q RC B C 2r a r RAy A RAx 1. Równania równowagi dla układu zasadniczego © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne stąd 2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego Przedział nr 1 dla układu zasadniczego © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne Przedział nr 2 dla układu zasadniczego 3. Równania równowagi dla układu z momentem fikcyjnym Mfik = 1 stąd © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne x RC’ B C Mfik = 1 2r a r A RAx’ RAy’ © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne 4. Równania momentów gnących dla układu z momentem fikcyjnym Mfik = 1 Przedział nr 1 dla układu z momentem fikcyjnym Przedział nr 2 dla układu z momentem fikcyjnym © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne 5. Zgodnie z wzorem Maxwella-Mohra kąt obrotu uC w punkcie C wynosi: czyli stąd Znak minus oznacza, że przekrój C obróci się w stronę przeciwną w stosunku do przyjętego zwrotu jednostkowego momentu fikcyjnego. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne Uproszczona metoda obliczania całek we wzorze Maxwella-Mohra Można udowodnić, że całki występujące we wzorze Maxwella-Mohra dla typowych przypadków obciążeń łatwo obliczać przez zastąpienie ich iloczynem dwóch prostych czynników. I tak, w przypadku zginania jest to iloczyn W pola wykresu momentów gnących Mg od obciążenia zasadniczego oraz rzędnej M’gc wykresu momentów gnących M’g od obciążenia fikcyjnego, odpowiadającej współrzędnej xc środka geometrycznego C pola W, czyli: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne Wykres momentów gnących Mg C Mg Wykres Mg’ dla uogólnionej siły jednostkowej prosta y = ax + b M’gc = axc + b W - pole wykresu Mg M’g’ Mg C x xc Wzór ten podany przez Wereszczagina znacznie upraszcza obliczenia. Uwaga: wzór słuszny dla liniowej, monotonicznie zmiennej funkcji Mg’ © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne x 2F F A B C RA RB l Przykład. Belka o długości 3l i sztywności EI, podparta na podporze przegubowej A i podporze przesuwnej B, obciążona jest siłami skupionymi F i 2F. Wyznaczyć przemieszczenie u w punkcie C przyłożenia siły 2F . B F 2F RB RA A C x l 1. Równania równowagi dla układu zasadniczego © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne stąd 2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego Przedział nr 1 dla układu zasadniczego © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne Przedział nr 2 dla układu zasadniczego Przedział 3 dla układu zasadniczego © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne x 2F F A B C RA RB l Mg(x) + 3. Równania równowagi dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne Ffik = 1 x A B C RA’ RB’ l stąd © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne 4. Równania momentów gnących dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1 Przedział nr 1 i 2 dla układu z siłą fikcyjną Przedział nr 3 dla układu z siłą fikcyjną © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne Ffik = 1 A B C RA’ RB’ l Mg’(x) + x © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne 5. Wyznaczenie przemieszczenia uC Na podstawie wykresów momentów gnących dla układu zasadniczego i układu z siłą fikcyjną przy pomocy tabeli można określić ugięcie w punkcie C: Przedział nr 1 zgodnie z pozycją 3 i kolumną 4 z tabeli: Przedział nr 2 zgodnie z pozycją 4 i kolumną 5 z tabeli: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne Przedział nr 3 zgodnie z pozycją 2 i kolumną 3 z tabeli: stąd © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne q MB A B x RA RB l y Metoda Maxwella-Mohra w rozwiązywaniu belek statycznie niewyznaczalnych Przykład. Wyznaczyć kąt obrotu na podporze A belki obciążonej równomiernie rozłożonym obciążeniem ciągłym q. Sztywność belki na zginanie EI, długość belki l. l RA MB x B A y q RB Rozwiązanie. Pierwszy sposób I. Wyznaczanie siły hiperstatycznej RA © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Na mocy zasady minimum energii sprężystej Menabrei–Castigliano Metody energetyczne Równanie momentu gnącego: Jeżeli działa tylko jednostkowa siła fikcyjna RA=1, to Na mocy zasady minimum energii sprężystej Menabrei–Castigliano Stąd a następnie II. Wyznaczanie kąta obrotu na podporze A. Zgodnie z metodą Maxwella-Mohra, belkę obciążamy tylko © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne M’B Mf=1 A B x R’A l R’B y jednostkowym momentem fikcyjnym Mf=1 na podporze A. Schemat obciążenia ilustruje rysunek. l R’A M’B x B A y R’B Mf=1 Moment gnący od obciążenia fikcyjnego Mf=1: ale siła R’A jest nieznana. Jest to siła hiperstatyczna, do wyznaczenia której należy zastosować metodę Maxwella-Mohra. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:41

Metody energetyczne Jeżeli działa tylko jednostkowa siła fikcyjna R’A=1, to Na mocy zasady minimum energii sprężystej Menabrei–Castigliano: Stąd a następnie Teraz możemy wyznaczyć kąt obrotu na podporze A, zgodnie z metodą Maxwella-Mohra © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:42

Metody energetyczne Zwrot kąta obrotu przeciwny do założonego zwrotu jednostkowego momentu fikcyjnego Mf=1. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:42

Metody energetyczne Mf=0 q MB A B x RA RB l y I. Wyznaczanie siły hiperstatycznej RA. Belkę „obciążamy” dodatkowo momentem Mf=0 w miejscu poszukiwanego kąta obrotu na podporze A Rozwiązanie. Drugi sposób l RA MB x B A y q RB Mf=0 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:42

Dziękuję za uwagę !!! © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-12-30 02:27:42