Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej Rozwiązywanie równań różniczkowych przy zadanym zagadnieniu brzegowym

Dane jest r.r. II-go rzędu Poszukiwane jest rozwiązanie szczególne spełniające określone warunki na granicach przedziałów. Np.: dla oraz dla a b A B

Inne warunki brzegowe: oraz dla dla a b A

Inne warunki brzegowe: dla oraz dla a b Takie warunki brzegowe nie są jednoznaczne

Ogólnie warunki brzegowe dla r. r Ogólnie warunki brzegowe dla r.r. drugiego rzędu można zapisać w formie układu równań: Obliczenia można rozpocząć tylko od jednego końca przedziału zatem jeżeli brakuje jednej z wartości trzeba ją założyć (!), wykonać obliczenia i sprawdzić, czy warunek brzegowy na drugim końcu przedziału jest spełniony METODA STRZAŁÓW

Rozwiązywanie liniowych równań różniczkowych II-go rzędu metodą różnicową Z warunkami brzegowymi: Gdzie a i b to granice przedziału. Przedział podzielmy na n części i oznaczmy:

Z podzielania przedziału otrzymujemy regularną siatkę liniową 1 2 i n n+1 n = 510 Dla wewnętrznych węzłów siatki można napisać równania na pochodne obliczane centralnie z O(h2) Oznaczmy:

Po podstawieniu do równanie różniczkowego Po uporządkowaniu wg y Poprawione!!

Otrzymujemy n-1 równań opisujących funkcję w wewnętrznych węzłach siatki od i=2 do i=n Ilość niewiadomych wynosi n+1 (od y1 do yn+1), brakuje dwóch równań.

Wykorzystać należy równania warunków brzegowych: Dla skrajnych węzłów trzeba skorzystać z równań niesymetrycznych (w przód i w tył) O(h)

Dla węzła 1 Po uporządkowaniu: podstawmy

Dla węzła n+1 Po uporządkowaniu: podstawmy

Ostatecznie otrzymamy układ równań

W zapisie macierzowym Takie wyrażenie (trój-diagonalną macierzą współczynników) można rozwiązać za pomocą metody Thomasa (przegnania)

Przekształcamy do postaci Gdzie: , przy czym: Rozwiązanie:

Ekstrapolacja Richardsona http://en.wikipedia.org/wiki/Richardson_extrapolation Opiera się na metodzie różnicowej Polega na policzeniu wartości funkcji przy kroku h i kroku o połowę krótszym: h/2 Korzysta z założenia, że błąd O(h2)~Ah2 Skorygowana wartość funkcji w węzłach:

Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej INTERPOLACJA

Interpolacja Liniowa Założenie: Związek między zmienną niezależną i zależną pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami w tabeli jest liniowy xi xi+1 yi yi+1 y x

Algorytm obliczania wartości funkcji za pomocą interpolacji liniowej Wczytać uporządkowaną rosnąco tabelę w formacie zmiennych indeksowanych xi i yi o indeksach i od 1 do n Wczytać wartość zmiennej niezależnej x Przyjąć i =0 Zwiększyć i o 1 Sprawdzić czy xi+1 > x, jeżeli nie to powrót do p.4 Obliczyć y=yi+(yi+1 - yi)/(xi+1 - xi)(xi+1 - x) Wydrukować y

Interpolacja liniowa daje duże błędy przy rzadkich tabelach i silnie krzywoliniowych zależnościach x

Interpolacje nieliniowe Twierdzenie o interpolacji: Istnieje jeden wielomian interpolujący Wn(x) stopnia co najwyżej n, taki że dla każdego i Wn(xi)=yi, gdzie: i = 0, 1, ...., n, xi , yi to współrzędne punktów interpolowanych

Wzór interpolacyjny Newtona Gdzie: Iloraz różnicowy I-go rzędu Iloraz różnicowy II-go rzędu

Przykład obliczeń ilorazów różnicowych Iloraz różnicowy I-go rzędu Iloraz różnicowy II-go rzędu Iloraz różnicowy III-go rzędu i xi f(xi) f(xi+1;xi) f(xi+2; xi+1;xi) f(xi+3; xi+2; xi+1;xi) (8-0)/(2-0)=4 1 2 8 (19-4)/(3-0)=5 (27-8)/(3-2)=19 (10-5)/(5-0)=1 3 27 (49-19)/(5-2)=10 (125-27)/(5-3)=49 5 125

wi(x): Jest to wielomian dany równaniem: np.

Przykład: napisać wzór interpolacyjny dla funkcji danej tabelą: xi f(xi) 1 2 8 3 27 5 125 n = 3: wielomian stopnia 3-go

Uproszczenie obliczeń w przypadku stałych przyrostów argumentu funkcji

Uproszczenie obliczeń w przypadku stałych przyrostów argumentu funkcji Dla dowolnego k<0,n>:

Uproszczenie obliczeń w przypadku stałych przyrostów argumentu funkcji Wprowadźmy zmienną: Otrzymamy: ......

Uproszczenie obliczeń w przypadku stałych przyrostów argumentu funkcji Po podstawieniu do wielomianu: Zalety przekształcenia: Brak konieczności obliczania ilorazów różnicowych Zmienna x jest wprowadzana tylko raz przy obliczeniu q

Przykład obliczeń ny0 1-0=1 1 7-1=6 8-1=7 12-6=6 2 8 19-7=12 27-8=19 xi yi y 2y 3y 1-0=1 1 7-1=6 8-1=7 12-6=6 2 8 19-7=12 27-8=19 3 27

Przykład: napisać wzór interpolacyjny dla funkcji danej tabelą: xi yi 1 2 8 3 27 h=1