Wektory i tensory
Skalar, wektor , tensor Wielkość skalarna –liczba , wartość. Danemu punktowi w przestrzeni przypisuje się określoną wartość, np. temperaturę, lub ciśnienie, stężenie, pH itp.. pole skalarne
Wektor – obiekt który posiada wartość i kierunek w przestrzeni. pole wektorowe – w danym punkcie przestrzeni umieszczony jest wektor prędkość, przyśpieszenie, siła
tensor – ( nie wchodząc w szczegóły matematyczne) uogólnienie pojęcia wektora; wielkość (tablica liczb), której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych. Operować będziemy w przestrzeni trój wymiarowej stosując różne układy odniesienia
Kartezjański układ odniesienia: wersory jednostkowe których długość wynosi 1 y x
Cylindryczny układ odniesienia:
Tensor rzędu n ma 3n komponentów. Tensor rzędu „0” jeden komponent skalar ( Temperatura) Tensor rzędu „1” 3 składowe wektor lub ogólnie: Tensor rzędu „2” 9 składowych tensor np. tensor naprężenia:
Podstawowe operacje na wektorach: iloczyn skalarny (dot product) (skalar) interpretacja geometryczna: u gdy wektory są prostopadłe !!!! v
iloczyn wektorowy (cross product)
interpretacja geometryczna:
Ważne :
Wprowadźmy operator: Gdy zadziałamy tym operatorem na skalar ( np. ciśnienie) to otrzymamy wektor: gradient ciśnienia dla współrzędnych cylindrycznych:
Gdy działamy tym operatorem na wektor to możemy otrzymać : skalar gdy działamy przez iloczyn skalarny dywergencja
wektor gdy działamy przez iloczyn wektorowy
Wprowadzenie do biomechaniki przepływów
tensor gdy działamy przez dyadic product