jest najbardziej efektywną i godną zaufania metodą, „(...) matematyka jest najbardziej efektywną i godną zaufania metodą, jaką znamy, dla zrozumienia tego, co widzimy dookoła nas.” Ian Stewart: „Czy Bóg gra w kości?”

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE Co to jest równanie różniczkowe? Definicja i podstawowe pojęcia. Zastosowania równań różniczkowych.

Przypuśćmy, że na początku mamy 20 miligramów substancji radioaktywnej i że masę m miligramów tej substancji po t dniach określa wzór: (1) Prędkość rozpadu określona jest więc przez pochodną: (2) Z (1) mamy (3) a więc równanie (2) można zapisać: Równania takie jak (2) i (3), które mówią nam coś o pochodnej, nazywamy równaniami różniczkowymi.

Bardzo często wiedza, jaką posiadamy o pewnej sytuacji lub prawach przyrodniczych sprowadza się do znajomości wskaźników zmiany, co umożliwia nam budowanie modelu w postaci równania różniczkowego. Po zapisaniu takiego równania zależy nam na znalezieniu jawnego wzoru łączącego zmienne występujące w równaniu; wzór ten jest rozwiązaniem równania różniczkowego. Wracając do przykładu z radioaktywnością oznacza to, że rozpoczynamy od równania (3): i jako wniosek otrzymujemy równanie (1):

Równanie mówi, że prędkość rozpadu jest proporcjonalna do masy substancji, która w danej chwili się nie rozpadła.

Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: (1) F(x,y,y’,...,y(n)) = 0 wiążące zmienną niezależną x, zmienną zależną y oraz pochodne y’, y’’,....,y(n) funkcji niewiadomej y. Rzędem równania nazywamy rząd najwyższej pochodnej występującej w równaniu (1). Stopniem równania nazywamy największą potęgę najwyższej pochodnej w równaniu (1). PRZYKŁADY

Rzędem równania nazywamy rząd najwyższej pochodnej występującej w równaniu (1). Stopniem równania nazywamy największą potęgę najwyższej pochodnej występującej w równaniu (1). PRZYKŁADY:

Rozwiązaniem (całką) równania F(x,y,y’, Rozwiązaniem (całką) równania F(x,y,y’,...,y(n)) = 0 nazywamy funkcję (x) klasy Cn , która podstawiona do równania w miejsce y (oraz odpowiednio ’ w miejsce y’,...,(n) w miejsce y(n)) zamienia to równanie w tożsamość. Wykres rozwiązania równania różniczkowego nazywamy krzywą całkową równania.

Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania różniczkowego nazywamy dowolną funkcję postaci: która dla każdej wartości jest rozwiązaniem równania (1), jest to n parametrowa rodzina krzywych. Rozwiązanie szczególne (całkę szczególną) otrzymujemy nadając parametrom pewne stałe wartości.

W wielu zagadnieniach (fizycznych, technicznych i innych) często wynika potrzeba wyznaczenia rozwiązania szczególnego, spełniającego tzw. warunki początkowe. Problem polegający na znalezieniu rozwiązania równania różniczkowego spełniającego warunki początkowe nazywany jest problemem (zagadnieniem) Cauchy'ego. Zagadnienie Cauchy'ego dla równania I rzędu: gdzie x0, y0 Î R. PRZYKŁAD

Przypuśćmy, że na początku mamy 20 miligramów pewnej substancji radioaktywnej, której współczynnik rozpadu wynosi 0,3. Znaleźć zależność masy m, która nie uległa rozpadowi, od czasu t. Rozwiązanie: . . . . . .

Zastosowania równań różniczkowych: w różnych działach matematyki (geometrii różniczkowej, analizie zespolonej, rachunku prawdopodobieństwa, teorii liczb...), do opisu i badania bardzo wielu procesów fizycznych, chemicznych, przyrodniczych, technicznych, ekonomicznych i społecznych. PRZYKŁADY

W jaki sposób następuje wzrost lub spadek populacji? DYNAMIKA POPULACJI W jaki sposób następuje wzrost lub spadek populacji? Problem ten może dotyczyć ludzi, zwierząt, bakterii, liczby zainfekowanych pewnym wirusem komórek w krwi pacjentów itd. Prędkość wzrostu populacji P jest proporcjonalna do liczebności populacji: gdzie k jest stałą.

TEMPERATURA Prawo Newtona mówi: Prędkość stygnięcia ciała jest wprost proporcjonalna do różnicy temperatur ciała i otoczenia gdzie T jest temperaturą ciała, T0 temperaturą otoczenia, k>0 współczynnikiem stałym w danych warunkach.