Dynamika ruchu płaskiego MECHANIKA 2 Wykład Nr 13 Dynamika ruchu płaskiego ciała sztywnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Ruch postępowy ciała sztywnego Ciało sztywne porusza się ruchem postępowym, wywołanym działaniem sił zewnętrznych: , ,..., . Ruch postępowy - wszystkie punkty ciała przemieszczają się z prędkościami o jednakowych: kierunkach, zwrotach i wartościach.

Dynamiczne równanie ruchu postępowego ciała sztywnego Na podstawie twierdzenia o ruchu środka masy, dynamiczne równanie ruchu można zapisać w postaci: (1) gdzie: m – masa ciała sztywnego – przyśpieszenie środka masy W prostokątnym układzie współrzędnych (2)

Twierdzenie o pochodnej krętu Pochodna względem czasu krętu ciała względem jego środka masy równa jest sumie geometrycznej momentów wszystkich sił zewnętrznych względem tego środka. (3) Kręt ciała sztywnego względem środka masy jest równy zeru . Z równania (3) wynika, że gdy ciało porusza się ruchem postępowym to suma geometryczna momentów sił zewnętrznych względem środka masy ciała musi być równa zeru. (4) Wniosek: siły zewnętrzne muszą tworzyć układ, który ma wypadkową o linii działania przechodzącej przez środek masy C.

Ruch płaski ciała sztywnego DEFINICJA Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się po płaszczyznach równoległych do pewnej płaszczyzny , zwanej płaszczyzną kierującą.

Ruch płaski ciała sztywnego Przyjmijmy iż przedstawiony na rysunku przekrój ciała otrzymano w wyniku przecięcia płaszczyzny równoległej do płaszczyzny kierującej i przechodzącej przez środek masy C.

Ruch płaski ciała sztywnego Położenie rozpatrywanego ciała sztywnego możemy określić za pomocą współrzędnych xc, yc środka masy C w układzie nieruchomym Oxyz i kąta obrotu α tego ciała względem układu ruchomego C x’y’z’, którego początek C jest umieszczony w środku masy. Ruch postępowy określa ruch punktu C na płaszczyźnie xy, a ruch obrotowy odbywa się wokół osi centralnej Cz’, przechodzącej przez środek masy. Ciało sztywne porusza się ruchem płaskim, jeżeli obraca się wokół osi nie zmieniającej kierunku i porusza się ruchem postępowym po płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu. Ruch swobodnego ciała sztywnego jest płaski, jeżeli chwilowe osie obrotu nie zmieniają kierunku (pozostają stale równoległe do głównej centralnej osi bezwładności tego ciała).

Dynamiczne równania ruchu płaskiego ciała sztywnego Aby otrzymać dynamiczne równania ruchu płaskiego ciała sztywnego zastosujemy: dynamiczne równania ruchu postępowego po płaszczyźnie x,y zasadę krętu ruchu obrotowego

Dynamiczne równania ruchu płaskiego ciała sztywnego Równanie ruchu postępowego w kierunku x Równanie ruchu postępowego w kierunku y (5) Zasada krętu ruchu obrotowego względem osi z − składowe przyspieszenia środka masy C − moment bezwładności rozpatrywanego ciała względem osi z − przyspieszenie kątowe ciała względem osi obrotu (z)

Dynamiczne równania ruchu płaskiego ciała sztywnego Otrzymane trzy dynamiczne równania ruchu (5) odpowiadają liczbie stopni swobody ciała sztywnego poruszającego się ruchem płaskim.

Przypadek a) – toczenie z poślizgiem Przykład 1. Krążkowi o masie m i promieniu r nadano początkową prędkość kątową ωo, a następnie postawiono go na płaszczyźnie poziomej. Obliczyć drogę s, po przebyciu której krążek zatrzyma się, czas t oraz funkcje: υ = f1(t), ω = f2(t), mając także dane: μ − współczynnik tarcia ślizgowego, f – współczynnik tarcia tocznego. Dane: m, r, w0, m, f Wyznaczyć: s, t υ = f1(t), ω = f2(t),

Przypadek a) – toczenie z poślizgiem Równanie ruchu środka masy krążka w ruchu postępowym na kierunkach x i y Równanie ruchu obrotowego wokół środka masy (5) W przypadku tarcia z poślizgiem

Przypadek a) – toczenie z poślizgiem Po przekształceniu otrzymujemy: Prędkość liniowa środka masy C: Równanie drogi środka masy: Po wykorzystaniu warunków początkowych iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii stałe całkowania C1 = C2 = 0

Przypadek a) – toczenie z poślizgiem Stąd Prędkość kątowa krążka: Równanie kąta obrotu krążka: Po wykorzystaniu warunków początkowych stałe całkowania wynoszą: C3 = ωo , C4 = 0

Przypadek a) – toczenie z poślizgiem Stąd W chwili zatrzymania się krążka iiiiiii , stąd czas t1 wynosi: Na tej podstawie wyznaczymy drogę s jaką przebędzie krążek do chwili zatrzymania się po czasie t1:

Przypadek b) – toczenie bez poślizgu

Przypadek b) – toczenie bez poślizgu Równania ruchu środka masy krążka w ruchu postępowym: Równanie ruchu obrotowego krążka wokół środka masy Po podstawieniu:

Przypadek b) – toczenie bez poślizgu Otrzymamy równania w postaci: W rozpatrywanym przypadku toczenia krążka bez poślizgu wartość siły tarcia tocznego T2 musi być mniejsza od wartości siły tarcia ślizgowego T1 . gdzie: Zatem stąd

Przypadek b) – toczenie bez poślizgu Po dwukrotnym całkowaniu względem czasu otrzymamy: Po wykorzystaniu warunków początkowych iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii wyznaczamy stałe całkowania C1 = ωor ; C2 = 0 Stąd: Prędkość kątowa krążka: Równanie kąta obrotu krążka ma postać:

Przypadek b) – toczenie bez poślizgu Po wykorzystaniu warunków początkowych iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii stałe całkowania C3 = ωo, C4 = 0. Stąd: W chwili zatrzymania się krążka prędkość kątowa iiiiiii, stąd czas t2, po którym krążek się zatrzyma, wynosi: Droga s jaką przebędzie krążek do chwili zatrzymania się po czasie t2 wynosi:

Przykład 2 Jednorodny pręt o długości l i masie m zawieszono na pionowych nitkach w punktach A i B. Znaleźć przebieg siły w funkcji czasu w nitce zaczepionej w punkcie A po zerwaniu nitki w punkcie B. a) nitka doskonale wiotka i doskonale nieodkształcalna b) nitka doskonale wiotka i doskonale sprężysta o współczynniku sztywności k Dane: m, l, k Wyznaczyć: S1(t) A B

Dynamiczne równania ruchu pręta Przypadek I – nitka doskonale wiotka i doskonale nieodkształcalna Dynamiczne równania ruchu płaskiego pręta mają postać: Po rozwiązaniu powyższych równań otrzymamy stałą wartość siły w nitce

Rysunek pręta Przypadek II – nitka doskonale wiotka i doskonale sprężysta o współczynniku sztywności k

Dynamiczne równania ruchu pręta Dynamiczne równania ruchu mają postać: Po przekształceniu: Stąd: Rozwiązanie otrzymanego równania różniczkowego jest wyrażone funkcją: gdzie:

Równania ruchu pręta Stałe całkowanie wyznaczamy z warunków początkowych: Po podstawieniu: Stąd Równanie ruchu pręta możemy ostatecznie zapisać: Wyrażenie na siłę w nitce ma postać:

Przykład 3 Dane: m, r, AB = 3r, μ, f. Pojazd składający się z dwóch kół o jednakowej masie m i promieniu r oraz pręta o długości 3r i masie 3m, toczy się po powierzchni poziomej, dla której współczynnik tarcia ślizgowego wynosi μ, a tocznego – f. Wyznaczyć: przyspieszenie pojazdu a; moment silnika M0, przy którym nastąpi poślizg tylnego koła. Dane: m, r, AB = 3r, μ, f. Szukane: a = ? M0 = ? przednie koło tylne koło

Rozwiązanie Dynamiczne równania ruchu tylnego koła:

Rozwiązanie Dynamiczne równania ruchu przedniego koła:

Dynamiczne równania ruchu ramy (pręta):

9 równań! 10 niewiadomych: Dodatkowo uwzględniamy warunek poślizgu: i otrzymujemy ostatecznie:

Przykład 4 Przez krążek zawieszony na poziomej osi przerzucono nieważ-ką i nierozciągliwą nić, do końców której przymocowano ciężarki o masach m1 i m2. Masa krążka wy-nosi m. Wyznaczyć: liniowe przyspieszenie ciężar-ków; siły naciągu lin. Pominąć tarcie cięgna o krążek. Załóżmy ponadto, że m1 > m2.

Rozwiązanie Ponieważ linka jest nierozciągliwa, to a1 = a2 = a. Dynamiczne równania ruchu (postępowego) każdego z bloczków: Ponieważ linka jest nierozciągliwa, to a1 = a2 = a.

ε – przyspieszenie kątowe krążka Dynamiczne równanie ruchu (obrotowego) krążka: O gdzie: M1 = rN1 – moment siły N1 względem punktu O; M2 = –rN2 – moment siły N2 względem punktu O. ε – przyspieszenie kątowe krążka Ponieważ linka nie ślizga się po krążku, więc:

Z równań ruchu krążków: Ponadto mamy Zatem:

Przykład 5 Jednorodny walec i jednorodna kula staczają się bez poślizgu z równi pochyłej o kącie nachylenia α i wysokości h. Masy i promienie obu ciał są jednakowe. Które z nich stoczy się wcześniej? Ponieważ nie ma poślizgu, więc nie ma współczynnika tarcia tocznego, tylko ślizgowego.

Rozwiązanie Dynamiczne równania ruchu postępowego: Mamy: – wektorowo Skalarnie: Ponieważ nie ma poślizgu, tarcie można traktować jako statyczne: Ponieważ nie ma poślizgu, więc nie ma współczynnika tarcia tocznego, tylko ślizgowego.

Rozwiązanie Stąd: Dynamiczne równania ruchu obrotowego: – wektorowo Skalarnie: gdzie: Ponieważ nie ma poślizgu, więc nie ma współczynnika tarcia tocznego, tylko ślizgowego. ponieważ nie ma poślizgu.

Uwaga! Z układu dynamicznych równań obliczamy: Warunkiem toczenia się bez poślizgu jest T < Tmax, zatem: Ponieważ nie ma poślizgu, więc nie ma współczynnika tarcia tocznego, tylko ślizgowego.

Wniosek! Dla walca: Dla kuli: Większe przyspieszenie liniowe ma ciało o mniejszym momencie bezwładności. Dla walca: Dla kuli: Ponieważ nie ma poślizgu, więc nie ma współczynnika tarcia tocznego, tylko ślizgowego. Ponieważ Ikuli < Iwalca, więc szybciej stoczy się kula.

Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla ciała sztywnego Suma prac sił wewnętrznych ciała sztywnego na dowolnym przesunięciu jest równa zeru, gdyż odległości między punktami tego ciała nie ulegają zmianie. Stąd zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla ciała sztywnego przyjmuje postać: (6) Przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego na pewnym przesunięciu jest równy sumie prac sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) na tym przesunięciu.

Przykład 3: Walec o masie m i promieniu r jest owinięty linką. Obliczyć prędkość v i siłę S po opadnięciu o wysokość h. Dane: m, r, h Wyznaczyć: v i S

Na podstawie zasady energii kinetycznej i pracy Zatem

Siłę w linie wyznaczymy z dynamicznych równań ruchu: W kierunku osi x Dla ruchu obrotowego (Io= mr2/2) Po rozwiązaniu:

Przykład 7 Karuzela, którą można uważać za poziomy krążek o masie m1 = 320 kg, może się obracać wokół osi pionowej. Na obwodzie karuzeli stoi człowiek o masie m2 = 80 kg. O jaki kąt obróci się karuzela, jeśli człowiek ten poruszając się po jej obwodzie, obejdzie karuzelę dookoła, wracając do punktu wyjścia leżącego na tej karuzeli. Człowieka uznać za punkt materialny, a karuzelę – za bryłę sztywną. Dane: m1 = 320 kg, m2 = 80 kg, α2 = 2π. Szukane: α1 = ? Wielkości pomocnicze: r – promień karuzeli; v – prędkość człowieka u – prędkość liniowa karuzeli Ponieważ nie ma poślizgu, więc nie ma współczynnika tarcia tocznego, tylko ślizgowego.

Rozwiązanie Na człowieka oraz karuzelę działają siły pionowe: grawitacji i nacisku, które się równoważą. Ponadto człowiek idąc działa siłą swoich mięśni, a na karuzelę siłą tarcia. Ponieważ porusza się ruchem jednostajnym po okręgu, zatem tarcie i siła mięśni się również równoważą, a co za tym idzie, suma momentów tych sił względem punktu O jest równa zeru. Zatem spełniona jest zasada zachowania krętu! Kręt przed ruchem (równy zeru) jest równy sumie krętów karuzeli i człowieka. Ponieważ nie ma poślizgu, więc nie ma współczynnika tarcia tocznego, tylko ślizgowego.

ω1 – prędkość kątowa karuzeli; ω2 – prędkość kątowa człowieka; Człowiek względem karuzeli porusza się z prędkością kątową ω1 + ω2, zatem czas, po którym obejdzie karuzelę dookoła, wynosi: Ponieważ nie ma poślizgu, więc nie ma współczynnika tarcia tocznego, tylko ślizgowego. W tym samym czasie karuzela obróci się o kąt: