Teoria sterowania Materiał wykładowy: 2 – Przygotowanie do teorii sterowania 1 – opis, odpowiedzi i stabilność systemów dynamicznych Kierunek: Automatyka i robotyka - studia stacjonarne 2 stopnia Przedmiot: kierunkowy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż., prof. nadzw. PG Data rozpoczęcia prezentacji materiału: 2017.02.27

Uwaga: Slajdy wykładowe są w trakcie przystosowywania do zajęć w języku angielskim (internacjonalizacja studiów) – nowo dodawane slajdy są w języku angielskim

Modelowanie – Analiza – Synteza Teoria sterowania – dziedzina wiedzy zajmująca się metodami analizy systemów sterowania (metodami badania cech systemów sterowania) oraz syntezy praw sterowania (metodami konstruowania struktur i algorytmów sterowników/regulatorów) Szerzej widziana treść teorii sterowania Modelowanie – Analiza – Synteza Ustalenie cech systemu Badanie cech systemu Nadawanie pożądanych cech systemowi

Coś co celowo oddziałuje – układ sterujący Sterowanie to celowe oddziaływanie czegoś/kogoś na coś/kogoś Przedmiotem zainteresowania w Teorii sterowania są systemy sterowania automatycznego Coś co celowo oddziałuje – układ sterujący Coś na co wywierane jest celowe oddziaływanie – obiekt sterowany

Układ sterujący – jest to system, którego celem jest pozyskanie informacji o stanie obiektu sterowanego (podsystem monitorowania), przygotowanie sterowania obiektem sterowanym w oparciu o znajomość celu sterowania i o dostępne informacje i wiedzę o obiekcie sterowanym (podsystem generacji sterowania) oraz realizacja sterowania (podsystem wykonawczy); układem sterującym jest skonstruowane przez człowieka urządzenie (np. wbudowany układ komputerowy, sterownik PLC, regulator, ....) z wbudowanym w to urządzenie (hardware’owo lub software’owo prawo sterowania Obiekt sterowany – jest to system, na który w sposób celowy (wynikający z celu działania tego systemu, sprzyjający realizacji funkcji tego systemu) oddziałuje układ sterujący

Celowe oddziaływanie ukierunkowane jest na ociągnięcie pożądanego zachowania się obiektu sterowanego Obiekt sterowany Układ sterujący System sterowania Połączenie - układ sterujący oraz obiekt sterowany tworzy system sterowania

Obiekt sterowany + układ sterujący = system sterowania Sposób współdziałania (połączenia) obiektu sterowanego z układem sterującym = struktura systemu sterowania

Podstawowe struktury sterowania: - struktura otwarta ze sprzężeniem w przód od wartości zadanej - struktura otwarta ze sprzężeniem w przód od wartości zakłóceń - struktura zamknięta ze sprzężeniem zwrotnym od wartości wyjścia (sterowanego) - struktura zamknięta ze sprzężeniem zwrotnym od wartości zmiennych stanu

Teoria sterowania – traktuje elementy systemu sterowania jak i sam system sterowania jako system

Systemów liniowych stacjonarnych Przygotowanie do teorii sterowania Dotyczy: Systemów liniowych stacjonarnych Przygotowanie do teorii sterowania oznacza wskazanie !!! wyników z zakresu przedmiotu Systemy Dynamiczne, wykorzystywanych w przedmiocie Teoria Sterowania

Nonlinear vs. Linear Systems Nonlinear Systems Linear Systems  More realistic  Approximation to reality  Usually difficult to analyze and design  Usually simpler to analyze and design  Tools are under development  A lot of tools are well-developed  Can have multiple equilibrium points  Only single equilibrium point  System stability depends on Initial condition (IC)  Stability nature is independent of IC  Limit cycles (self-sustained oscillations)  No limit cycles  Bifurcations (number of equilibrium points and their stability nature can vary with parameter values)  No bifurcation  Chaos (very small difference in I.C. can lead to large difference in output as time increases)  No chaos  Frequency and amplitude of signals can be coupled  Frequency and amplitude of signals are independent

Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicowe W dziedzinie czasu relacja pomiędzy wejściem a wyjściem systemu liniowego stacjonarnego może być często opisana za pomocą:  system ciągły – równania różniczkowe zwyczajne liniowe o stałych współczynnikach system dyskretny – równania różnicowe liniowe o stałych współczynnikach System ciągły; model wejście - wyjście: System dyskretny; model wejście - wyjście:

Modele w przestrzeni stanu System ciągły; model w przestrzeni stanu Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia – macierz stanu – macierz sterowania – macierz wyjścia – macierz bezpośredniego sterowania

System dyskretny; model przestrzeni stanu Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia – macierz stanu – macierz sterowania – macierz wyjścia – macierz bezpośredniego sterowania

Teoria sterowania – „pracuje” na modelach systemów dynamicznych Klasyczna teoria sterowania bazuje na modelach wejście – wyjście: - równania różniczkowe dowolnego rzędu wiążące zmienne wejściowe i wyjściowe - transmitancje - …… Współczesna teoria sterowania bazuje na modelach w przestrzeni stanu - równania różniczkowe pierwszego rzędu wiążące zmienne wejściowe i zmienne stanu (równania stanu) - równania algebraiczne wiążące zmienne wyjściowe ze zmiennymi stanu i wielkościami wejściowymi

Comparison: Classical vs. Modern Control Classical Control (Linear) Modern Control (Linear)  Developed in 1950-1980  Developed in 1920-1950  Time domain analysis and design (Differential equation based)  Frequency domain analysis & Design (Transfer function based)  Based on SISO models  Based on MIMO models  Deals with input, output and state variables  Deals with input and output variables  Well-developed robustness concepts (gain/phase margins)  Not well-developed robustness concepts  No Controllability/Observability inference  Controllability/Observability can be inferred  No optimality concerns  Optimality issues can be incorporated  Well-developed concepts and very much in use in industry  Fairly well-developed and slowly gaining popularity in industry + Linear Robust Control Design (Fairly well developed.…lot of research has been done in 1980s and 1990s).

Powody rozwijania współczesnej teorii sterowania: - jednolitość podejścia do układów liniowych i nieliniowych - jednolitość podejścia do układów jedno i wielowymiarowych - wgląd we „wnętrze” systemu

System ciągły; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) - odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Równanie stanu - różniczkowe : Rozwiązanie: Składowa swobodna Składowa wymuszona

Składowa swobodna – rozwiązanie równania jednorodnego, rozwiązanie ogólne Rozwiązanie ogólne – rozwiązanie równania jednorodnego: gdzie

Rozwiązanie szczególne – rozwiązanie równania niejednorodnego: Składowa wymuszona – rozwiązanie równania niejednorodnego, rozwiązanie szczególne Rozwiązanie szczególne – rozwiązanie równania niejednorodnego: Podsumowując – odpowiedź stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona Składowa przy zerowym wymuszeniu (Zero Input ZI) Składowa przy zerowym stanie początkowym (Zero State ZS)

Równanie wyjścia - algebraiczne: Odpowiedź wyjścia - policzymy podstawiając odpowiedź stanu Podsumowanie:

Dodatek A: przykłady korzystania z I sposobu Kluczowy problem przy korzystaniu z tego rozwiązania – obliczenie - macierz tranzycji stanu, macierz fundamentalna I sposób – z definicji szeregu wykładniczego Dodatek A: przykłady korzystania z I sposobu

II sposób: znajdujemy najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej s

Dodatek B: przykłady korzystania z II sposobu Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać Dodatek B: przykłady korzystania z II sposobu

Funkcja przejścia - transmitancja Związki opisu w przestrzeni stanu z transmitancją Dla układu SISO: Odpowiedź wyjścia: Funkcja tranzycji stanu Funkcja przejścia - transmitancja

Otrzymujemy: Dodatek C: przykład obliczania transmitancji odpowiadającej danemu opisowi w przestrzeni stanu

System dyskretny; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) – odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Będziemy przyjmowali: I sposób: Rozwiązanie równania stanu w postaci rekursywnej:

Macierz tranzycji stanu: W ogólnej postaci: Macierz tranzycji stanu: Jest to odpowiednik w dziedzinie czasu ciągłego macierzy Porównanie odpowiedzi stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona

Odpowiedź wyjścia:

II sposób: znajdujemy najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej z (zmiennej zespolonej) Określenie transformacji z: lub z zastrzeżeniem, że transformata z istnieje tylko wtedy, gdy istnieje pewne z dla którego szereg z definicji jest zbieżny

Korzystając z własności transformaty z możemy dokonać transformacji dyskretnego równania stanu i znaleźć jego odpowiednik w dziedzinie zmiennej z otrzymamy Ostatnie równanie może być rozwiązane względem transformaty X(z) Wprowadzając oznaczenie Możemy to rozwiązanie zapisać w postaci

Równanie wyjścia w dziedzinie zmiennej z

Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać

Dla skorzystania z tej ostatniej zależności potrzebna jest umiejętność przeprowadzania transformacji odwrotnej Z, czyli znajdowania wartości funkcji w chwilach próbkowania Transformacja odwrotna znajduje tylko wartości funkcji w chwilach próbkowania, ale nie umożliwia znalezienia okresu próbkowania Wartości funkcji w chwilach próbkowania – sekwencje wartości, praktycznie znajduje się wykorzystując:  dzielenie wielomianów  rozkład na ułamki Dodatek D – przykład znajdowania odpowiedzi układu dyskretnego przez dzielenie wielomianów

 rozkład na ułamki Metoda prawie identyczna to metody używanej w odwrotnej transformacji Laplace’a Ponieważ większość funkcji z ma składnik z w liczniku, jest czasem dogodniej przeprowadzać rozkład na ułamki proste dla F(z)/z niż dla F(z) Procedura 1. znaleźć rozkład na ułamki proste F(z)/z lub F(z) 2. określ odwrotną transformatę f[k] korzystając z tablic transformat Dodatek E – przykłady znajdowania odpowiedzi układu dyskretnego przez rozkład na ułamki proste

Wyprowadziliśmy uprzednio równanie stanu i równanie wyjścia dla systemu dyskretnego Odwrotna transformacja Z wyprowadzonych równań

Funkcja przejścia - transmitancja Dla warunku początkowego Funkcja przejścia - transmitancja Wyjście Wejście Transmitancja systemu dyskretnego Transformata wyjścia systemu dyskretnego

Stabilność Stabilność to jedno z najważniejszych pojęć dynamiki systemów i teorii sterowania W większości przypadków, stabilność jest warunkiem koniecznym praktycznego zastosowania systemu Interesujemy się stabilnością systemu, bo chcemy:  ustabilizować system niestabilny  uczynić „bardziej” stabilnym system stabilny

Istnieje szereg definicji stabilności – większość z nich odwołuje się do pojęcia punktu/stanu równowagi Intuicyjnie stabilność oznacza, że małe przyczyny wywołują małe skutki Przyczyny mogą oznaczać:  zmiany parametrów – stabilność strukturalna  zmiany warunków początkowych – stabilność wewnętrzna  zmiany sygnałów zewnętrznych (wejść) – stabilność zewnętrzna Skupimy się głównie na stabilności wewnętrznej

Dla systemów opisanych równaniem stanu System ciągły System dyskretny mówimy, że punkt/stan jest punktem/stanem równowagi, jeżeli jest stanem systemu dla pewnej chwili początkowej t0 lub k0 i pozostaje nim dla wszystkich chwil następnych przy zerowej wartości wejścia To oznacza, że spełnia równanie System ciągły System dyskretny Inaczej: system znajdujący się w stanie równowagi pozostanie w nim, jeżeli nie będzie na niego oddziaływać żadne wejście

Uwaga 1: Istnienie stanu równowagi dla systemu nie zapewnia jego stabilności Stabilny stan równowagi Niestabilny stan równowagi Uwaga 2: Stan równowagi a stan stacjonarny System ciągły – stan równowagi System dyskretny – stan równowagi System ciągły – stan stacjonarny System dyskretny – stan stacjonarny

Dla systemu liniowego stan równowagi może być znaleziony przez rozwiązanie równania System ciągły System dyskretny Wniosek: stan jest zawsze stanem równowagi systemu liniowego, ale mogą istnieć również inne stany równowagi Stan jest jedynym stanem równowagi systemu liniowego, jeżeli System ciągły System dyskretny Macierz jest nieosobliwa dla wszystkich wartości Macierz jest nieosobliwa dla wszystkich wartości Taki stan równowagi nazywamy odosobnionym/izolowanym (ang. isolated) stanem równowagi

Jeżeli, System ciągły System dyskretny Macierz ma co najmniej jedną wartość własną równą zero dla dowolnej wartości Macierz ma co najmniej jedną wartość własną równą jeden dla dowolnej wartości system dynamiczny liniowy ma nieskończenie wiele stanów równowagi W takim przypadku możemy napisać, że stan równowagi spełnia równanie System ciągły System dyskretny co pokazuje, że nieskończenie wiele wektorów własnych postaci jest stanami równowagi

Formalne definicje stabilności podamy dla systemów ciągłych, lecz są one poprawne również dla systemów dyskretnych (zamiana czasu ciągłego t na dyskretny k wówczas dla wszystkich Stabilność Stan jest stanem stabilnym równowagi dla chwili , jeżeli dla dowolnej istnieje wartość taka, że jeżeli Stan , który jest stabilny w powyższym sensie jest nazywany stabilnym w sensie Lapunowa’a Jeżeli dla stabilności w powyższym sensie wartość jest niezależna od wyboru chwili to stan to stan nazywamy jednorodnie stabilnym

Niestabilność Stan jest stanem niestabilnym równowagi dla chwili , jeżeli nie jest on stabilny

Ilustracja stabilności dla systemu rzędu drugiego

Ilustracja asymptotycznej stabilności dla systemu rzędu drugiego taka, że jeżeli wówczas Stabilność asymptotyczna Stan jest stanem asymptotycznie stabilnym równowagi dla chwili , jeżeli jest stabilny (w sensie Lapunowa) i jeżeli istnieje wartość Jeżeli dla stabilności w powyższym sensie wartość jest niezależna od wyboru chwili to stan to stan nazywamy jednorodnie asymptotycznie stabilnym Ilustracja asymptotycznej stabilności dla systemu rzędu drugiego

Podane wyżej definicje stabilności dotyczą stabilności wewnętrznej – sformułowane dla zerowych wartości wejścia Stabilność zewnętrzna - definicje spełniające warunek dla wszystkich , wówczas system Stabilność BIBO Jeżeli jakiekolwiek wejście systemu spełniające warunek (tzn. wejście jest ograniczone) dla wszystkich wywołuje wyjście systemu jest stabilny w sensie ograniczone-wejście-ograniczone-wyjście (ang. bounded-input-bounded-output, BIBO)

Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności dla systemu liniowego stacjonarnego ciągłego; ograniczymy się do stanu równowagi Stabilność wewnętrzna Stan systemu liniowego stacjonarnego jest stabilny w sensie Lapunow’a Stabilność (w sensie Lapunow’a) wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu mają niedodatnie części rzeczywiste i jeżeli wartości własne leżące na osi urojonej (mające zerowe części rzeczywiste) są jednokrotne (nie powtarzają się) Stan systemu liniowego stacjonarnego jest globalnie asymptotycznie Stabilność asymptotyczna stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu mają ujemne części rzeczywiste

Przykłady zastosowania metody wartości własnych do badania stabilności Patrz: Dodatek F

Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności dla systemu liniowego stacjonarnego dyskretnego; ograniczymy się do stanu równowagi Stabilność wewnętrzna Stan systemu liniowego stacjonarnego jest stabilny w sensie Lapunow’a Stabilność (w sensie Lapunow’a) wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu nie leżą na zewnątrz okręgu jednostkowego i jeżeli wartości własne leżące na okręgu jednostkowym są jednokrotne Stan systemu liniowego stacjonarnego jest globalnie asymptotycznie Stabilność asymptotyczna stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu leżą ściśle wewnątrz okręgu jednostkowego

Stabilność zewnętrzna – kryteria Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności BIBO na kryteria dla systemu liniowego stacjonarnego ciągłego i dyskretnego Stabilność BIBO – system ciągły System ciągły liniowy stacjonarny jest opisany równaniem stanu i równaniem wyjścia jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy bieguny macierzy transmitancji leżą ściśle w lewej półpłaszczyźnie zespolonej Stabilność BIBO – system dyskretny System dyskretny liniowy stacjonarny jest opisany równaniem stanu i równaniem wyjścia jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy bieguny macierzy transmitancji leżą ściśle wewnątrz okręgu jednostkowego

Przykład spełniania kryteriów stabilności wewnętrznej i zewnętrznej Dodatek G

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu

Dodatek A Przykłady korzystania z I sposobu obliczania macierzy tranzycji stanu dla systemów ciągłych

Przykład 1: Model części mechanicznej silnika prądu stałego, przy zaniedbaniu dynamiki obwodu twornika, wpływu na ten odwód obwodu wzbudzenia i pominięciu momentu obciążenia zewnętrznego można zapisać Przyjmując: otrzymamy Przyjmijmy dla uproszczenia rachunków: oraz

Policzmy potęgi A:

Korzystamy z definicji Czasem nie ma potrzeby liczenia granicy szeregu Przykład 2:

Policzmy potęgi A:

Szereg potęgowy zawiera skończoną liczbę wyrazów

Wynik ten można uogólnić na dowolne n

Dodatek B Przykłady korzystania z II sposobu obliczania macierzy tranzycji stanu dla systemu ciągłego

Przykład 1: macierz dołączona wyznacznik

Otrzymujemy:

Rozkład na ułamki proste elementów macierzy Podobnie

Otrzymujemy Ostatecznie macierz tranzycji

Przykład 2: Policzymy odpowiedzi układu przy zadanych warunkach początkowych na jednostkowe wymuszenie skokowe Policzmy najpierw:

Stąd: Stąd bezpośrednio:

Dla podanych warunków początkowych składowa swobodna odpowiedzi stanu i wyjścia :

Dla skokowego jednostkowego wejścia transformata Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi stanu i wyjścia (w dziedzinie zmiennej s)

Dla skokowego jednostkowego wejścia składowa wymuszona odpowiedzi stanu i wyjścia Pełna odpowiedź stanu i wyjścia

Dodatek C Przykład obliczania transmitancji odpowiadającej danemu opisowi w przestrzeni stanu

Przykład 3: Transmitancja układu z przykładu 2: Odpowiedź impulsowa:

Dodatek D Przykład znajdowania odpowiedzi układu dyskretnego przez dzielenie wielomianów

Przykład 1 Znaleźć f[k] - dzielimy licznik i mianownik przez największa potęgę z

- dzielimy licznik przez mianownik

- obliczamy wartość początkową Otrzymaliśmy

Dodatek E Przykłady znajdowania odpowiedzi układu dyskretnego przez rozkład na ułamki proste

Przykład 1 Przypadek: pojedyncze pierwiastki rzeczywiste Znaleźć transformatę odwrotną funkcji:  z dzieleniem F(z)/z - rozkład na ułamki proste

stąd - spojrzenie w tablice Można zauważyć zatem

 bez dzielenia F(z) - rozkład na ułamki proste stąd

- spojrzenie w tablice zatem

Przykłady zastosowania metody wartości własnych do badania stabilności Dodatek F Przykłady zastosowania metody wartości własnych do badania stabilności

Przykład 1. Dany jest system dynamiczny z wartościami współczynników Zbadać stabilność wewnętrzną systemu

Wielomian charakterystyczny macierzy Dla przykładu Wartości własne macierzy Wnioski:  System a ma wszystkie wartości własne w lewej półpłaszczyźnie zespolonej i jest zatem globalnie asymptotycznie stabilny  System b ma jedną wartość własna na osi urojonej i jest zatem stabilny w sensie Lapunow’a  System c ma podwójną wartość własną na osi urojonej i jest zatem niestabilny

Wyniki symulacji System a.  Macierz nieosobliwa, zatem stan równowagi Weźmy: warunek początkowy wejście

Wyniki symulacji System b.  Macierz osobliwa, stanów równowagi nieskończenie wiele Weźmy: warunek początkowy wejście Wektor własny związany z wartością własną ma postać gdzie, q dowolna liczba Dowolny wektor początkowy równy temu wektorowi własnemu będzie stanem równowagi Jeżeli wybierzemy inny warunek początkowy system osiągnie pewien stan równowagi zgodny z podanym warunkiem dla stanu równowagi

Wynik symulacji

Wyniki symulacji System c.  Macierz osobliwa, stanów równowagi nieskończenie wiele, brak stabilnych Weźmy: warunek początkowy wejście

Przykład spełniania kryteriów stabilności wewnętrznej i zewnętrznej Dodatek G Przykład spełniania kryteriów stabilności wewnętrznej i zewnętrznej

Przykład 1. Stabilność wewnętrzna a zewnętrzna Dany jest system dynamiczny Zbadać stabilność wewnętrzną i zewnętrzną systemu Wyliczenie wartości własnych wielomianu charakterystycznego macierzy

Wartości własne Wniosek: system jest niestabilny wewnętrznie Model zewnętrzny

Wskutek skrócenia pary biegun-zero bieguny systemu system jest zewnętrznie stabilny (BIBO – stabilny) Wyniki symulacji dla wejścia – skok jednostkowy i zerowych warunków początkowych Niestabilność stanów

Stabilność wyjścia

Koniec zestawu slajdów