MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI RÓŻNE KULTURY – JEDNA TOŻSAMOŚĆ Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach programu Erasmus+ MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI Bożena Stanisławska nauczycielka matematyki w Liceum Ogólnokształcącym Niepublicznym Kolegium św. Stanisława Kostki KSW w Warszawie.

Funkcję liczbową f:X Y nazywamy funkcją rosnącą w zbiorze A, A  X wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych x1, x2 należących do zbioru A prawdziwa jest implikacja x1 < x2 => f(x1) < f(x2) y x X1 X2 y1 y2 Jeżeli x1 < x2, to y1 < y2. rosną

Funkcję liczbową f:X Y nazywamy funkcją malejącą w zbiorze A, A  X wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych x1, x2 należących do zbioru A prawdziwa jest implikacja x1 < x2 => f(x1) > f(x2) Y x x1 x2 y1 y2 Jeżeli x1 < x2, to y1 > y2. rosną maleją

Funkcja f jest stała gdy po mimo zmiany argumentów wartości funkcji się nie zmieniają, czyli gdy dla każdego x1, x2  należących do zbioru A, A  X zachodzi: f(x1) = f(x2). Y X x1 x2 x3 x4 y różne argumenty te same wartości Jeżeli x1 x2, to f(x1) = f(x2).

Funkcję liczbową f:X Y nazywamy niemalejącą w zbiorze A, A  X wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych x1, x2 należących do zbioru A prawdziwa jest implikacja x1 < x2 => f(x1) ≤ f(x2)

Funkcję liczbową f:X Y nazywamy nierosnącą w zbiorze A, A  X wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych x1, x2 należących do zbioru A prawdziwa jest implikacja x1 < x2 => f(x1) ≥ f(x2)

Funkcję, która jest rosnąca w całej dziedzinie, nazywamy funkcją rosnącą Funkcję, która jest malejąca w całej dziedzinie, nazywamy funkcją malejącą Funkcję, która jest stała w całej dziedzinie, nazywamy funkcją stałą.

Zadanie 1 Na poniższym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f. Podaj przedziały monotoniczności funkcji

Odpowiedź:

Zadanie 1 Wykaż, że funkcja f(x) = 2x -4 jest rosnąca. Rozwiązanie Założenie: f(x) = 2x -4 , x1, x1  R i x1<x2 Teza: f(x1)<f(x2 ) Dowód: f (x1)= 2x1 -4  f (x2)= 2x2 -4  Wyznaczam różnicę f (x1)- f (x2)= 2x1 -4-(2x2 -4)=2x1-2x2=2(x1-x2), Ponieważ z założenia mamy x1<x2, więc x1-x2<0 stąd f(x1)-f(x2)<0 a więc f(x1)<f(x2) tak więc ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji, czyli funkcja jest rosnąca w R.

Zadanie 2     Dowód:  

Sprawdź czy rozumiesz: Zadanie 1 Na poniższym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f. Podaj przedziały monotoniczności funkcji

Zadanie 2  

H.Pawłowski – Matematyka-podręcznik dla klasy I Literatura: K.Kłaczkow, M.Kurczab, E. Świda – Matematyka – podręcznik i zbiór zadań do liceów i techników, klasa I, H.Pawłowski – Matematyka-podręcznik dla klasy I R.Leitner, W.Żakowski Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie Prezentacja została opracowana podczas realizacji projektu „Różne kultury – jedna tożsamość”, współfinansowanego ze środków Unii Europejskiej z programu ERASMUS+. Partnerzy projektu: Fundacja „Dla Polonii”, Macierz Szkolna na Litwie i Ogólnokrajowa Szkoła Polska na Węgrzech. Informacje o projekcie i konspekty lekcji znajdziesz na portalu http://e-akademia.net/ RÓŻNE KULTURY – JEDNA TOŻSAMOŚĆ Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach programu Erasmus+