Metody matematyczne w inżynierii chemicznej Wykład 4. Całkowanie numeryczne
Całki i kwadratury czyli odrobina teorii
Kwadratury Newtona-Cotese’a Metoda trapezów i Simpsona należy do kwadratur Newtona-Cotese’a Mają one równoodległe węzły
Kwadratury Newtona-Cotese’a Dla w(x)=1
Kwadratury Gause’a – Legendre’a Wielomian Legendre’a Konwersja liniowa całki gdzie wówczas
Kwadratury Gause’a – Legendre’a
Kwadratury Gause’a – Legendre’a Gause’a – Legendre’a - błąd Pn (x) – wielomian Legendre’a
Metoda Monte Carlo
Zasada metody fmax(x) a b
Generowanie punktów Generuje się współrzędne x i y Wykorzystuje się liczby losowe (l.l.) o rozkładzie jednostajnym Domyślny generator ma zakres 0-1 Współrzędna x = a + l.l.*(b-a) Współrzędna y = l.l.*fmax(x)
Obliczanie ilości trafień Wylosowany punkt o współrzędnych (xi, yi) jest trafiony jeżeli:
Dokładność Dokładność metody zależy od: Ilości wygenerowanych punktów Jakości generatora liczb losowych
Algorytm Podaj granice całkowania i funkcję f Podaj ilość losowań N I,j=0 Znajdź wartość fmax w przedziale <a,b> X=a+rnd*(b-a) Y=rnd*f.max I=I+1 Jeżeli Y<=f(X) to j=j+1 Jeżeli i<N to idź do 5 P=j/n*(b-a)*fmax Drukuj P
Numeryczne obliczanie pochodnych
Pochodne funkcji w punkcie x2 x0 x1
Pochodne centralne -
Pochodne centralne O(h2)
Pochodne centralne O(h3)
Pochodne w przód/w tył O(h)
Pochodne w przód/w tył O(h2)
Pochodne w przód/w tył O(h3)
Zastosowanie numerycznego obliczania pochodnej w algorytmie znajdowania pierwiastków metodą Newtona
Algorytm metody Newtona Wprowadzić punkt startowy x1 oraz dokładność Obliczyć y1 Obliczyć y'1 Obliczyć Jeżeli |x2- x1 | todrukuj x2, koniec. x1= x2 Powrót do punktu 2 Koniec.
Algorytm obliczenia pochodnej 3.1 Przyjąć krok h = 0.001 3.2 Obliczyć y0 = f(x-h) 3.3 Obliczyć y2 = f(x+h) 3.4 Obliczyć y' = (y2- y0 )/(2h) 3.5. Sprawdzić, czy y' nie jest równe 0. Jeżeli tak drukuj informację "zły punkt startowy" i zakończ program.