Matematyka przed egzaminem czyli samouczek dla każdego FUNKCJE FUNKCJE

Ilość wyrzuconych oczek Pojęcie funkcji Funkcją (odwzorowaniem) f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jednego elementu y ze zbioru Y. f: X→Y Przykład W pewnej klasie jest 5 dziewczynek. Każda z nich rzuca jeden raz kostką do gry. Każdej dziewczynce przyporządkowujemy liczbę wyrzuconych na kostce oczek. Oto przykładowe wyniki doświadczenia przedstawione w tabelce: Numer dziewczynki X 1 2 3 4 5 Ilość wyrzuconych oczek y 6

Zbiór wartości funkcji W przedstawionym przykładzie zbiór X jest 5-elementowym zbiorem dziewczynek, co zapisujemy: X={1,2,3,4,5}. Zbiór Y jest zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu kostką do gry, a zatem jedynymi możliwymi elementami zbioru Y są liczby 1,2,3,4,5 i 6 co zapisujemy: Y={1,2,3,4,5,6} X Y 1 3 5 4 2 6 Dziedzina funkcji Zbiór wartości funkcji f Przeciwdziedzina funkcji Zwróćmy uwagę na fakt, że chociaż możliwymi wynikami rzutów są liczby 1,2,3,4,5 i 6, to żadna z dziewczynek nie wyrzuciła kostką 3 i 5. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f, zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f, natomiast podzbiór zbioru Y zawierający elementy przyporządkowane elementom ze zbioru X nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Zbiór wartości funkcji Przyporządkowanie przedstawione w przykładzie jest funkcją, gdyż każdej dziewczynce została przyporządkowana dokładnie jedna liczba będąca liczbą wyrzuconych na kostce oczek (nie może się bowiem zdarzyć, że dziewczynka wyrzuci jednocześnie np. 1 i 4, choć może zdarzyć się, że dwie lub więcej osób wyrzuci taką samą liczbę oczek). X Y 1 3 5 4 2 6 Dziedzina funkcji Zbiór wartości funkcji f Przeciwdziedzina funkcji Elementy zbioru X nazywamy argumentami funkcji i oznaczamy literką x. Każdemu argumentowi funkcji jest przyporządkowana dokładnie jedna wartość funkcji. Wartość funkcji oznaczamy literą y lub f(x). Zbiór wszystkich wartości f(x) nazywamy zbiorem wartości funkcji. Mówimy, że funkcja jest określona na zbiorze X i przyjmuje wartości w zbiorze Y i zapisujemy symbolicznie f: X→Y. W przykładzie mamy f(1)=2 tzn. argumentowi 1 jest przyporządkowana wartość funkcji 2 f(4)=1 tzn. argumentowi 4 jest przyporządkowana wartość funkcji 1 itd.

Przykłady przyporządkowań, które są funkcją Zbiór X jest zbiorem trzech statków X={A,B,C}, natomiast zbiór Y jest zbiorem dwóch portów Y={1,2}. Każdemu statkowi przyporządkowujemy port, do którego wpływa, np. X Y A C B 1 2 To przyporządkowanie jest funkcją, gdyż każdemu elementowi ze zbioru X jest przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y – każdy statek wpływa dokładnie do jednego portu (nie może się zdarzyć, że jeden statek wpływa do dwóch portów jednocześnie, choć do jednego portu mogą wpłynąć dwa statki). Zbiór X jest zbiorem uczniów pewnej szkoły. Każdemu uczniowi jest przyporządkowana liczba, będąca rokiem jego urodzin. To przyporządkowanie jest funkcją, gdyż każdy uczeń ma przyporządkowaną dokładnie jedną liczbę. Nie może się bowiem zdarzyć sytuacja przyporządkowania jednemu uczniowi dwóch liczb (uczeń nie może urodzić się jednocześnie w roku np. 1990 i 1991).

Przykłady przyporządkowań, które nie są funkcją Zbiór X jest zbiorem trzech uczniów pewnej klasy. Każdemu uczniowi przyporządkowujemy ocenę jaką posiada z przedmiotu matematyka, np. To przyporządkowanie nie jest funkcją z dwóch powodów: nie każdy uczeń posiada ocenę (tak się przecież może zdarzyć), a ponadto uczeń A ma dwie oceny 2 i 3, tzn. elementowi A zostały przyporządkowane dwa elementy ze zbioru Y. X Y A C B 1 2 3 6 4 5 2. Zbiór X jest zbiorem liczb naturalnych większych od 0, ale mniejszych lub równych 4. Każdej liczbie ze zbioru X przyporządkowujemy liczbę będącą jej dzielnikiem. X Y 1 3 2 4 To przyporządkowanie nie jest funkcją, gdyż elementowi ze zbioru X nie jest przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y.

Zadania Określ, czy następujące przyporządkowania są funkcjami. W przypadku funkcji określ jej dziedzinę, przeciwdziedzinę i zbiór wartości. Każdemu trójkątowi przyporządkowujemy sumę miar jego kątów wewnętrznych. Odpowiedź Każdej liczbie przyporządkowujemy liczbę do niej odwrotną. Każdej liczbie przyporządkowujemy jej resztę z dzielenia przez 3. Każdej osobie w klasie przyporządkowujemy tytuł filmu, który obejrzał w tym tygodniu.

Wykres funkcji Wykresem funkcji nazywamy zbiór wszystkich punktów o współrzędnych (x, f(x) ) przedstawiony na płaszczyźnie z układem współrzędnych. Przykład Dana jest funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Każdej liczbie z dziedziny przyporządkowujemy resztę z dzielenia jej przez 3. X 1 2 3 4 5 6 7 8 y=f(x) Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór Y={0,1,2}

X Y f(0)=0 f(1)=1 f(2)=2 f(3)=0 f(4)=1 f(5)=2 f(6)=0 f(7)=1 f(8)=2

Funkcja liniowa Funkcję postaci gdzie określoną w zbiorze liczb rzeczywistych, tzn. dla nazywamy funkcją liniową. Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, liczbę b – wyrazem wolnym.

Wykres funkcji liniowej Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta przecinająca oś rzędnych OY w punkcie o współrzędnych (0,b). Kąt nachylenia tej prostej do osi odciętych OX zależy od współczynnika kierunkowego a. b WAŻNE! Punkt A(x,y) należy do wykresu funkcji, jeśli jego współrzędne spełniają równanie tej funkcji (czyli punkt A jest punktem z tabelki funkcyjnej).

Przykłady -3 -2 -1 1 2 3 5 7 9 Przykład 1. Sporządź wykres funkcji y=2x+3 określonej na zbiorze liczb rzeczywistych. Sporządzamy tabelkę, w której dla wybranych (gdyż x należy do zbioru liczb rzeczywistych) argumentów x określimy wartość tej funkcji: X -3 -2 -1 1 2 3 y=f(x) 5 7 9 Wykresem funkcji jest prosta, gdyż dla każdego istnieje wartość funkcji.

Przykład 2. Sporządź wykres funkcji y= - 3x -4 określonej na zbiorze liczb rzeczywistych. Zwróć uwagę, że dla jednoznacznego wyznaczenia prostej, wystarczy znaleźć współrzędne tylko dwóch punktów należących do wykresu tej funkcji. Zatem tabelkę funkcyjną można ograniczyć do obliczenia wartości dla dwóch tylko dowolnych argumentów: X 1 y=f(x) -4 -7

Monotoniczność funkcji Funkcję określoną w danej dziedzinie nazywamy funkcją rosnącą, jeśli wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości tej funkcji: x1 x2 y2 y1 Zatem funkcja jest rosnąca jeśli dla każdego x1< x2 , zachodzi y1< y2 Oczywiście x1, x2 muszą należeć do dziedziny funkcji.

Zatem funkcja jest malejąca Funkcję określoną w danej dziedzinie nazywamy funkcją malejącą, jeśli wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości tej funkcji: x1 x2 y1 y2 Zatem funkcja jest malejąca jeśli dla każdego x1< x2 , zachodzi y1> y2 Oczywiście x1, x2 muszą należeć do dziedziny funkcji.

Zatem funkcja jest stała Funkcję określoną w danej dziedzinie nazywamy funkcją stałą, jeśli dla każdego argumentu wartość funkcji jest taka sama. x1 x2 y Zatem funkcja jest stała jeśli dla każdego x1, x2 , zachodzi f(x1)=f(x2) Oczywiście x1, x2 muszą należeć do dziedziny funkcji. Funkcje, które są rosnące, malejące lub stałe nazywamy funkcjami monotonicznymi.* *Poza omówionymi funkcjami rosnącymi, malejącymi i stałymi wyróżniamy jeszcze funkcje niemalejące oraz nierosnące. O nich również mówimy, że są monotoniczne.

Monotoniczność funkcji liniowej Funkcja liniowa y=ax+b jest: rosnąca, jeśli współczynnik a>0, malejąca, jeśli współczynnik a<0, stała, jeśli współczynnik a=0.

Miejsce zerowe funkcji Miejscem zerowym funkcji nazywamy ten argument x, dla którego funkcja ta przyjmuje wartość 0. Zatem argument x jest miejscem zerowym funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy f(x)=0. Przykład Oblicz miejsce zerowe funkcji liniowej y = 4x+6 określonej na zbiorze liczb rzeczywistych. Rozwiązanie: Obliczamy, dla jakiego x funkcja przyjmuje wartość y=0:

Współczynniki funkcji liniowej Wykresem funkcji liniowej y=ax+b jest linia prosta przecinająca oś rzędnych OY w punkcie o współrzędnych (0,b). Kąt nachylenia tej prostej do osi odciętych OX zależy od współczynnika kierunkowego a. y=ax+b3 y=ax+b2 y=ax+b1 b1 b3 b2  Proste o tym samym współczynniku kierunkowym są nachylone do osi OX pod takim samym kątem.

Przykłady Przykład 1 W przykładzie tym zobaczysz wykres funkcji liniowej y=ax+b, której współczynnik b=3, natomiast współczynnik kierunkowy a możesz wybrać samodzielnie. Zwróć uwagę, że wszystkie proste przecinają oś rzędnych w punkcie o współrzędnych (0,b), czyli w tym przykładzie w punkcie (0,3). Przykład 2 W przykładzie tym współczynnik kierunkowy prostej a=3, natomiast współczynnik b możesz wybrać. Zwróć uwagę, że wszystkie otrzymane proste są do siebie równoległe, gdyż mają ten sam współczynnik a. Zmienia się natomiast miejsce przecięcia prostej z osią OY, które zależy od wyrazu wolnego b.

Przykłady Przykład 3 Sporządź samodzielnie wykresy dowolnych funkcji liniowych. Efekt i poprawność swojej pracy możesz szybko porównać z wykresem, który „wykreśli” dla Ciebie w tym przykładzie komputer.

Zadania Wykres funkcji liniowej y=2x+b przechodzi przez punkt A(1,6). Oblicz wartość współczynnika b tej funkcji. Rozwiązanie Znajdź wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty A(0,4) oraz B(2,0). Rozwiązanie Znajdź wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty A(-1,-2) oraz B(1,4). Rozwiązanie Wykres pewnej funkcji liniowej jest równoległy do wykresu funkcji liniowej y=-4x+1. Znajdź wzór tej funkcji, wiedząc, że punkt A(-2,6) należy do jej wykresu. Rozwiązanie Oblicz miejsce zerowe funkcji liniowej y=-3x+4. Rozwiązanie Oblicz wartość funkcji liniowej y=5x-2 dla argumentu -3. Rozwiązanie Oblicz, dla jakiego argumentu funkcja liniowa y=8x-1 przyjmuje wartość -2. Rozwiązanie

Zadania Odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów x funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne. a) b) Rozwiązanie

Zadania Oblicz, dla jakich argumentów funkcja y= 2x-6 przyjmuje wartości dodatnie. Rozwiązanie Oblicz, dla jakich argumentów funkcja y= 7x+2 przyjmuje wartości ujemne. Rozwiązanie Oblicz, dla jakich argumentów funkcja y= -x+3 przyjmuje wartości większe od 5. Rozwiązanie Oblicz współrzędne punktu przecięcia się prostych będących wykresami funkcji liniowych y= 2x +1 oraz y= -x -5. Rozwiązanie Pewna świeca o wysokości 20 cm spala się z prędkością 1,5 cm na godzinę. Zapisz wzór i narysuj wykres funkcji opisującej zależność wysokości świecy od czasu jej spalania. Jaką wysokość będzie miała świeca po upływie 3 godzin? Po jakim czasie świeca wypali się całkowicie? Rozwiązanie

DZIĘKUJĘ