FILTRACJA Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Jedną z podstawowych metod separacji zawiesin ciała stałego jest FILTRACJA Polega ona na przepływie przesączu przez warstwę porowatego osadu zawiesina klarowna ciecz osad przegroda filtracyjna Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Podczas filtracji przepływ przesączu przez warstwę osadu ma z reguły charakter laminarny. Jest więc aktualne równanie przepuszczalności : przepuszczalność prędkość pozorna grubość warstwy filtracyjnej lepkość przesączu Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Mnożąc u przez powierzchnię warstwy filtrującej F otrzymamy szybkość filtracji [m3/s]: objętość przesączu stosunek określany jest mianem oporu właściwego. Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Stąd analogicznie do pojęć elektrotechnicznych opór filtracyjny można zdefiniować następująco: Wykorzystując tą definicję równanie szybkości filtracji przyjmuje postać: analogiczne do prawa Ohma szybkość filtracji jest więc proporcjonalna do spadku ciśnienia w warstwie filtracyjnej Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA opór właściwy osadu a więc i opór całkowity jest proporcjonalny do lepkości przesączu. Stąd podwyższenie temperatury procesu będzie powodować redukcję wartości oporu a co za tym idzie przyspieszenie przebiegu filtracji. Opór filtracyjny spowodowany jest warstwą materiału ziarnistego i tkaniną filtracyjną (podkładem) utrzymującą tę warstwę. Dla tkaniny jej grubość L jest stała, a jej opór R da się wyznaczyć z zależności: stała charakterystyczna dla tkaniny określana doświadczalnie Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Opory w przegrodzie filtracyjnej występują szeregowo ( tkaniny + osadu ) . Wówczas: spadek ciśnienia w tkaninie spadek ciśnienia w osadzie czyli całkowity spadek ciśnienia wyniesie: czyli: całkowity opór układu Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Filtracja przy stałej grubości warstwy Grubość warstwy filtrującej jest stała. W początkowym etapie procesu, gdy porowatość złoża jest jeszcze duża opór filtracyjny R można przyjąć jako stały. Dla stałego ciśnienia P można wyznaczyć czas t potrzebny do uzyskania objętości V przesączu filtr piaskowy Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Jeżeli warstwa filtrująca L jest wysoka wówczas szybkość przepływu przesączu będzie równa: dla filtra okresowego w różniczkowym przedziale czasu dt poziom cieczy opadnie o dH powierzchnia warstwy filtracyjnej Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA czas opadania wody do powierzchni osadu Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Własności osadu Najczęściej podczas filtracji mamy do czynienia z przypadkiem gdy warstwą filtracyjną jest własny osad, a tkanina filtracyjna odgrywa tylko rolę mechanicznego podkładu. W miarę trwania procesu grubość warstwy osadu rosną a więc rośnie i opór filtracyjny. Ciśnienie cieczy podczas przepływu przez osad spada od wartości P1 do P2. W przekroju gdzie ciśnienie cieczy spada do P, na ziarna osadu działa ciśnienie lub „zgniot”: Największy zgniot osadu ma miejsce tuż na powierzchni tkaniny filtracyjnej, a na powierzchni osadu od strony cieczy spada on do zera. Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Pod wpływem „zgniotu” p osad przybiera określoną porowatość. Przy tkaninie będzie bardziej zbity, a na powierzchni bardziej luźny (bardziej porowaty). Przepuszczalność osadu może być przedstawiona jako funkcja „zgniotu”: gdzie b i s to stałe dla danego materiału. Wykładnik s jest współczynnikiem ściśliwości osadu. W przypadku granicznym s=0, mamy osad nieściśliwy, który ma jednakową porowatość na całej swej grubości. Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Opór osadu ściśliwego Stosownie do definicji oporu właściwego oraz wyrażenia opór właściwy osadu ściśliwego można przedstawić następująco: Stąd dla różniczkowej warstwy osadu o grubości dL i powierzchni F opór filtracyjny wyniesie: Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Szybkość filtracji przez tę warstwę różniczkową jest taka sama jak i przez całą grubość osadu (bilans masy): spadek ciśnienia w osadzie opór całej warstwy osadu Z zależności na „zgniot” osadu: wynika że spadek ciśnienia cieczy w osadzie dP jest równy wartości zgniotu w osadzie dp. Po podstawieniu tego do równania na szybkość filtracji, otrzymujemy równanie różniczkowe: Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Można to równanie scałkować: powierzchnia osadu od strony cieczy „zgniot” =0 , grubość maksymalna L powierzchnia osadu od strony tkaniny „zgniot” maksymalny, grubość 0 Całkowity opór osadu Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Równanie szybkości filtracji przy zmiennej grubości osadu: Jeżeli powierzchnia filtrująca wynosi F, to objętość osadu wynosi F*L, a przy jego średniej porowatości ε masa ciała stałego w osadzie wyniesie: gęstość ciała stałego Masa tego ciała jest związana z objętością przesączu V przez stężenie (dla niezbyt stężonej zawiesiny) : uwzględniając to w równaniu na opór filtracyjny: Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA otrzymamy: stała a Dla osadu o grubości znacznie większej od grubości tkaniny filtracyjnej, można przyjąć ΔP0 równe ΔP spadkowi ciśnienia w osadzie i tkaninie. Opór osadu w funkcji objętości uzyskanego przesączu: Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Opór tkaniny filtracyjnej : Opór osadu : Szybkość filtracji : Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Jest to ogólne równanie różniczkowe szybkości filtracji z jednostki powierzchni filtracyjnej w zależności od stosowanego ciśnienia filtracyjnego ΔP i od objętości przesączu uzyskanej do danego momentu. Wyróżniamy dwa sposoby prowadzenia procesu filtracji: Filtracja pod stałym ciśnieniem Filtracja ze stałą szybkością Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Filtracja pod stałym ciśnieniem: Stałe ciśnienie może być otrzymane za pomocą pompy o odpowiedniej charakterystyce lub przez zastosowanie zbiornika ciśnieniowego dla zawiesiny surowej. Dla tego przypadku ΔP = const można łatwo scałkować ostatnie równanie otrzymując: Wprowadźmy następujące wyrażenia : są to „stałe filtracyjne” Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Uwzględniając „stałe filtracyjne” ogólne równanie filtracji pod stałym ciśnieniem przyjmuje postać: Podaje ono zależność objętości uzyskanego przesączu od czasu podczas filtracji pod stałym ciśnieniem. szybkość chwilowa filtracji wierzchołek paraboli Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Równanie to wskazuje, że w miarę wzrostu objętości przesączu V maleje prędkość filtracji. W momencie początkowym V=0 prędkość filtracji jest maksymalna i uwarunkowana tylko oporem tkaniny filtracyjnej. Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Wartości stałych K i C określa się na filtrze o określonej powierzchni filtracyjnej F. Przy zmianie powierzchni filtracyjnej na inną wielkość np.. F1 i zachowaniu innych parametrów prowadzenia procesu wynikną inne wartości stałych stosownie do definicji: Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Przy zmianie ciśnienia do wartości ΔP1 wówczas nowe stałe filtracyjne wyniosą: Stąd też pomiar filtracji pod kilkoma ciśnieniami pozwala określić współczynnik ściśliwości s. Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Zmiana temperatury prowadzenia procesu wpłynie na wartość lepkości przesączu. Nowa stała filtracyjna wyniesie: Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Filtracja ze stałą szybkością : Stosując pompę o odpowiedniej charakterystyce, można uzyskać stała szybkość filtracji V/t. W miarę narastania osadu, a więc wzrostu oporu filtracyjnego, ciśnienie ΔP musi rosnąć. załóżmy że dla osadów nieściśliwych s=0 Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Filtracja dwustopniowa : Podczas filtracji pod stałym ciśnieniem szybkość jej na początku jest bardzo duża wskutek braku osadu na tkaninie. Może to spowodować utrudnienia tworzenia się osadu a w konsekwencji mętny przesącz. W przypadku osadu niejednorodnego małe ziarna mogą zatykać pory między ziarnami dużymi tworząc osad nieprzepuszczalny, co szybko hamuje proces. Aby uniknąć tych ujemnych skutków, stosuje się proces dwustopniowy : początkowo prowadzi się filtrację z umiarkowaną szybkością, której towarzyszy wzrost ciśnienia. Gdy ciśnienie to osiągnie wartość pożądaną, proces prowadzony jest pod stałym ciśnieniem. Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Proces dwustopniowy: W ostatnim momencie pierwszego okresu szybkość (V/t) jest równa szybkości początkowego momentu okresu drugiego stałe ciśnienie stała szybkość Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Znając wartości „stałych filtracyjnych” K i C dla wybranego ciśnienia ΔP oraz znając prędkość pierwszego okresu (V/t)1 możemy znaleźć objętość przesączu V1 otrzymanego w pierwszym okresie. a stąd możemy wyznaczyć czas trwania pierwszego okresu filtracji: stosownie do wykresu : Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Równanie nie może być stosowane dla II okresu filtracji gdyż było ono wyprowadzone przez scałkowanie równania na szybkość filtracji od stanu początkowego t = 0 V = 0. Obecnie stan początkowy charakteryzowany jest parametrami t1 i V1 Całkując równanie prędkości filtracji od tej granicy otrzymamy: Stąd równanie dla drugiego okresu filtracji przyjmuje postać: Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Zwykle dwustopniowość filtracji osiąga się przez zastosowanie pompy o odpowiedniej charakterystyce: Charakterystykę można przybliżyć dwoma prostymi: Początkowo pompa pracuje dając małe ciśnienie ale stałą wydajność Następnie ciśnienie wzrasta i ustala się mimo spadku prędkości filtracji Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Wydajność cyklu filtracyjnego : Aparaty filtracyjne pracują najczęściej okresowo. Po pewnym czasie filtracji ma miejsce okres postoju τ0 niezbędny dla przemycia osadu usunięcia go i przygotowania aparatu do nowego cyklu. W ciągu jednego cyklu otrzymuje się objętość V przesączu. Stąd wydajność na przeciętną jednostkę czasu pracy aparatu wynosi: czas filtracji Czas przestoju jest stały a więc wydajność aparatu na jednostkę czasu zależy od czasu filtracji. Należy tak dobrać czas pracy aby otrzymać maksimum wydajności. Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Zastosujemy graficzną metodę rozwiązania problemu: Odkładamy punkt S na osi czasu w odległości τ0 Musimy dysponować krzywą zależności V od t. Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Jeżeli punkt A oznacza stan końcowy procesu, wówczas nachylenie promienia SA oznacza średnią wydajność procesu V Dla innych stanów końcowych otrzymamy inne wydajności τ0 + τA Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Im większe nachylenie tym większa wydajność. Największą wydajność otrzymujemy gdy z punktu S poprowadzimy styczną do krzywej V(t)  punkt B Punkt styczności B daje optymalny czas trwania procesu Dla krótszych czasów otrzymujemy mniejszą wydajność na skutek wpływu zbyt długiego czasu przestoju. Dla dłuższych czasów wydajność będzie niska wskutek małej szybkości filtracji w końcowym okresie procesu. Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Maksymalna wydajność procesu η jest równa szybkości ostatniego momentu filtracji prowadzonej przez okres optymalny : Rozwiązując to równanie razem z równaniem można czas optymalny wyznaczyć analitycznie. Można wykazać, że dla C = 0 (znikomy opór tkaniny filtracyjnej) optymalny czas trwania filtracji dwustopniowej jest równy sumie τ0 + τ1 czyli że czas trwania drugiego okresu powinien być równy czasowi przestoju. Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Filtracja w wirówce : Duża siła bezwładności wytworzona w wirówce może być przydatna do odfiltrowania cieczy ze stężonych zawiesin. W tych bowiem przypadkach zwykła filtracja jest na ogół nieopłacalna, bowiem wskutek zbyt szybkiego zapełniania aparatu osadem zbyt częste były by przestoje i za wielka cześć cieczy pozostała by w osadzie. Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Ciśnienie wytworzone w płynie działaniem siły bezwładności można obliczyć rozpatrując różniczkową masę cieczy dm w postaci pierścienia o grubości dr, promieniu r i prędkości obwodowej u. Na różniczkową masę dm działa siła bezwładności dS: Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA masa pierścienia różniczkowego wynosi: powierzchnia tworząca walca prędkość obwodowa: Możemy więc obliczyć stosunek dS / F czyli różniczkę ciśnienia cieczy: Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Całkując to wyrażenie w granicach zasięgu cieczy w wirówce, od rL do R: całkowite ciśnienie pod którym przebiega proces filtracji. Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Przesącz przepływa przez różniczkowy pierścień osadu o grubości dr z prędkością pozorną Ur. (kierunek promieniowy). Stosownie do wyrażenia dla przepuszczalności: Powierzchnię tworzącą F rozpatrywanej warstwy osadu wyraża iloczyn: wysokość bębna wirówki Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Stąd natężenie objętościowe przepływu V przesączu przez osad wyniesie: porównując z wyrażeniem otrzymujemy: Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Całkując je w granicach grubości osadu od rs do R Wcześniej wyprowadziliśmy zależność na spadek ciśnienia: Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Porównując te dwa wyrażenia otrzymujemy: Natężenie objętościowe filtracji: Procesy Oczyszczania Cieczy 1

FILTRACJA Natężenie objętościowe filtracji V jest zatem zależne od zapełnienie wirówki mierzonej stosunkiem rL / R . Równanie to jest aktualne dla dla rL < rs czyli gdy osad jest pokryty cieczą. Jeżeli natomiast jest rL >= rs wtedy równanie przybiera postać: tylko zalana przez ciecz warstwa osadu bierze udział w procesie Należy pamiętać że szybkość filtracji dla osadów ściśliwych nie jest ściśle proporcjonalna do n2 gdyż wskutek ściśliwości osadu jego przepuszczalność K też zależy od liczby obrotów. Procesy Oczyszczania Cieczy 1