Biomechanika przepływów WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.;

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; Krew jest mieszaniną osocza i krwinek Testy wykonane na krwi za pomocą wiskometru, którego wymiar charakterystyczny szczeliny pomiarowej jest dużo większy od wymiaru charakterystycznego krwinek pozwalają na wysunięcie następującego wniosku: W dużych naczyniach krwionośnych dla których wymiar charakterystyczny (średnica) jest dużo większy niż charakterystyczny wymiar krwinek, krew może być traktowana jak płyn jednorodny . Właściwości mechaniczne krwi traktowanej jako płyn jednorodny można ująć definiując odpowiednie równanie konstytutywne.

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; Zakładamy że jednorodny płyn który przybliża nam zachowanie krwi ma dwie podstawowe cechy: A) jest izotropowy B) jest nieściśliwy A) bazujemy na założeniu że przy braku naprężeń odkształcenie w płynie zanika i krwinki nie mają żadnego preferowanego kierunku w przestrzeni; B) wykorzystujemy fakt iż przy ciśnieniach panujących w organizmie człowieka ( normalne warunki fizjologiczne)nie wykazano wpływu ciśnienia na gęstość krwi;

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; Z obserwacji danych prezentowanych na poprzednim wykładzie można wysnuć wniosek ,że reologia krwi różni się od reologii płynu Newtonowskiego zmienna wartością lepkości. Dla płynu Newtonowskiego równanie konstytutywne wygląda następująco: (9.1) tensor naprężeń lepkość płynu tensor odkształceń składowe prędkości

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; Krew nie spełnia równania (9.1) ponieważ μ nie jest stałą a zmienia się wraz ze zmianą wartości naprężeń. Równanie (9.1) spełnia natomiast osocze krwi pozbawione krwinek. Można więc stwierdzić , że nie – Newtonowska natura krwi bierze się z obecności krwinek zawieszonych w krwi. Postaramy się teraz zmodyfikować równanie (9.1) tak aby opisywało zachowanie się krwi: Jednym z podstawowych założeń mechaniki ośrodków ciągłych jest to że równania opisujące ich dynamikę muszą być zgodne z algebrą tensorów tzn. każdy element musi być tensorem tego samego rzędu. Jeżeli decydujemy się aby równanie (9.1) opisywało zachowanie krwi z założeniem o izotropowości zachowań mechanicznych to μ musi być skalarną funkcją tensora odkształceń Vij . Vij jest symetrycznym tensorem rzędu 2 w przestrzeni trójwymiarowej

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; Vij ma trzy niezmienniki:

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; Założyliśmy, że krew jest płynem nieściśliwym więc I1 = 0, I2 przyjmie więc wartości mniejsze od 0. Korzystniej jest wprowadzić więc nowy niezmiennik zdefiniowany następująco: (9.2) A więc lepkość μ musi być funkcją J2 i I3 Z równania definiującego J2 widać że jest on funkcją odkształcenia, z doświadczeń widać że lepkość krwi zależy od szybkości ścinania a więc można stwierdzić że lepkość krwi jest funkcją J2 Można zaproponować następujące równanie konstytutywne dla przepływu krwi: (**)

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; szybkość ścinania: (9.3) w tym przypadku wszystkie inne elementy tensora Vij wynoszą 0 więc niezmiennik J2 przyjmuje postać:

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; a więc z równania na szybkość ścinania (9.3) wynika : podczas gdy z równania konstytutywnego postaci (**) wynika: (9.4) Na poprzednim wykładzie przedstawiono dane doświadczalne które spełniały równanie Cassona , które można przedstawić w postaci: (9.5)

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; z porównania równań (9.4) i (9.5) wynika że lepkość krwi może być przedstawiona w postaci zależności: Pozwala to nam zdefiniować równanie konstytutywne dla krwi w przepływie w postaci: (9.6)

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; Równanie (9.6) jest słuszne dla J2 różnego od 0 i przyjmującego małe wartości. Jeżeli J2 przyjmuje duże wartości wyniki eksperymentalne redukują się do prostej zależności μ=const. i wtedy równanie (9.1) może być stosowane do opisu przepływu krwi. Punkt przejścia pomiędzy zachowaniem Newtonowskim rów. (9.1) a nie Niewtonowskim rów. (9.6) zależy od wartości Hematokrytu. Hematokryt – objętość czerwonych krwinek do całkowitej objętości. Dla normalnej krwi z małą wartością Hematokrytu H= 8.25 % lepkość jest wartością stałą w szerokim zakresie naprężeń ścinających od 0.1 to 10000 s-1. Dla wartości Hematokrytu H=18 % krew zachowuje się jak płyn Newtonowski kiedy γ>600 s-1 dla mniejszych wartości naprężeń spełnione jest równanie (9.6)

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; W przypadku ustania przepływu kiedy Vij=0 równanie konstytutywne (9.6) musi być zastąpione nową relacją naprężenia- odkształcenia. Dla takiego zachowania krwi posiadamy bardzo mało danych, więc tylko hipotetyczne równania konstytutywne mogą być zaproponowane. Rozważmy teraz bardzo prosty przypadek laminarnego przepływu krwi przewodem kołowym. Zakładamy : przewód jest długi a przepływ jest ustalony

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; Najlepiej rozpatrywać problem we współrzędnych cylindrycznych. 1) Przepływ spełnia równanie bilansu naprężeń dla płynów nieściśliwych. Na ściankach przyjmujemy warunek brzegowy zerowania się prędkości krwi. Przepływ jest symetryczny , tylko współrzędna u(r) nie zanika. u(r) jest funkcją tylko r. Rozpatrzmy cylinder o średnicy r i jednostkowej długości wycięty z przepływu. Doznaje on działania ciśnienia p1 i p2 oraz naprężeń τ na powierzchni bocznej walca. działa na powierzchnię

WYKŁAD 7: Przepływ krwi C. D.; natomiast τ działa na powierzchnię 1*2πr W stanie ustalonym równanie równowagi sił wygląda następująco: lub (Stokes, 1851) Teraz musimy wprowadzić równanie konstytutywne wiążące naprężenia z odkształceniem

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; płyn Newtonowski przy naszych założeniach dp/dx musi być wartością stałą a wiec po scałkowaniu: stałą B można wyznaczyć z warunku brzegowego: (paraboliczny profil prędkości)

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; Strumień może być obliczony przez scałkowanie: i średnia prędkość przepływu:

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; krew z Lepkością opisaną równaniem Cassona: równanie jest ważne dla każdego rodzaju płynu brak przepływu Naprężenia ścinające działające na powierzchnię cylindryczną są funkcją promienia r. W tej strefie bez przepływu jeżeli zachodzi ruch to tak jak dla bryły sztywnej. profil prędkości zależy więc od wartości τy i τw ścianka granica płynięcia

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; nie mamy przepływu jeżeli jeżeli

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; i profil prędkości musi wyglądać następująco: dla r<rc profil jest płaski. Dla r>rc i r<a równanie Cassona jest spełnione. rozwiązując względem γ stąd możemy wyznaczyć profil prędkości:

WYKŁAD 7: Przepływ krwi C. D.; dla r=rc prędkość przyjmuje wartość

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; Możemy teraz wyznaczyć wartość strumienia : Co po odpowiednim podstawieniu i dla znanej wartość gradientu ciśnienia daje nam wzór: Jeżeli dp/dx > (2τy/a) Jeżeli -dp/dx < (2τy/a)

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; Wprowadźmy nową notację I teraz wyrażenie na Q można zapisać następująco: (10.1) Gdzie :

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; Równanie (10.1) jest podobne do znanego równania Poseuillea, różni się tylko o czynnik F W 1965 S. Oka podał zależność na F w Postaci przedstawionej na rysunku. Jak widać natężenie przepływu krwi Maleje dość znacznie wraz ze wzrostem ξ. A dla ξ > 1 przepływ ustaje. Jeżeli przedstawić na wykresie zależność pierwiastka z Q od pierwiastka ze spadku ciśnienia to otrzymana zależność przypomina zależność przepływu od naprężenia dla płynów plastycznych Binghama

WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D.; Równania przedstawione wcześniej w pełni opisują laminarny przepływ krwi w przewodzie cylindrycznym. Zastanówmy się co jest przyczyną takiego a nie innego zachowania się krwi w przepływie? Wiemy już, że plazma krwi zachowuje się jak zwykły płyn Newtonowski i nie –Newtonowskie zachowanie się krwi musi być spowodowane obecnością krwinek. Jak krwinki zachowują się podczas przepływu ? Czy oddziaływają ze sobą ?