Analiza numeryczna i symulacja systemów Janusz Miller 2. Równania różniczkowe zwyczajne - cz.1 - liniowe metody wielokrokowe

Równania różniczkowe zwyczajne W przypadku układu równań y jest wektorem. Równania wyższych rzędów najczęściej sprowadzamy do układu równań 1. rzędu, np. dla równania 2. rzędu wprowadzamy nowe zmienne i zapisujemy układ równań 1. rzędu Rozwiazanie analityczne a numeryczne Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

Zagadnienie początkowe dla r.r. zwyczajnych Zagadnienie początkowe czyli problem Cauchy’ego: Zadajemy odpowiednią liczbę warunków początkowych Zagadnienie początkowe (Initial Value Problem - IVP) a zagadnienie brzegowe (Boundary Value Problem - BVP) . Istnienie i jednoznaczność rozwiązania Warunek Lipschitza dla zmiennej y: Istnieje L>0, takie, że dla każdej pary zachodzi Twierdzenie: Jeżeli warunek Lipschitza jest spełniony, to rozwiązanie istnieje i jest jednoznaczne. Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

Błąd lokalny, błąd globalny, rząd Oznaczenia: yi - numeryczne przybliżenie rozwiązania y(ti). Błąd całkowity (globalny) Błąd lokalny - błąd pojedynczego kroku, jeżeli Rząd metody jest równy p wtedy, gdy: jeżeli y (rozwiązanie dokładne) jest dowolnym wielomianem stopnia s<=p, to błąd rozwiązania numerycznego i istnieje wielomian stopnia s>p, dla którego ta tożsamość nie zachodzi. Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

Metody: Eulera, wstecznego różniczkowania i całkujące Metoda Eulera - “pierwotna” w każdej grupie metod. Metody wstecznego różniczkowania stąd “Ulepszając” przybliżenie pochodnej przybywa składników yn-i . Ogólnie: Metody wykorzystujące całkowanie numeryczne stosujemy kwadraturę, Ogólnie: Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

Przykłady metod Metoda Gear’a - wstecznego różniczkowania - BDF (Backward Differentiation Formula) - rzędu r - wielokrokowa, jednoetapowa, jawna - funkcja w MATLABie i SIMULINKU: ode15s b d a1 a2 a3 a4 a5 a6 1 1 1 2 3 4 -1 6 11 18 -9 2 12 25 48 -36 16 -3 60 137 300 -300 200 -75 12 60 147 360 -450 400 -225 72 -10 Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

Przykład metody opartej na całkowaniu: Adamsa-Bashfortha Przykłady metod Przykład metody opartej na całkowaniu: Adamsa-Bashfortha - wielokrokowa, jednoetapowa, jawna W metodzie Gear’a jest suma yn, a w A-B - suma fn.. Ta róznica nie ma wpływu na koszt obliczeniowy. Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

Metody jawne albo niejawne Kiedy metoda jest jawna / niejawna? Dotychczas wymieniane - jawne Przykłady metod niejawnych Niejawna metoda Eulera Metoda trapezowa - rzędu 2 - jednokrokowa Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

Metody typu predyktor-korektor Metody jawne mają swoje zalety (np.większy obszar stabilności absolutnej - o czym za chwilę). Jak z nich skorzystać: - w każdym kroku iteracyjnie rozwiązać algebraiczne równanie nieliniowe (kosztowne, nie każdy proces iteracyjny jest zbieżny), - pierwsze przybliżenie obliczyć metodą jawną (predykcja), następne - niejawną (korekcja), - są twierdzenia o optymalnej liczbie etapów korekcji - tak dobiera się parę metod (jawną i niejawną) aby był to jeden etap. optymalny - tzn. najmniejszy błąd przy danym koszcie obliczeniowym - Na dokładność możemy wpływać długością kroku i rzędem metody - oba czynniki wpływają na koszt obliczeniowy (mierzony liczbą wyznaczanych wartości funkcji f). Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

Metody typu predyktor-korektor - przykłady Metoda Heuna - para: Eulera + trapezowa - rzędu 2 - jednokrokowa, dwuetapowa - nazwa w SIMULINKu: Heun Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

Metody typu predyktor-korektor - przykłady Metody Adamsa-Bashfortha-Moultona, np.: - para: Adamsa-Bashfortha + Adamsa-Moultona - rzędu 4 - wielokrokowa, dwuetapowa - funkcja w MATLABie i SIMULINKu: ode113 Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

Metody typu predyktor-korektor - przykłady Metoda Milne-Simpsona - obecnie rzadko stosowana (stabilność). Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

Liniowe metody wielokrokowe (LMWK) Uogólnienie metod opartych na wstecznym różniczkowaniu i całkowaniu Składniki odpowiadające wstecznemu różniczkowaniu Składniki odpowiadające całkowaniu Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

Zbieżność, stabilność, zgodność metody Definicja: Metoda (dowolna, nie tylko LMWK) jest zbieżna jeżeli Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

LMWK: Stabilność zerowa - w sensie Dahlquista Zakładamy, że Metoda jest stabilna (w sensie Dahlquista) jeżeli nawet gdy początkowe Korzystając z transformaty Z tworzymy wielomian charakterystyczny metody Twierdzenie: Metoda jest stabilna jeżeli jeżeli dodatkowo tzn. pierwiastki mają leżeć w kole jednostkowym, a te, które są na okręgu, muszą być jednokrotne. Wszystkie metody oparte na całkowaniu są stabilne (w sensie Dahlquista). Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

Przykład równania różnicowego, transformaty Z, badania stabilności Populacja owadów rozmnażających się w drugim roku życia. Równanie różnicowe Transformata Z Wielomian charakterystyczny Warunek stabilności Przykłąd z owadami a metoda wstecznego różniczkowania - to samo równanie Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

LMWK: Stabilność, zgodność - zbieżność Mówimy, że metoda jest zgodna, jeżeli jest ona rzędu co najmniej pierwszego. (Zgodność oznacza, że błąd maleje do zera gdy krok h 0). Drugi wielomian charakterystyczny metody Warunek zgodności: czyli Twierdzenie: Metoda wielokrokowa jest zbieżna wtedy i tylko wtedy gdy jest zgodna i stabilna. Wniosek: O zbieżności LMWK rozstrzygamy badając wielomiany charakterystyczne. Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

LMWK: Stabilność absolutna (bezwzględna) Dla stabilnego układu liniowego y’=Ay (stabilnego tzn, ) zastosujmy LMWK LMWK jest absolutnie stabilna dla danej długości kroku h=const jeżeli dla dowolnych warunków początkowych y0,...,yq-1 ciąg rozwiązań yn dąży do zera gdy n dąży do nieskończoności. Definicja: Wielomian stabilności absolutnej LMWK l - wartość własna macierzy A. Twierdzenie: LMWK jest absolutnie stabilna dla kroku h, jeżeli dla każdej wartości własnej macierzy A Dla h=0 dostajemy warunek stabilności zerowej Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

Przykład badania zgodności i stabilności absolutnej metody Eulera Dla zagadnienia początkowego przybliżenie otrzymane jawną metodą Eulera ma postać czyli 1. Badamy zgodność. Dla dowolnego t =nh : 2. Badamy stabilność absolutną. Jak zmienia się rozwiązanie gdy zmieniamy l: - l < 0 : ciąg yn jest malejący gdy |1+hl | < 1, czyli 0 < h < -2/l, - l > 0 : ciąg yn jest rosnący dla każdego h > 0, |1+hl | > 1. 3. Co możemy powiedzieć o zbieżności tej metody? Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

LMWK: obszary stabilności absolutnej Dla jawnej metody Eulera Re Im -1 Dla niejawnej metody Eulera Re Im 1 Mówimy, że metoda jest A-stabilna, jeżeli do jej obszaru stabilności absolutnej należy cała “ujemna półpłaszczyzna zespolona” . Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne

Lokalny i globalny bład metody. LMWK - Podsumowanie Lokalny i globalny bład metody. LMWK - uogólnienie metod opartych na wstecznym różniczkowaniu i całkowaniu. Dlaczego nie stosuje się metod opartych na różniczkowaniu progresywnym lub centralnym? Metody jawne / niejawne, metody predyktor-korektor. Rząd, zbieżność, zgodność, stabilność zerowa, stabilność absolutna. Warunek początkowy a start metody wielokrokowej. Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne