Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko

PLAN WYKŁADÓW Podstawy kinematyki Ruch postępowy i obrotowy bryły Ruch płaski bryły Ruch złożony i ruch względny Ruch kulisty i ruch ogólny bryły Podstawy dynamiki Dynamiczne równania ruchu Drgania punktu materialnego Dynamika układu punktów materialnych Momenty bezwładności Praca, moc, sprawność, zasady zachowania Zasady pracy i energii Dynamika ruchu płaskiego ciała sztywnego Teoria uderzenia

LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1985. 2. ZAWADZKI JERZY, SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Ogólna, PWN 1970, Warszawa 1985 . 3. MISIAK JAN, Mechanika Ogólna, WNT, Warszawa 1998 . 4. HUBER M. T. Mechanika Ogólna i Techniczna. PAN Warszawa 1956.

Wykład 1 Podstawy kinematyki

WPROWADZENIE KINEMATYKA – (kineo z greckiego poruszam) jest to dział mechaniki opisujący ruch punktu lub bryły, bez uwzględniania masy i przyczyn wywołujących zmianę ruchu (geometria ruchu). RUCH – określamy jako zmianę położenia ciała materialnego względem układu odniesienia (tj. względem innego ciała lub zbioru ciał uważanych za pozostające w spoczynku) w jednostce czasu.

· Kinematykę ciała sztywnego. WPROWADZENIE W związku z tym że ciała rzeczywiste zastępujemy pojęciem punkt materialny lub ciało doskonale sztywne, kinematykę możemy podzielić na: ·       Kinematykę punktu materialnego ·       Kinematykę ciała sztywnego.

Tor punktu Jest to linia ciągła l utworzona przez kolejne położenia poruszającego się punktu. Tor punktu może być linią prostą lub dowolną krzywą. y x l Tor krzywoliniowy l Tor prostoliniowy Rys. 1

W mechanice przez drogę rozumiemy odcinek toru. Droga, odległość W mechanice przez drogę rozumiemy odcinek toru. Odległość – długość odcinka łączącego dwa punkty.

Podział ruchu Ruch prostoliniowy jednostajny Ruch prostoliniowy zmienny Ruch krzywoliniowy jednostajny Ruch krzywoliniowy zmienny

OPIS PORUSZAJĄCEGO SIĘ PUNKTU Położenie poruszającego się punktu P w przyjętym układzie współrzędnych można określić przez x, y, z. Ponieważ współrzędne te są funkcjami zmiennej t (czasu), to otrzymujemy: Kinematyczne równania ruchu punktu x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t). Rys. 2

Równania ruchu w postaci wektorowej Jeżeli początek promienia r pokrywa się z początkiem układu współrzędnych to składowe wektora są równe współrzędnym punktu P rx = x(t), ry = y(t), rz = z(t) Rys. 3 Po uwzględnieniu powyższej zależności promień wektora r możemy zapisać w postaci sumy geometrycznej:

Prędkość punktu materialnego Rozpatrzmy ruch punktu P w przedziale czasu t = t2 - t1, w którym punkt przebył drogę s = P1P2 . Przyrost wektora promienia wynosi r zatem” Rys. 4

Prędkość średnia Prędkość średnia punktu jest ilorazem przyrostu wektora r do czasu t w którym ten przyrost nastąpił.

Prędkość chwilową określa granica przy t dążącym do zera Prędkość chwilowa Prędkość chwilową określa granica przy t dążącym do zera Przyrost r ma składowe x, y, z stąd

Prędkość chwilowa Wektor prędkości można zapisać w postaci: którego moduł wynosi:

Przyspieszenie punktu materialnego W czasie t = t2 - t1, wektor prędkości zmienia się z v1 na v2 . Przyrost wektora prędkości wynosi v, zatem Przyspieszenie średnie punktu Przyspieszenie średnie punktu wyraża się jako iloraz przyrostu prędkości v przez przyrost czasu t.

Przyspieszenie chwilowe punktu Wiedząc, że przyrost prędkości v ma składowe vx, vy, vz, stąd składowe wektora przyśpieszenia mają postać

Przyspieszenie chwilowe punktu Wektor przyśpieszenia można zapisać w postaci : a jego moduł

Ruch prostoliniowy jednostajny Ruchem prostoliniowym jednostajnym jest ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki sposób, że w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa takie same odcinki drogi.

Równania ruchu prostoliniowego jednostajnego Droga s jest liniową funkcją czasu, zatem czyli Stąd po scałkowaniu otrzymujemy

Wykres ruchu prostoliniowego jednostajnego Rys. 6 czyli

Ruch prostoliniowy zmienny Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny Jest to ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki sposób, że w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa różne odcinki drogi. Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny Jeżeli prędkość jest liniową funkcją czasu, to ruch punktu jest jednostajnie zmienny.

Równania ruchu prostoliniowego jednostajnie zmiennego Przyśpieszenie Prędkość Droga a > 0 ruch jednostajnie przyspieszony a < 0 ruch jednostajnie opóźniony

Ruch krzywoliniowy jednostajny Jest ruch punktu po torze krzywoliniowym l, w którym wektor prędkości w każdej chwili jest styczny do toru, a jego wartość nie zmienia się z czasem (zmienia się tylko jego kierunek).

Ruch krzywoliniowy zmienny Jest to ruch punktu po torze krzywoliniowym, w którym wektor prędkości ruchomego punktu zmienia wartość i kierunek. W ruchu krzywoliniowym zmiennym wektor przyspieszenia punktu tworzy z wektorem prędkości tego punktu pewien kąt  (ostry lub rozwarty).

Przyśpieszenie normalne Z rysunku wynika, że wartość przyspieszenia składowego an prostopadłego do prędkości ma postać: Składowa ta nosi nazwę przyspieszenia normalnego, a związana jest ze zmianą kierunku wektora prędkości.

Przyśpieszenie styczne Wartość at jest określona w postaci: Składowa przyspieszenia w kierunku wektora prędkości nazywana jest przyspieszeniem stycznym i związana jest ze zmianą wartości wektora prędkości. Wartość at jest określona w postaci:

Wektor przyśpieszenia jest sumą przyspieszenia normalnego i stycznego a wartość tego wektora obliczamy z zależności

Na podstawie tych wiadomości można ustalić z jakim ruchem punktu materialnego mamy do czynienia: an0, at 0 - Przyspieszenie całkowite jest nachylone pod pewnym kątem (ostrym lub rozwartym) do prędkości. Rozważany ruch jest ruchem krzywoliniowym zmiennym, zmienia się wartość i kierunek prędkości. an=0, at 0 - Całkowite przyspieszenie jest styczne do toru. Prędkość w takim ruchu może zmienić swoją wartość ale jej kierunek pozostaje bez zmian. Jest to ruch prostoliniowy zmienny.

an0, at =0 - Całkowite przyspieszenie ma kierunek prostopadły do toru an0, at =0 - Całkowite przyspieszenie ma kierunek prostopadły do toru. Prędkość w tym ruchu może zmieniać jedynie swój kierunek, a wartość pozostaje stała. Rozważany ruch będzie ruchem jednostajnym krzywoliniowym. an=0, at =0 - Całkowite przyspieszenie jest równe zeru. Wektor prędkości w takim ruchu nie może zmienić ani swojego kierunku ani wartości. Jest to więc ruch jednostajnie prostoliniowy.

Ruch jednostajny po okręgu W ruchu jednostajnym punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu r, przebywając w równych odstępach czasu t równe odcinki drogi (łuki P1P2, P2P3, P3P4,).  r v P1 P2 an P1 Prędkość średnia punktu wyraża się jako P2 v P3 P3 Jednak w tym przypadku droga jest łukiem, więc jak wiadomo z geometrii v P4 P4 v czyli Rys. 13

Prędkość kątowa Stosunek kąta  wyrażonego w radianach do czasu t, w którym ten kąt został zatoczony, nazywamy prędkością kątową. Tak więc wartość prędkości liniowej otrzymamy z wyrażenia

Prędkość obrotowa Prędkością obrotową punktu po okręgu nazywamy liczbę pełnych obiegów w ciągu jednej minuty Pomiędzy prędkością kątową [rad/s] i prędkością obrotową [obr/min] zachodzi zależność

Ruch zmienny po okręgu – przyśpieszenie kątowe Przyśpieszenie kątowe (składowa styczna at oznaczana przez e ) określa zmianę wektora prędkości kątowej. W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu składowa styczna przyśpieszenia kątowego jest równa zeru. Występuje tylko składowa normalna, której wartość określona jest wzorem:

Przykład 1. Tarcza o średnicy d=2r=20cm zaczyna obracać się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem kątowym =5 rad/s2. Obliczyć przyspieszenie styczne i normalne punktów leżących na obwodzie tarczy w dziesiątej sekundzie ruchu. Rozwiązanie: Dane: =5 rad/s2; r=0,1m Obliczyć : at i an po 10 sek. ruchu w a at r v an Prędkość kątowa po 10 s ruchu wynosi: Przyśpieszenie normalne i styczne

Przykład 2. Ruch punktu po płaszczyźnie określony jest równaniami: x=40t, y=5t2. Obliczyć wartości przyspieszenia stycznego i normalnego w chwili t=3s. Rozwiązanie: Składowe prędkości: Składowe przyśpieszenia Moduł wektora prędkości wynosi: dla t=3s Moduł wektora przyśpieszenia:

Pierwsza pochodna prędkości określa przyspieszenie styczne dla t=3s Przyspieszenie normalne obliczamy z zależności dla t=3s

Przykład 3 Narysować wykres s(t), v(t) oraz a(t) ilustrujący ruch ciała rzuconego pionowo w górę z prędkością początkową v0. v0 Dane: v0, h0. h0

Rozwiązanie Wychodzimy z podstawowego równania: – przez cały czas trwania ruchu. Ruch jednostajnie opóźniony. v0 y x

Rozwiązanie 2tw t tw –g a(t) tw 2tw v(t) t v0 –v0

Rozwiązanie tw 2tw t s(t) h0 hmax

Rozwiązanie Obliczymy ponadto czas wznoszenia: Wyjdziemy z równania: y v0 y x

Rozwiązanie Wysokość rzutu obliczymy z zależności: Zatem: v0 hmax y x

Przykład 4 Ruch ciała po gładkiej równi pochyłej, a następnie po gładkim torze poziomym. a(t) = 0 a(t) = g s(t) prosta parabola gładkie przejście (funkcja różniczkowalna)!!! t

Jak odczytywać z wykresu? 1. Ruch jednostajny prostoliniowy: v(t) t v0 > 0 t0 v(t) t v0 < 0 t0 prędkość dodatnia – punkt oddala się od obserwatora. prędkość ujemna – punkt zbliża się do obserwatora.

Jak odczytywać z wykresu? 1. Ruch jednostajny prostoliniowy: s(t) t t0 α tgα > 0 s(t) t t0 α tgα < 0 funkcja drogi rosnąca – punkt oddala się od obserwatora. funkcja drogi malejąca – punkt zbliża się do obserwatora.

Jak odczytywać z wykresu? 1. Ruch jednostajny prostoliniowy: s(t) t t0 α s(t) > 0 s(t) t t0 s(t) < 0 wartości funkcji drogi dodatnie – punkt porusza się po jednej stronie obserwatora. wartości funkcji drogi ujemne – punkt porusza się po przeciwnej stronie obserwatora.

Jak odczytywać z wykresu? 2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony): v(t) t tg α > 0 t0 α v(t) t tg α < 0 t0 α funkcja prędkości rosnąca – punkt przyspiesza. funkcja prędkości malejąca – punkt zwalnia.

Jak odczytywać z wykresu? 2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony): v(t) t v(t) > 0 t0 v(t) t v(t) < 0 t0 wartość prędkości dodatnia – punkt oddala się od obserwatora. wartość prędkości ujemna – punkt zbliża się od obserwatora.

Jak odczytywać z wykresu? 2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony): Reguły są analogiczne jak dla ruchu jednostajnego prostoliniowego. Dodatkowo: α1 α2 α2 α1 parabola wypukła – punkt przyspiesza. parabola wklęsła – punkt zwalnia.

Przykład 5 Mając dany wykres prędkości od czasu, narysować wykres a(t) oraz s(t). Wyznaczyć: wartość przyspieszenia w każdym z przedziałów; przebytą drogę na końcu każdego przedziału. Dane dodatkowe: s(0) = v1t1/2.

Rozwiązanie 0 < t < t1 Obliczymy najpierw wartość przyspieszenia i przebytej drogi w każdym z przedziałów: 0 < t < t1 Prędkość ujemna, zatem punkt zbliża się do obserwatora. α1

Rozwiązanie Obliczymy najpierw wartość przyspieszenia i przebytej drogi w każdym z przedziałów: t1 < t < 2t1 α1 α2

Rozwiązanie Dla t1: Wartość położenia na końcu każdego z przedziałów: prędkość malejąca – parabola wklęsła prędkość rosnąca – parabola wypukła α1 α2

Rozwiązanie Wykres drogi od czasu: t1 2t1 t s(t) s1(t) s2(t)

Rozwiązanie Wykres przyspieszenia od czasu: t1 2t1 t a(t)