Ruch masy w układach ożywionych. Dyfuzyja i reakcja chemiczna. Wykład 9 Ruch masy w układach ożywionych. Dyfuzyja i reakcja chemiczna. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Na poprzednim wykładzie omówiliśmy procesy dysocjacji i asocjacji do powierzchni limitowane dyfuzją. W tym reżimie szybkość „reakcji” jest nieskończona (reakcja zachodzi natychmiast). W ogólności tak nie musi być i reakcje zachodzące na powierzchni receptora mają skończoną szybkość. Problem jest podobny jak tydzień temu: reakcja heterogeniczna więc: Gdy ligand dotrze do powierzchni receptora reaguje, a reakcje opisuje stała szybkości reakcji k1 Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. zmieniają się warunki brzegowe: k1 m3/mol s

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Rozwiązaniem tego równania z tak zdefiniowanymi warunkami brzegowymi jest funkcja:

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Szybkość reakcji możemy odnieść do znanego stężenia z dala od receptora: przekształcając mamy: to stężenie możemy zmierzyć

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Dla bardzo szybkich reakcji powierzchniowych w stosunku do szybkości procesu dyfuzji mamy: proces limitowany dyfuzją

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Dla bardzo wolnych reakcji powierzchniowych w stosunku do szybkości procesu dyfuzji mamy: proces limitowany reakcją

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Procesy „szeregowe” = sumujemy „opory”

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Konwekcja i dyfuzja przez membranę Przyjmijmy brak reakcji chemicznej Równanie konwekcji – dyfuzji przyjmuje postać: Całkowanie tego równania daje zależność na profil stężenia:

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Korzystając z warunków brzegowych, otrzymujemy profil stężenia w membranie: Gdzie: Liczba Pecleta

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Dla małych wartości liczby Pe dyfuzja jest Dominująca i profil stężenia jest liniowy

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Gęstość strumienia masy masy transportowanego przez membranę wynosi: Reżim dyfuzyjny Dla Pe0 Dla Pe∞ Reżim konwekcyjny

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Konwekcyjny ruch masy – współczynniki wnikania masy Na wcześniejszych wykładach wyprowadziliśmy równanie Konwekcji – Dyfuzji które opisuje rozkład stężenia danej substancji w przepływie: Wprowadźmy zmienne bezwymiarowe: Liczba Fouriera Stężenie początkowe Prędkość średnia

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Przekształcamy równanie do postaci bezwymiarowej: Liczba Pecleta Charakterystyczny czas dyfuzji Charakterystyczny czas konwekcji

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Jeżeli dyfuzja jest bardzo szybka( względem konwekcji) Równanie upraszcza się do postaci: A gdy nie ma w przepływie reakcji chemicznej redukuje się do drugiego prawa Ficka: Wymiarowo:

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Charakterystyczny czas dyfuzji do charakterystycznego czasu reakcji chemicznej

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych.

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Liczba Pecleta może być zapisana w postaci: Liczba Reynoldsa Lepkość kinematyczna płynu Sc to liczba Schmidta Dla gazów Sc wynosi około 1, dla dyfuzji związków drobnocząsteczkowych w wodzie około 1000, dla dyfuzji białek w wodzie od 104- 105 a więc nawet dla małych liczb Re w ostatnim przypadku liczba Pe może mieć znaczącą wartość.

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Dla dużych wartości liczby Pe, dominującym transportem jest konwekcja , ale nie oznacza to, że dyfuzja może być nie brana pod uwagę szczególnie w kierunku innym niż niż kierunek przepływu. Należy pamiętać że w układzie mogą występować różne skale wielkości: L Reakcja zachodzi tylko na powierzchni dla r=R więc:

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Zakładamy w pełni rozwinięty przepływ więc vz jest jedynie funkcją r. L W układzie wyróżnić można dwie skale długości: 2R w kierunku promieniowym i L w kierunku z, gdzie R<<L. Tak więc bezwymiarowe zmienne z i r, będą inaczej skalowane: Zakładamy, że interesuje nas transport w kierunku r i tu spodziewamy się wpływu dyfuzji więc Czas i liczbę Pecleta definiujemy:

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Równanie K-D przyjmuje postać bezwymiarową: Dla R<<L i stanu ustalonego: Konwekcja wzdłużna równoważy się z dyfuzją promieniową

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Dla transportu białek w naczyniu włosowatym, średnia prędkość przepływu krwi wynosi od 0,02 – 0,17 cm/s a średnia długość naczynia może być przyjęta jako 0,06 cm. Dla krwi lepkość kinematyczna wynosi 0,03 cm2/s a współczynnik dyfuzji białka można przyjąć jako 6 x 10-7 cm2/s. Średnica naczynia wynosi od 7 do 15 mikro metrów ( przyjmijmy do obliczeń 10) . Dla takich warunków A więc liczba Pecleta wynosi: wzdłuż kapilary dominuje konwekcja transport promieniowy zdominowany jest przez dyfuzje

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Dla współrzędnych kartezjańskich ( w układzie 2D np. Przepływ pomiędzy dwoma płytami w kanale płaskim) Człon dużo mniejszy H/L<1 W stanie ustalonym dyfuzja w kierunku normalnym do kierunku przepływu konwekcyjnego równoważy się z konwekcją :

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Komórki śródbłonka wyściełające naczynia krwionośne wydzielają różnego rodzaju substancje do krwi na skutek pobudzania odpowiednimi bodźcami. Zakładamy: krew to płyn newtonowski, dla r=R następuje uwolnienie substancji i panuje tam stężenie c0

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Warunki brzegowe: Rozwiązanie oparte o koncepcje „krótkiego” kontaktu płynu ze ścianka naczynia Dla krótkiego czasu kontaktu stężenie zmienia się tylko w pobliżu ścianki i płyn zachowuje się ja pół – nieskończony ośrodek.

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Profil prędkości w przewodzie opisuje równanie: Można wprowadzić nową zmienną: Podstawiając do rów. K-D i redukując człon dyfuzji na kierunku z: R>>y Można pominąć

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Brakuje naturalnej skali długości w kierunku y, zdefiniujmy taka skalę δ jako dystans po którym stężenie zmieni się od 0 do c0 Możemy zdefiniować nową zmienną:

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Rozwiązanie:

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Gęstość strumienia uwalnianej masy:

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Rozwiązania te są słuszne dla Dla naczyń włosowatych to rozwiązanie aproksymacyjne spełnione jest dla cm2/s Czyli jest słuszne dla transportu białek! Dla wartości Można stosować następująca zależność na gęstość strumienia Uwalnianej masy : Rów. To jest słuszne dla transportu tlenu !

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Transport masy i reakcja chemiczna Reakcja chemiczna zachodzi na powierzchni komórek zanurzonych w przepływającym płynie:

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. transport do powierzchni Reakcja na powierzchni Stężenie na powierzchni Reakcja jest heterogeniczna. Gęstość strumienia reagującego: Wprowadzając liczbę Da

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Dla Da <<1 czas transportu masy jest dużo mniejszy od czasu reakcji. Reakcja nie jest limitowana transportem substratu: Dla Da >>1 czas transportu masy jest dużo większy od czasu reakcji. Reakcja jest limitowana transportem substratu i nie zależy od wielkości k’’ : Proces limitowany szybkością transportu masy , szybkość reakcji zależy od szybkości transportu masy

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Bardzo często reakcje zachodzące wewnątrz tkanki (porowata struktura) możemy traktować jak pseudo-homogeniczne. Dyfuzja i reakcja zachodzą równolegle. Powierzchnia właściwa {m2/m3} Dla stanu ustalonego mamy: Szybkość reakcji na jednostkę powierzchni ( wewnętrznej) Efektywna szybkość reakcji Często interesuje nas makroskopowa szybkość reakcji więc musimy uśrednić wielkości lokalne:

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Wpływ dyfuzji na reakcję chemiczną może być wyrażony poprzez porównanie makroskopowej szybkości reakcji w danym układzie do szybkości reakcji jaka była by dla przypadku gdy dyfuzja nie wpływa na reakcje chemiczną (cały substrat jest w kontakcie z płynem o stężeniu c0)

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Rozpatrzmy przypadek dyfuzji i nieodwracalnej reakcji pierwszego rzędu w porowatym wycinku tkanki o grubości 2L: Wprowadźmy zmienne bezwymiarowe: Moduł Thielego ( czas dyfuzji /czas reakcji)

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Rozwiązanie przyjmuje postać: lub

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Szybkość reakcji makroskopowa: A więc: Gdy dyfuzja nie limituje szybkości reakcji

Wykład 9 – Ruch masy w układach ożywionych. Reakcja jest powolna w stosunku do dyfuzji Dyfuzja limituje szybkość reakcji