10. Podstawy elektrostatyki Początki elektromagnetyzmu sięgają czasów starożytnych: IV wiek. p.n.e. – Tales z Miletu (pocierany bursztyn przyciąga kawałki trawy) Istotne etapy w rozwoju tej dziedziny nauki: XVIII w. - B. Franklin wprowadza dwa rodzaje ładunku el. (dodatni na pocieranym szkle i ujemny na plastikowym pręcie) - C. Coulomb odkrywa prawo oddziaływania między naładowanymi cząstkami (prawo Coulomba) XIX w. - M. Faraday (prawo indukcji - H. Oersted, A. Ampere (fundamentalne związki między elektrycznością i magnetyzmem) - J.C. Maxwell (podstawowe prawa elektromagnetyzmu) - H. Hertz (discovers electromagnetic waves) Współczesna teoria elektromagnetyzmu wprowadza hipotezę zachowania ładunku (całkowity ładunek układu izolowanego, tzn. suma algebraiczna ładunków dodatnich i ujemnych , jest stała). γ e+ + e- (tworzenie par) Ładunki tego samego znaku odpychają się (a) a przeciwnych znaków przyciągają się (b).

e+ + e− 2γ anihilacja pozytonu e+ PET (Positron Emission Tomography) System rejestruje pary kwantów gamma produkowanych w wyniku anihilacji pozytonów emitowanych przez radioizotopowy pierwiastek (znacznik), wprowadzany do organizmu przez aktywne biologicznie substancje. Trójwymiarowe obrazy obecności znacznika w narządach powstają w wyniku obróbki komputerowej sygnałów. Schemat akwizycji sygnałów w urządzeniu PET

10.1. Pole elektryczne W miejsce oddziaływania na odległość między cząstakami 1 i 2, wprowadza się koncepcję pola elektrycznego: naładowana cząstka 1 wytwarza w otaczającej przestrzeni pole elektryczne i pole to działa siłą na naładowaną cząstkę 2 umieszczoną w tej przestrzeni: ładunek q1 generuje pole elektryczne działa siłą na ładunek q2 Pole elektryczne jest definiowane poprzez siłę działającą na dodatni ładunek próbny q0 (10.1) (ładunek q0 jest dostatecznie mały i nie zmienia pola elektrycznego) Wyznaczamy pole elektryczne generowane przez dwa ładunki punktowe: dodatni q1 i ujemny q2 w punkcie gdzie umieszczono ładunek próbny q0 . Siła wypadkowa jest sumą wektorową sił działających ze strony q1 i q2 na q0: Dla N ładunków punktowych (źródeł) pole elektryczne w punkcie (x,y,z) jest równe gdzie w próżni, w ukł. SI (10.2) A

Pole elektryczne dipola Układ dwu jednakowych ładunków przeciwnych znaków umieszczonych w pewnej odległości d jest nazywany dipolem. Obliczamy pole elektryczne na osi symetrii dipola, prostopadłej do linii łączącej oba ładunki. Z zasady superpozycji mamy: Dla ładunku punktowego Wartość E jest długością przekątnej rombu Dla przypadku r >> a otrzymuje się gdzie p = 2aq jest momentem dipolowym W pomiarach E nie potrafimy określić a oraz q niezależnie a tylko ich iloczyn p. Rzeczywiste dipole nie są tworzone przez układy ładunków punktowych ale wykazują właściwości dipoli idealnych. Przykładem jest molekuła wody ze stałym momentem dipolowym. + - Pole elektryczne generowane przez dipol, przedstawione w postaci linii pola. W każdym punkcie wektor pola jest styczny do linii pola. -q +q/2 +q/2 Molekuła wody jako dipol. Elektrony walencyjne pozostają bliżej atomu tlenu.

10.2. Siły działające w polu elektrycznym Ładunek punktowy w polu E Siła działająca na ładunek punktowy q w zewnętrznym polu elektrycznym jest równa (10.3) Dipol w polu elektrycznym Dipol o momencie p jest umieszczony w jednorodnym polu elektrycznym E. Wypadkowy moment siły stara się obrócić dipol wokół śr. masy O wzdłuż linii pola. Moment ten, równy iloczynowi siły i odległości między kierunkami sił, jest powiązany z polem E następująco (10.4) Równ. (10.4) można zapisać w bardziej ogólnej postaci wektorowej (10.5) Wg. powyższej zasady działa kuchenka mikrofalowa, gdzie molekuły wody są obracane w zmiennym polu mikrofalowym i ruch ten zamienia się w en. cieplną. Ładunek q (q<0) w jednorodnym polu elektrycznym wytworzonym przez dwie naładowane płytki. Podobnie wygląda sterowanie ruchem kropelek w drukarce atramentowej, gdzie ładunek kropli jest odpowiednio dozowany. A θ – kąt miedzy momentem dipolowym i polem elektrycznym

10.3. Prawo Gaussa Definiujemy strumień pola wektorowego na przykładzie wektora prędkości v. W tym przypadku strumień jest równy objętości przepływającej przez ramkę w jedn. czasu Wprowadzając wektor powierzchni (prostopadły do powierzchni o wartości równej polu powierzchni ramki) można strumień wyrazić na stępująco (10.6) Strumień pola elektrycznego można zdefiniować analogicznie. Dla pola niejednorodnego strumień elementarny jest równy (10.7) Strumień przez powierzchnię zamkniętą (zwaną powierzchnią Gaussa) wynosi (10.8) Równ. (10.8) wskazuje, że strumień przez powierzchnię Gaussa jest proporcjonalny do całkowitej liczby linii pola elektrycznego przechodzących przez tę powierzchnię.

Prawo Gaussa, cd. Znaczenie całkowitej liczby linii pola ilustruje poniższy rysunek Prawo Gaussa (10.9) Prawo Gaussa jest słuszne dla wszystkich pól proporcjonalnych do 1/r2, czyli również dla grawitacyjnego. Jeżeli znamy qwew można wyznaczyć E i na odwrót. Równ. (10.9) wskazuje, że rozkład ładunku wewnątrz powierzchni Gaussa nie jest istotny ale w praktyce prawo to wykorzystujemy w przypadkach z pewnym stopniem symetrii, kiedy obliczenie całki (10.9) jest proste. Strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy całkowitemu ładunkowi wewnątrz tej powierzchni wychodzące linie pola liczby linii wchodzących i wychodzących są równe wchodzące linie pola

Zastosowania prawa Gaussa Pole ładunku punktowego Ze względu na symetrię powierzchnię Gaussa obieramy w postaci sfery o promieniu r, w której środku mieszczony jest ładunek punktowy q. W dowolnym punkcie powierzchni pole elektryczne jest do niej prostopadłe, zatem kąt θ między i jest równy zero. Prawo Gaussa można zapisać w postaci (10.10) Lewa strona równ. (10.10) jest równa (10.11) Z równania (10.10) otrzymuje się więc: (10.12) Siła działająca na ładunek punktowy q0 w polu (10.12) jest równa (10.13) Równ. (10.13) wyraża prawo Coulomba. Można zatem wyprowadzić prawo Coulomba z prawa Gaussa. Prawo Gaussa jest jednym z podstawowych praw elektromagnetyzmu.

Zastosowania prawa Gaussa, cd. Pole przewodzącej kuli Gdy przewodząca kula jest ładowana, nadmiarowy ładunek Q szybko się przemieszcza gromadząc się ostatecznie na powierzchni w ten sposób, że pole elektryczne wewnątrz osiąga wartość zerową. Pozostaje to w zgodności z prawem Gaussa. Dla Dla sytuacja jest analogiczna ze względu na symetrię do ładunku punktowego, co daje Zerowanie się pola elektrycznego wewnątrz przewodnika (o dowolnym kształcie i wypełnieniu) nosi nazwę ekranowania. Pole elektryczne naładowanej jednorodnie płaszczyzny nieprzewodzącej Nieprzewodząca cienka płaszczyzna jest naładowana równomiernie rozłożonym ładunkiem o gęstości powierzchniowej σ. Ładunek ten w otaczającej przestrzeni wytwarza jednorodne pole elektryczne. Aby wyznaczyć natężenie pola elektrycznego należy obrać odpowiednią pow. Gaussa otaczającą ładunek źródłowy i odzwierciedlającą symetrię pola. Z tego względu jako pow. Gaussa obieramy powierzchnię cylindryczną przenikającą płaszczyznę.

Powierzchnia ta zawiera ładunek σA rozłożony na obejmowanym fragmencie płaszczyzny. Pole elektryczne jest prostopadłe do obu podstaw i równoległe do pow. bocznej cylindra. Całkowity strumień pola elektrycznego przenikający przez pow. Gaussa jest zatem równy : Zgodnie z prawem Gaussa strumień ten jest równy obejmowanemu ładunkowi Natężenie pola zależy tylko od gęstości powierzchniowej ładunku. Pole elektryczne naładowanej płaszczyzny przewodzącej W tym przypadku ładunek rozmieszcza się tylko na pow. zewnętrznych (rys.a), podobnie jak to miało miejsce dla kuli przewodzącej. Z praktycznego punktu widzenia jest jednak istotna sytuacja gdy dwie płaszczyzny przewodzące ustawione są równolegle blisko siebie i naładowane są ładunkami o przeciwnych znakach (rys.b). Wzajemne przyciąganie między ładunkami powoduje, że gromadzą się one wtedy na wewnętrznych powierzchniach a zatem pole elektryczne zlokalizowane jest tylko między płaszczyznami i jego natężenie wynosi E = s/e0 , gdzie s gęstość pow. ład.

10.4. Potencjał elektryczny Pole elektrostatyczne jest zachowawcze i można wprowadzić w nim pojęcie energii potencjalnej. Ułatwia to obliczanie pracy sił pola ze względu na możliwość skorzystania z zasady zachowania energii mechanicznej. Zmiana energii potencjalnej dEp wynika z pracy sił pola elektrycznego (10.14) Elementarna zmiana potencjału elektrycznego, niezależna od próbnego ładunku q0, wynosi (10.15) Całkowitą zmianę potencjału elektrycznego między dowolnymi punktami 1 wynosi 2 otrzyma się w wyniku całkowania (10.15) (10.16) Wybierając umownie punkt odniesienia w nieskończoności gdzie V1 = 0, otrzymuje się wyrażenie na potencjał w danym punkcie (10.17) Wartość potencjału zależy tylko od położenia danego punktu w polu elektrycznym E. q0 Q Przesuwając q0 wzdłuż drogi ACB wykonujemy tę samą pracę jak podczas przesuwu między A i B wzdłuż linii pola.

Potencjał elektryczny ładunku punktowego Zgodnie z (10.16) różnica potencjałów w polu radialnym ładunku punktowego wynosi (w polu radialnym ) Dla potencjału odniesienia równego zero (dla rB ∞) otrzymuje się (10.18) Z (10.18) wynika, że dla r = const V= const, co określa tzw. powierzchnie ekwipotencjalne. Dla ładunku punktowego ekwipotencjalne powierzchnie to sfery. Dodatni ładunek punktowy Q wytwarza radialne pole elektryczne - wektor jedn. Przekroje powierzchni ekwipotencjalnych (linie przerywane) pokazane razem z odpowiednimi liniami pola dla ładunku punktowego i dipola.

10.5. Pojemność elektryczna Układ dwu izolowanych elektrycznie przewodników tworzy kondensator, który w stanie naładowania na obu przewodnikach (okładkach) posiada dwa jednakowe ładunki przeciwnych znaków. Różnica potencjałów między okładkami, zwana napięciem U oraz ładunek q są do siebie proporcjonalne (10.19) Stała proporcjonalności C zwana jest pojemnością elektryczną i jej wartość zależy od geometrii kondensatora oraz rodzaju dielektryka między okładkami. Kondensator płaski Kondensator taki składa się z dwu okładek o powierzchni A każda, oddalonych od siebie o d. Pole elektryczne między okładkami jest jednorodne (z pominięciem pól brzegowych) i jak wcześniej wykazano w oparciu o prawo Gaussa zależy od gęstości powierzchniowej ładunku s następująco (10.20) Ładunki na płytkach kondensatora wytwarzają pole elektryczne w otaczającej przestrzeni. A

Kondensator płaski, cd. W oparciu o (10.16) można wyznaczyć różnicę potencjałów między okładkami (10.21) Podstawiając za E z równania (10.20) otrzymuje się (10.22) Podstawiając otrzymane wyrażenie do wzoru definiującego pojemność otrzymuje się wyrażenie na Pojemność kondensatora płaskiego (10.23) Wstawiając między okładki kondensatora dielektryk, ulega on w polu elektrycznym polaryzacji, co z kolei prowadzi do spadku napięcia U (przy stałym q) εr – względna przenikalność elektryczna dielektryka W rezultacie pojemność wzrasta εr razy (10.24) Potencjał dodatni posiada okładka górna a zatem droga całkowania od okładki dolnej do górnej w równ. (10.21) jest skierowana przeciwnie do linii pola.

Łączenie kondensatorów Przykłady Wyznaczyć pojemności zastępcze dla połączeń kondensatorów jak na rysunkach poniżej; C1 = 10μF, C2 = 30μF, C = 20μF Połączenie równoległe Na każdym kondensatorze występuje to samo napięcie U, które wytwarza ładunki q1 i q2 na kondensatorach q1 = C1V, q2 = C2V. Całkowity ładunek q=q1 + q2=(C1 + C2)V=CeqV Ceq= C1 + C2 = 40 μF Połączenie szeregowe Z mechanizmu ładowania wynika, że każdy kondensator ma ten sam ładunek q i suma napięć na kondensatorach równa jest napięciu przyłożonemu U. U1 = q/C1, U2 = q/C2. U = U1 + U2=q(1/C1+ 1/C2)=q/Ceq Ceq = C1C2/(C1 + C2) Ceq=7.5 μF To połączenie nie jest ani szeregowe ani równoległe. Analiza wskazuje, że potencjały w punktach a oraz b są jednakowe, zatem kondensator między tymi punktami może być odłączony. W takim przypadku Ceq= C/2 + C/2 = 20 μF A