wyk. Barbara Stępkowska i Maciej Panek Model Kleina wyk. Barbara Stępkowska i Maciej Panek

Nikołaj Łobaczewski Nikołaj Łobaczewski urodził się w 1792, a zmarł w 1856 roku. Studiował na uniwersytecie w Kazaniu, następnie był tam wykładowcą i profesorem. Został twórcą geometrii nieeuklidesowej, zwanej również geometrią Łobaczewskiego i geometrią hiperboliczną. Usiłował on udowodnić piąty aksjomat Euklidesa (próba dowodu znajduje się w rękopisie jego wykładów uniwersyteckich z 1816-17 roku), doszedł jednak do wniosku, że nie można go logicznie udowodnić na podstawie znanych aksjomatów. Jego osiągnięcia (w tym wydana przez niego książka Pangeometrie...) nie spotkały się z powszechnym uznaniem. Dopiero kilkanaście lat po jego śmierci zostały docenione jego starania. Przyczynił się do tego głównie niemiecki matematyk C. F. Gauss.

Geometria Łobaczewskiego Geometria Łobaczewskiego jest pierwszą z geometrii nieeuklidesowych. Została opracowana w 1829 roku przez Nikołaja Łobaczewskiego (i niezależnie od niego w 1832 przez węgierskiego matematyka J. Bolyaia). Cztery pierwsze aksjomaty geometrii Łobaczewskiego są identyczne z aksjomatami Euklidesa, różny jest piąty, w geometrii Łobaczewskiego brzmi on: przez punkt płaszczyzny nie należący do danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie posiadające punktów wspólnych z daną prostą. Modelem płaszczyzny zgodnej z geometrią Łobaczewskiego jest wnętrze koła (F. Klein, 1871).

Model Kleina Model Kleina to wnętrze koła jako płaszczyzna. Prostymi w tym modelu są odcinki zawarte w tym kole. Model Kleina jest ściśle powiązany z geometrią Łobaczewskiego. Przedstawia on wszystkie pięć aksjomatów tej geometrii.

Model Kleina 1. Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem. 2. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie.

można zaznaczyć okrąg o Model Kleina 3. Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w dowolnym punkcie i promieniu równym odcinkowi. 4. Wszystkie kąty proste są równe.

Model Kleina Zaprzeczenie 5. aksjomatu Euklidesa: Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwu kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony.

Model Kleina 5. aksjomat Łobaczewskiego (zamiennik 5. aksjomatu Euklidesa): Przez punkt płaszczyzny nie należący do danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie posiadające punktów wspólnych z daną prostą.

Źródła http://pl.wikipedia.org/wiki/Geometria_hiperboliczna http://portalwiedzy.onet.pl/68158,,,,lobaczewskiego_geometria,haslo.html http://askgruchala.webpark.pl/matematyka/matematycy/lobaczewski.htm http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa http://www.matematycy.interklasa.pl/biografie/matematyk.php?str=lobaczewski