Wykład IV Ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny prosty 𝑭 =𝟎 m 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 =𝒌𝒙 x=0 𝑭 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 Siła sprężystości: x 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 𝑭=−𝒌𝒙 𝑭

Ruch harmoniczny prosty Równanie ruchu w dowolnej chwili x 𝒂 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 𝑭 m 𝑭=𝒎𝒂=−𝒌𝒙 𝒎 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 =−𝒌𝒙 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 =− 𝒌 𝒎 𝒙 równanie różniczkowe na x(t)!

Ruch harmoniczny prosty (pokażemy dalej, że w jest prędkością kątową) 𝒌 𝒎 =𝝎 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 =− 𝒌 𝒎 𝒙 podstawmy 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 =− 𝝎 𝟐 𝒙 (pokażemy dalej, że w jest prędkością kątową) Szukamy rozwiązania postaci: 𝒙(𝒕)=𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕) 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 =− 𝝎 𝟐 𝑨𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 =− 𝝎 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒕 =−𝝎𝑨𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕

Parametry: okres drgań 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 =− 𝝎 𝟐 𝒙 𝒙(𝒕)=𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕) Definicja okresu T: czas, po którym faza drgania jest taka sama 𝒙 𝒕+𝑻 =𝑨𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝒕+𝑻 =𝒙 𝒕 =𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎t) 𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝒕+𝑻 =𝒄𝒐𝒔(𝝎t) Wzór potwierdza słuszność założenia, że w to prędkość kątowa. Aby to pokazać, opiszemy ruchu po okręgu . 𝑻= 𝟐𝝅 𝝎 𝝎𝑻=𝟐𝝅

Ruch jednostajny po okręgu Układ biegunowy 𝜽=𝝎𝒕 x y 𝒗 𝒓 𝜽=𝝎𝒕 (𝒙,𝒚) 𝒔 UB – UK UK - UB 𝜽=𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈( 𝒚 𝒙 ) 𝒙=𝒓𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 𝒚=𝒓𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 𝒓 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐

Współrzędne biegunowe 𝝎 = 𝒅𝜽 𝒅𝒕 W układzie biegunowym prędkość kątowa Dla ruchu jednostajnego po okręgu, 𝝎 =𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 x y 𝒗 𝒓 𝜽=𝝎𝒕 (𝒙,𝒚) 𝒔 Wówczas 𝜽=𝝎𝒕 s=𝒗𝒕=𝒓𝜽=𝒓𝝎𝒕 v = wr wektorowo: 𝒗 = 𝝎 × 𝒓

Okres i częstotliwość 1 radian – kąt, dla którego s=r 1 obrót - 2 radianów (1) x y 𝒗 𝒓 𝜽=𝝎𝒕 (𝒙,𝒚) 𝒔 okres (T) - czas trwania 1 obrotu (2) częstotliwość (f) - liczba obrotów / sek Z (1) i (2) 𝝎= 𝟐𝝅 𝑻 =𝟐𝝅𝒇[ 𝒓𝒂𝒅 𝒔 ]

Ruch harmoniczny prosty -rozwiązanie 𝒙(𝒕)=𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕) A - amplituda drgań T – okres drgań x T = 2/ q =  t = 0 q = T = 2p A  = w t -    A

Ruch harmoniczny prosty 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 =− 𝒌 𝒎 𝐱=− 𝝎 𝟐 𝒙 x 𝒂 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 𝑭 m 𝝎 𝟐 = 𝒌 𝒎 𝟒𝝅 𝟐 𝑻 𝟐 = 𝒌 𝒎 𝑻=𝟐𝝅 𝒎 𝒌 Okres drgań nie zależy od amplitudy!

Prędkość i przyśpieszenie położenie: x 𝒂 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 𝑭 m 𝒙(𝒕)=𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕+𝜱 𝒗(𝒕)= 𝒅𝒙(𝒕 𝒅𝒕 =−𝑨𝝎𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕+𝜱) prędkość: 𝒂(𝒕)= 𝒅𝒗(𝒕 𝒅𝒕 =−𝑨 𝝎 𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕+𝜱) przyspieszenie: xMAX = A vMAX = A aMAX = 2A

𝒙(𝒕)=𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 𝒗 𝒕 =−𝑨𝝎𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 𝒂 𝒕 =−𝑨 𝝎 𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 t T A Aw t T t T Aw2 𝒗(𝒕) Aw t 𝒗 𝒕 =−𝑨𝝎𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 T 𝒂(𝒕) t T Aw2 𝒂 𝒕 =−𝑨 𝝎 𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕

Ruch harmoniczny prosty xmax 𝒂 𝒎𝒂𝒌𝒔 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 𝑭 𝒎𝒂𝒌𝒔 m 𝑭 =𝟎 m x=0 x=0 x =0 v=vmaks a=0 xmaks =A v=0 a=amax Maksymalne wychylenie Przejście przez położenie równowagi

Ruch harmoniczny prosty -parametry x = A cos(t + F) A = amplituda t + F = faza  = prędkość kątowa F = faza początkowa T –okres (czas trwania jednego drgania). f – częstotliwość drgań (liczba drgań w jednostce czasu) f = 1/T w = 2p f = 2p / T

Ruch harmoniczny prosty - warunki początkowe Wykres x(t)=A cos(t - /2) = A sin(t) A  = /2     -

Warunki początkowe –przykład cd. dla  = -/2 x(t) = A cos(t - /2 ) v(t) = -A sin(t - /2 ) a(t) = -2A cos(t - /2 ) x(t) = A sin(t) v(t) = A cos(t) a(t) = -2A sin(t) x(t) A x(t) t   -A

Ruch harmoniczny prosty - energia

𝐸 𝑘 𝑡 = 𝑚 𝑣 𝑡 2 2 = 𝑚 −𝑨𝝎𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 2 2 =𝒌 𝑨 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 (𝝎𝒕) 𝟐 Energia kinetyczna x 𝒂 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 𝑭 m 𝒙(𝒕)=𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 𝒗 𝒕 =−𝑨𝝎𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 𝐸 𝑘 𝑡 = 𝑚 𝑣 𝑡 2 2 = 𝑚 −𝑨𝝎𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 2 2 =𝒌 𝑨 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 (𝝎𝒕) 𝟐 𝒌 𝒎 = 𝝎 𝟐

𝑬 𝒑 (𝒕)= 𝒌 𝒙(𝒕) 𝟐 𝟐 =𝒌 [ 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕)] 𝟐 𝟐 = 𝒌 𝑨 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 (𝝎𝒕) 𝟐 Energia potencjalna x 𝒂 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 𝑭 m 𝒙(𝒕)=𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 𝑬 𝒑 (𝒕)= 𝒌 𝒙(𝒕) 𝟐 𝟐 =𝒌 [ 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕)] 𝟐 𝟐 = 𝒌 𝑨 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 (𝝎𝒕) 𝟐

E(t) 𝑬 𝒑 𝒕 = 𝒌 𝑨 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 (𝝎𝒕) 𝟐 𝑬 𝒌 (𝒕)= 𝒌𝑨 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 (𝝎𝒕) 𝟐 Ep(t) Ek(t) E=Ep(t)+Ek(t) t T 𝑻 𝟐 𝑬 𝒑 𝒕 = 𝒌 𝑨 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 (𝝎𝒕) 𝟐 𝑬 𝒌 (𝒕)= 𝒌𝑨 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 (𝝎𝒕) 𝟐 𝑬=𝑬 𝒑 𝒕 + 𝑬 𝒌 𝒕 = 𝒌𝑨 𝟐 𝟐 [𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝝎𝒕 + 𝒔𝒊𝒏 𝟐 (𝝎𝒕)]= 𝒌𝑨 𝟐 𝟐 =𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕

E(x) 𝑬 𝒑 = 𝒌 𝒙 𝟐 𝟐 𝑬 𝒌 = 𝒎 𝒗 𝟐 𝟐 =𝑬− 𝑬 𝒑 =𝑬− 𝒌 𝒙 𝟐 𝟐 x E(x) Ep(x) Ek(x) A -A 𝑬 𝒑 = 𝒌 𝒙 𝟐 𝟐 𝑬 𝒌 = 𝒎 𝒗 𝟐 𝟐 =𝑬− 𝑬 𝒑 =𝑬− 𝒌 𝒙 𝟐 𝟐

Ruch harmoniczny prosty xmaks 𝒂 𝒎𝒂𝒌𝒔 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 𝑭 𝒎𝒂𝒌𝒔 m x=0 m 𝑭 =𝟎 x=0 xmaks =A v=0, a=amaks x =0 v=vmaks, a=0 Maksymalne wychylenie, maksymalna energia potencjalna. Przejście przez położenie równowagi, maksymalna energia kinetyczna.

Ruch harmoniczny z tłumieniem. k m

Równanie ruchu Tarcie: f = -b v = -b dx/dt (b=const) Z II zasady dynamiki Newtona: -bv F = -kx v a k m x 𝒃 𝟐𝒎 =𝜷 podstawmy

Rozwiązanie równania ruchu 𝒙 𝑨𝒆𝒙𝒑(−𝜷𝒕) 𝒙 𝒕 =𝑨𝒆𝒙𝒑(−𝜷𝒕)cos( 𝛚 ′ 𝒕+𝝋) 𝛚′= 𝜔 0 2 − 𝛃 𝟐 𝒕 T’ T0 T’>T0 𝝎 ′ <𝝎 𝟎 = 𝒌 𝒎 , Resory w samochodach są tak zaprojektowane aby tłumienie było nieznacznie mniejsze aniżeli krytyczne (1-2 oscylacji). 𝜷= 𝝎 𝟎 - ruch aperiodyczny 𝝎 ′ =𝟎

Logarytmiczny dekrement tłumienia 𝒙 𝒕 l=𝒍𝒏 𝑨(𝒕) 𝑨(𝒕+𝑻) =𝒍𝒏 𝑨𝒆𝒙𝒑(−𝜷𝒕) 𝑨𝒆𝒙𝒑[−𝜷 𝒕+𝑻 ] =𝒍𝒏[𝒆𝒙𝒑 𝜷𝑻 ]=𝜷𝑻

Ruch harmoniczny z tłumieniem – energia mechaniczna E(t) Bez tłumienia: E = 1/2 k A2 = const Z tłumieniem: E(t) = 1/2 kA(t)2 = 1/2 k A2 exp(-2bt) W ruchu harmonicznym z tłumieniem, całkowita energia mechaniczna maleje wykładniczo z czasem

Ruch harmoniczny tłumiony 𝒙 𝒙 𝒕 =𝑨(𝒕)cos( 𝛚 ′ 𝒕+𝝋) 𝒕 𝑨 𝒕 =𝑨𝒆𝒙𝒑 −𝜷𝒕 =𝑨𝒆𝒙𝒑(− 𝒕 𝝉 ) Dobroć układu drgającego: 𝑸= 𝝅 l = 𝝅 𝜷𝑻 = 𝝅𝝉 𝑻 =𝝅 𝑵 𝒆 𝑵 𝒆 - ilość drgań wykonywanych przez układ zanim amplituda zmaleje e razy

Ruch harmoniczny z tłumieniem i silą wymuszającą x(t) = A cos(wymt + f) 𝑨= 𝑭 𝒎 /𝒎 [(𝝎 𝒘𝒚𝒎 ) 𝟐 −𝝎 𝟎 𝟐 ] 𝟐 +𝟒 𝜷 𝟐 (𝝎 𝒘𝒚𝒎 ) 𝟐 𝑡𝑎𝑛f= 2𝛽𝜔 𝝎 𝟎 𝟐 −𝝎 𝒘𝒚𝒎 𝟐

Rezonans mechaniczny

Drgania wymuszone - rezonans Dla układu o częstości drgań własnych 𝝎 𝒘𝒚𝒎 𝝎 𝟎 1 A rezonans występuje, gdy x0

Drgania wymuszone - rezonans 𝜷 𝟏 > 𝜷 𝟐 > 𝜷 𝟑 𝑨= 𝑭 𝒎 /𝒎 [(𝝎 𝒘𝒚𝒎 ) 𝟐 −𝝎 𝟎 𝟐 ] 𝟐 +𝟒 𝜷 𝟐 (𝝎 𝒘𝒚𝒎 ) 𝟐 A b3 a) Słabe tłumienie b2 𝑨 𝒎𝒂𝒌𝒔 = 𝑭 𝒎 𝟐𝒎𝜷 𝝎 𝟎 𝝎 𝒘𝒚𝒎 ≅ 𝝎 𝟎 b1 𝒙 𝟎 = 𝑭 𝒎 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 x0 b) 𝝎 𝒘𝒚𝒎 =𝟎 𝝎 𝒘𝒚𝒎 𝝎 𝟎 1

Dobroć układu rezonansowego Dla słabego tłumienia, stosunek amplitudy, którą ma układ dla częstotliwości rezonansowej do wychylenia z położenia równowagi pod wpływem siły równej amplitudzie siły wymuszającej jest równy dobroci układu rezonansowego: 𝑨 𝒎𝒂𝒌𝒔 𝒙 𝟎 = 𝑭 𝒎 𝟐𝒎𝜷 𝝎 𝟎 𝑭 𝒎 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 = 𝝎 𝟎 𝟐𝜷 = 𝝅 𝜷 𝑻 𝟎 = 𝝅 l =Q Podczas rezonansu siła wymuszająca jest w fazie z prędkością, ponieważ wówczas moc tej siły osiąga największą wartość: 𝑷= 𝑭 ∙ 𝒗