Teoria sterowania Materiał wykładowy 8 - 2016/2017 Automatyka i Robotyka - studia stacjonarne II stopnia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż., prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Materiał wykładowy 8 - 2016/2017 Sterowanie systemem dynamicznym – metoda alokacji biegunów – działanie całkujące

Zastosowanie macierzy kompensacji M pozwala zapewnić wzmocnienie w torze wartość zadana – wartość aktualna wyjścia równą jeden, inaczej mówiąc równość tych dwóch wielkości Wada: rozwiązanie takie nie gwarantuje zerowej wartości uchybu ustalonego, np. w sytuacjach, kiedy model systemu nie jest dokładnie znany Alternatywa: dodanie jednego lub kilku integratorów (elementów całkujących) w pętli sterowania

Rozwiązanie Przypadek ciągły: Dla zlikwidowania uchybu ustalonego, - wprowadzamy integratory w liczbie na wyjściu komparatora (elementu porównującego) wartości zadanej (referencyjnej) i aktualnej wielkości wyjściowej systemu – po jednym dla każdej składowej wektora wielkości referencyjnej - poprzez macierz zamykamy sprzężenie zwrotne od wyjścia (ujemne) - sprzężenie zwrotne od wektora stanu realizowane jest jak poprzednio za pomocą macierzy oznaczonej

Pojawiają się nowe zmienne stanu będące skutkiem wprowadzenia integratorów Niech system (obiekt) jest dany jako Nowe zmienne stanu Łącząc zmienne stanu otrzymujemy system rozszerzony Równania stanu systemu rozszerzonego

Pełny opis systemu rozszerzonego (otwartego) Macierze wzmocnień dla działania regulacyjnego (prawo sterowania) wprowadzamy jak poprzednio

Równania stanu systemu po zamknięciu sprzężenia – równania stanu systemu zamkniętego Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia – systemu zamkniętego

Projektowanie sterowania ze sprzężeniem od stanu Opis systemu rozszerzonego (otwartego) może być zapisany też: gdzie Rozszerzona macierz wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu Prawo sterowania dla sprzężenia zwrotnego od stanu i od wyjścia

Opis systemu rozszerzonego systemu zamkniętego z połączenia Otrzymamy gdzie,

Problem polega teraz na określeniu rozszerzonej macierzy wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu tak, aby system zamknięty realizujący prawo sterowania i mający macierz systemu posiadał wymagane własności dynamiczne

Rozwiązanie problemu – jedna z przedstawionych uprzednio metod Warunek: system określony parą macierzy jest sterowalny Warunek ten jest równoważny trzem następującym 1. 2. Para jest sterowalna 3. , to znaczy liczba wejść sterujących musi być co najmniej równa liczbie wyjść sterowanych

Likwidacja uchybu ustalonego w odniesieniu do wartości zadanej w stanie równowagi W stanie ustalonym rozszerzonego systemu Drugie równanie oznacza zatem

Zaburzenie obciążenia Eliminacja stałych zakłóceń w stanie równowagi Dodanie integratorów w pętli sterowania powinno również powodować likwidację uchybu ustalonego wynikającego z istnienia stałych zakłóceń pomiarowych lub występowania stałych zaburzeń obciążenia, ponieważ integratory są ulokowane w pętli pomiędzy wyjściem komparatora (uchyb sterowania) a punktami przyłożenia tych zakłóceń Zakłócenia pomiaru Zaburzenie obciążenia

Uzupełniony w ten sposób (dodanie sygnałów zaburzeń i zakłóceń) system rozszerzony (otwarty) spełnia równania stanu i wyjścia postaci Równanie stanu systemu zamkniętego przyjmie postać

W stanie równowagi jak poprzednio czyli dwa warunki Stałe zakłócenia są eliminowane w stanie równowagi

Przykład 1. Kontynuacja Przykładu 2 z poprzedniego wykładu System trzeciego rzędu Zatem system (otwarty) rozszerzony

Otrzymamy System rozszerzony jest sterowalny – sprawdzić! Jak poprzednio, będziemy wymagali wartości własnych

Wykorzystamy wzór Ackermann’a do obliczenia macierzy wzmocnień – dla obliczeń numerycznych można skorzystać z funkcji acker przybornika Control System środowiska MATLAB Otrzymamy Wyniki symulacji: Wartość zadana - sygnał skokowy Zakłócenia: brak

Wyniki symulacji: t [s]

Wyniki symulacji: t [s]

Przykład 2. Dany jest system opisany macierzami Opis – postać kanoniczna sterowalności Wielomian charakterystyczny systemu otwartego Wartości własne wielomianu charakterystycznego systemu otwartego Stabilny asymptotyczne, słabo tłumiony system rzędu trzeciego

Chcemy poprawić jakość charakterystyki dynamicznej systemu Wyniki symulacji System otwarty: Czas [s] y [m] Otwarty Zamknięty Odpowiedź wyjścia na skok jednostkowy System zamknięty: Chcemy poprawić jakość charakterystyki dynamicznej systemu

System zamknięty Chcemy:  Dominujące wartości własne (człon drugiego rzędu oscylacyjny) - Przeregulowanie procentowe: 6% - Czas ustalania się 2%: 3 [s] W oparciu o Pomocnik możemy dla tak sformułowanych warunków wybrać: Postulowane wartości własne odpowiadające tym parametrom  Trzecia wartość własna (człon pierwszego rzędu) - ujemna, dziesięć razy większa od części rzeczywistej dominujących wartości własnych

Wielomian charakterystyczny (pożądany) systemu zamkniętego Macierz wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu (! System wdany w postaci kanonicznej sterowalności) Prawo sterowania – działanie regulacyjne i śledzące (M = 1)

Macierze systemu zamkniętego Macierz stanu Macierz sterowania Macierz wyj scia

Odpowiedź wyjścia na skok jednostkowy Wyniki symulacji Czas [s] y [m] Otwarty Zamknięty System zamkniety: Odpowiedź wyjścia na skok jednostkowy System zamknięty: - Przeregulowanie procentowe: 5.9% - Czas ustalenia 2%: 3.09 [s] Ale: Odpowiedź na skok jednostkowy nie osiąga wartości 1.0 Dla systemu zamkniętego oznacza to, że stan ustalony nie osiąga poziomu zadanego (referencyjnego)

Sprawdzenie uzyskanego wyniku z wykorzystaniem wzoru Ackermann’a Dla systemu danego w postaci kanonicznej sterowalności, macierz odwrotna sterowalności dana jest (patrz: Dodatek 1 do Zadań laboratoryjnych) Zatem:

Dla pożądanego wielomianu charakterystycznego systemu zamkniętego policzymy Macierz wzmocnień Wynik jak poprzednio

Uzupełnimy prawo sterowania wprowadzając macierz kompensacji wzmocnienia statycznego M Transmitancja systemu otwartego System w postaci kanonicznej sterowalności

Odpowiadająca mu transmitancja systemu otwartego Zatem dla przykładu transmitancja ta wynosi

Wzmocnienie statyczne System zamknięty opisany macierzami Odpowiadająca mu transmitancja

Wzmocnienie statyczne systemu zamkniętego Wzmocnienie kompensacji wzmocnienia statycznego Dla dogodności graficznej oceny dobroci rozwiązania symulację przeprowadzimy dla wzmocnienia kompensującego skorygowanego tak, aby poziom odpowiedzi ustalonej był równy poziomowi odpowiedzi ustalonej układu otwartego Wzmocnienie statyczne systemu zamkniętego będzie równe wzmocnieniu systemu otwartego jeżeli wzmocnienie kompensacji wyniesie Dla takiego wzmocnienia kompensacji prowadzimy symulację

Wyniki symulacji y [m] Czas [s] Otwarty Zamknięty

Zastosujemy teraz rozwiązanie z działaniem całkującym Warunki stosowalności 1. 2. Para jest sterowalna 3. , to znaczy liczba wejść sterujących jest co najmniej równa liczbie wyjść sterowanych Sprawdzimy warunek sterowalności 1

Wprowadzamy jeden integrator Macierze systemu rozszerzonego Wybierzemy wartości pożądane wartości własne w oparciu o kryterium ITAE (Integral of Time multipying the Absolute value of Error)

Tablica wielomianów charakterystycznych optymalnych w sensie ITAE Rząd systemu Wielomian charakterystyczny Pierwszy Drugi Trzeci Czwarty Piąty Szósty - pożądana wartość pulsacji drgań nietłumionych; im większa, tym szybsza odpowiedź

Odpowiedzi systemów ITAE opisanych transmitancją: - wielomian odpowiedniego rzędu z tablicy - czas znormalizowany (względny)

Wybieramy Pożądany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Wartości własne tego wielomianu System rozszerzony o integrator nie jest już postaci kanonicznej sterowalności

Korzystając np. z wzoru Ackermann’a policzymy macierz wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu Prawo sterowania Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia

Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia

Pokażemy krzepkość rozwiązania sterowania z działaniem całkującym Niech zaburzona macierz stanu

Wielomian charakterystyczny systemu otwartego dla macierzy zaburzonej Wartości własne wielomianu charakterystycznego systemu otwartego Stabilny (krytycznie), system rzędu trzeciego Stosując prawo sterowania znalezione dla modelu nominalnego

Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia

Wartości własne wielomianu charakterystycznego systemu zamknietego Stabilny asymptotycznie, system rzędu czwartego

Wyniki symulacji (odpowiedzi wyjścia na skok jednostkowy wielkości referencyjnej) Czas [s] Nominalny Zaburzony

Rozwiązanie Przypadek dyskretny: Opóźnienie

Wejście integratora (dyskretnego) gdzie, zmienne reprezentują dodatkowych zmiennych stanu Równania systemu rozszerzonego Pełny opis systemu rozszerzonego (otwartego)

Sterowanie przez sprzężenie zwrotne od stanu i sprzężenie zwrotne od wyjścia Prawo sterowania System z zamkniętą pętlą sterowania Uchyb sterowania w stanie równowagi Stan równowagi

Przykład 3. Weźmy system z Przykładu 1 System trzeciego rzędu Zdyskretyzujemy system stosując metodę niezmienniczości skokowej (z odpowiedzi) gdzie,

Wykorzystując np. funkcję c2d MATLAB’a znajdziemy, przyjmując System dyskretny System trzeciego rzędu, jednowymiarowy

Przyjmiemy takie same pożądane położenie wartości własnych systemu zamknietego Stąd pożądane położenie wartości własnych systemu zamkniętego dyskretnego Pożądany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Wielomian charakterystyczny macierzy stanu (zastosujemy wzór Ackermann’a)

Sprawdzamy sterowalność systemu otwartego (możemy skorzystać z funkcji ctrb MATLAB’a) Wyznacznik macierzy sterowalności Złe uwarunkowanie numeryczne! Zastosujemy (jednak) wzór Ackermann’a do obliczenia macierzy wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu (możemy wykorzystać np. funkcję acker MATLAB’a)

Sprawdzimy wartości własne systemu zamkniętego (sprawdzenie wpływu uwarunkowania numerycznego na wynik obliczenia macierzy wzmocnień) Uzyskany wynik wskazuje, że odwracanie macierzy (wzór Ackermann’a) odbyło się beż numerycznych problemów z powodu złego uwarunkowania Problemy mogą jednak pojawić się, jeżeli wyznacznik będzie zbyt mały Np. dla Powtarzając powyższą procedurę dostaniemy macierz sterowalności o wyznaczniku

Macierz wzmocnień dla tego przypadku Wzmocnienia do kilku tysięcy razy większe niż poprzednio! Problemy … Symulacja Zerowe warunki początkowe

Wyniki symulacji Numer próbki Amplituda odpowiedzi!

Dla uzyskania odpowiedniej amplitudy odpowiedzi wyjścia zastosujemy rozwiązanie z działaniem całkującym System rozszerzony

Rozważymy dwa przypadki Przypadek 1. Zastosujemy wybór wartości własnych jak poprzednio i wyznaczymy macierze wzmocnień za pomocą wzoru Ackermann’a Przypadek 2. Aby zmniejszyć wartości wzmocnień przesuwamy dyskretne wartości własne dalej od początku układu współrzędnych i wyznaczymy macierze wzmocnień za pomocą wzoru Ackermann’a Np.

Wyniki symulacji (wymuszenie: skok o amplitudzie 0.1) Numer próbki Przypadek 2 Przypadek 1

Wyniki symulacji (wymuszenie: skok o amplitudzie 0.1) Numer próbki Przypadek 1 Przypadek 2

Koniec slajdów wykorzystanych podczas wykładu Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę