Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej

Slides:



Advertisements
Podobne prezentacje
OBLICZENIA NUMERYCZNE
Advertisements

Równanie różniczkowe zupełne i równania do niego sprowadzalne
IV Tutorial z Metod Obliczeniowych
11. Różniczkowanie funkcji złożonej
Dany jest układ różniczkowych
Interpolacja Cel interpolacji
mgr inż. Ryszard Chybicki Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych
Różniczkowanie numeryczne
Metody numeryczne wykład no 2.
Metody Numeryczne Wykład no 3.
Wykład no 3.
Przykład Równanie wahadła: Niech =1s -2 Warunki początkowe: około 86°
Interpolacja funkcji Dane wartości funkcji y n w punktach x n, gdzie n=0,1,2,....N-1. x y x0x0 y0y0 xnxn ynyn x N-1 y N-1.
Przykład: Dana jest linia długa o długości L 0 bez strat o stałych kilometrycznych L,C.Na początku linii zostaje załączona siła elektromotoryczna e(t),
Wykład no 11.
ZLICZANIE cz. II.
„METODA FOURIERA DLA JEDNORODNYCH WARUNKÓW BRZEGOWYCH f(0)=f(a)=0”
OPORNOŚĆ HYDRAULICZNA, CHARAKTERYSTYKA PRZEPŁYWU
Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej
ETO w Inżynierii Chemicznej
Metoda różnic skończonych I
Hipoteza cegiełek, k-ramienny bandyta, minimalny problem zwodniczy
Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych
Dane do obliczeń.
Dodatkowe własności funkcji B-sklejanych zawężenie f do K Rozważmy funkcjeIch zawężenia do dowolnego przedziałutworzą układ wielomianów. Dla i=k ten układ.
Metody matematyczne w inżynierii chemicznej
ETO w Inżynierii Chemicznej
Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej
Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Sterowanie.
ETO w Inżynierii Chemicznej MathCAD wykład 4.. Analiza danych Aproksymacja danych.
Metody numeryczne SOWIG Wydział Inżynierii Środowiska III rok
Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012
Podstawy analizy matematycznej II
Obserwatory zredukowane
dla klas gimnazjalnych
Zakładamy a priori istnienie rozwiązania α układu równań.
Modelowanie matematyczne jako podstawa obliczeń naukowo-technicznych:
Teoria sterowania 2011/2012Sterowanie – metody alokacji biegunów III Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Sterowanie.
Ostyganie sześcianu Współrzędne kartezjańskie – rozdzielenie zmiennych
Sterowanie – metody alokacji biegunów II
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu
MECHANIKA 2 Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI.
Zadania z indywidualnością
MOiPP Matlab Przykłady metod obliczeniowych Obliczenia symboliczne
Rozwiązywanie układów równań liniowych różnymi metodami
Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej
Metody matematyczne w inżynierii chemicznej Wykład 3. Całkowanie numeryczne.
opracowała: Anna Mikuć
METHOD OF LINES (MOL) Poznan University of Life Sciences Department of Hydraulic and Sanitary Engineering Hamdi, Schiesser & Griffiths:
Tematyka zajęć LITERATURA
Metody matematyczne w inżynierii chemicznej
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
Ćwiczenia 7 Interpolacja za pomocą ilorazów różnicowych
Wstęp do metod numerycznych
Metody rozwiązywania układów równań nieliniowych
Wykład 6 Dr Aneta Polewko-Klim
Wstęp do metod numerycznych
Wstęp do metod numerycznych Wykład 6 Interpolacja 1 dr inż. Wojciech Bieniecki Instytut Matematyki i Informatyki
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej MATEMATYCZNE MODELOWANIE PROCESÓW BIOTECHNOLOGICZNYCH Temat – 5 Modelowanie różniczkowe.
Fundamentals of Data Analysis Lecture 12 Approximation, interpolation and extrapolation.
Rozwiązywanie układów równań Radosław Hołówko Konsultant: Agnieszka Pożyczka.
Metody optymalizacji Materiał wykładowy /2017
Analiza numeryczna i symulacja systemów
jest najbardziej efektywną i godną zaufania metodą,
Metody matematyczne w inżynierii chemicznej
MATEMATYCZNE MODELOWANIE PROCESÓW BIOTECHNOLOGICZNYCH
ETO w Inżynierii Chemicznej
Jednorównaniowy model regresji liniowej
Teoria sterowania Materiał wykładowy /2017
Sterowanie procesami ciągłymi
Zapis prezentacji:

Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej Rozwiązywanie równań różniczkowych przy zadanym zagadnieniu brzegowym

Dane jest r.r. II-go rzędu Poszukiwane jest rozwiązanie szczególne spełniające określone warunki na granicach przedziałów. Np.: dla oraz dla a b A B

Inne warunki brzegowe: oraz dla dla a b A

Inne warunki brzegowe: dla oraz dla a b Takie warunki brzegowe nie są jednoznaczne

Ogólnie warunki brzegowe dla r. r Ogólnie warunki brzegowe dla r.r. drugiego rzędu można zapisać w formie układu równań: Obliczenia można rozpocząć tylko od jednego końca przedziału zatem jeżeli brakuje jednej z wartości trzeba ją założyć (!), wykonać obliczenia i sprawdzić, czy warunek brzegowy na drugim końcu przedziału jest spełniony METODA STRZAŁÓW

Rozwiązywanie liniowych równań różniczkowych II-go rzędu metodą różnicową Z warunkami brzegowymi: Gdzie a i b to granice przedziału. Przedział podzielmy na n części i oznaczmy:

Z podzielania przedziału otrzymujemy regularną siatkę liniową 1 2 i n n+1 n = 510 Dla wewnętrznych węzłów siatki można napisać równania na pochodne obliczane centralnie z O(h2) Oznaczmy:

Po podstawieniu do równanie różniczkowego Po uporządkowaniu wg y Poprawione!!

Otrzymujemy n-1 równań opisujących funkcję w wewnętrznych węzłach siatki od i=2 do i=n Ilość niewiadomych wynosi n+1 (od y1 do yn+1), brakuje dwóch równań.

Wykorzystać należy równania warunków brzegowych: Dla skrajnych węzłów trzeba skorzystać z równań niesymetrycznych (w przód i w tył) O(h)

Dla węzła 1 Po uporządkowaniu: podstawmy

Dla węzła n+1 Po uporządkowaniu: podstawmy

Ostatecznie otrzymamy układ równań

W zapisie macierzowym Takie wyrażenie (trój-diagonalną macierzą współczynników) można rozwiązać za pomocą metody Thomasa (przegnania)

Przekształcamy do postaci Gdzie: , przy czym: Rozwiązanie:

Ekstrapolacja Richardsona http://en.wikipedia.org/wiki/Richardson_extrapolation Opiera się na metodzie różnicowej Polega na policzeniu wartości funkcji przy kroku h i kroku o połowę krótszym: h/2 Korzysta z założenia, że błąd O(h2)~Ah2 Skorygowana wartość funkcji w węzłach:

Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej INTERPOLACJA

Interpolacja Liniowa Założenie: Związek między zmienną niezależną i zależną pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami w tabeli jest liniowy xi xi+1 yi yi+1 y x

Algorytm obliczania wartości funkcji za pomocą interpolacji liniowej Wczytać uporządkowaną rosnąco tabelę w formacie zmiennych indeksowanych xi i yi o indeksach i od 1 do n Wczytać wartość zmiennej niezależnej x Przyjąć i =0 Zwiększyć i o 1 Sprawdzić czy xi+1 > x, jeżeli nie to powrót do p.4 Obliczyć y=yi+(yi+1 - yi)/(xi+1 - xi)(xi+1 - x) Wydrukować y

Interpolacja liniowa daje duże błędy przy rzadkich tabelach i silnie krzywoliniowych zależnościach x

Interpolacje nieliniowe Twierdzenie o interpolacji: Istnieje jeden wielomian interpolujący Wn(x) stopnia co najwyżej n, taki że dla każdego i Wn(xi)=yi, gdzie: i = 0, 1, ...., n, xi , yi to współrzędne punktów interpolowanych

Wzór interpolacyjny Newtona Gdzie: Iloraz różnicowy I-go rzędu Iloraz różnicowy II-go rzędu

Przykład obliczeń ilorazów różnicowych Iloraz różnicowy I-go rzędu Iloraz różnicowy II-go rzędu Iloraz różnicowy III-go rzędu i xi f(xi) f(xi+1;xi) f(xi+2; xi+1;xi) f(xi+3; xi+2; xi+1;xi) (8-0)/(2-0)=4 1 2 8 (19-4)/(3-0)=5 (27-8)/(3-2)=19 (10-5)/(5-0)=1 3 27 (49-19)/(5-2)=10 (125-27)/(5-3)=49 5 125

wi(x): Jest to wielomian dany równaniem: np.

Przykład: napisać wzór interpolacyjny dla funkcji danej tabelą: xi f(xi) 1 2 8 3 27 5 125 n = 3: wielomian stopnia 3-go

Uproszczenie obliczeń w przypadku stałych przyrostów argumentu funkcji

Uproszczenie obliczeń w przypadku stałych przyrostów argumentu funkcji Dla dowolnego k<0,n>:

Uproszczenie obliczeń w przypadku stałych przyrostów argumentu funkcji Wprowadźmy zmienną: Otrzymamy: ......

Uproszczenie obliczeń w przypadku stałych przyrostów argumentu funkcji Po podstawieniu do wielomianu: Zalety przekształcenia: Brak konieczności obliczania ilorazów różnicowych Zmienna x jest wprowadzana tylko raz przy obliczeniu q

Przykład obliczeń ny0 1-0=1 1 7-1=6 8-1=7 12-6=6 2 8 19-7=12 27-8=19 xi yi y 2y 3y 1-0=1 1 7-1=6 8-1=7 12-6=6 2 8 19-7=12 27-8=19 3 27

Przykład: napisać wzór interpolacyjny dla funkcji danej tabelą: xi yi 1 2 8 3 27 h=1