Wykład 4 Ruch masy w układach ożywionych. Mechanika płynów. Przepływ krwi w dużych naczyniach Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Na wykładzie poprzednim wyznaczyliśmy relację pomiędzy strumieniem a różnicą ciśnień dla przepływu przewodem o przekroju kołowym płynu newtonowskiego: Rozpatrzmy teraz przepływ w tych samych warunkach płynów potęgowych ( model potęgowy Ostwalda–de Waele’a) Zapiszmy to w postaci: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Nie możemy skorzystać z równania N-S bo ono spełnione jest dla płynów newtonowskich ale wiemy, że spełniony musi być bilans naprężeń (dla każdego płynu) r rmax x Pamiętamy: r=0 Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Ogólnie wiemy, że prędkość płynu będzie miała wartość maksymalną w osi przewodu i wraz ze zbliżaniem się do ścianki będzie maleć. Wzrost wartości r powoduje spadek wartości Vz , a więc gradient prędkości ma wartość ujemną: max Stąd : Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Gradient prędkości opisuje zależność: Po scałkowaniu : Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Stałą C wyznaczamy z warunku brzegowego: r=R vz = 0 i ostatecznie otrzymujemy: Dla k = μ i n = 1 ( płyn newtonowski) Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Znormalizowany profil prędkości: Przypomnijmy sobie wielkość Zwaną lepkością pozorną (apparent viscosity) płyn newtonowski Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Płyny zagęszczane ścinaniem n > 1 Wraz ze wzrostem naprężeń lepkość pozorna rośnie. Płyny rozrzedzane ścinaniem n < 1 (shear –tinning) Wraz ze wzrostem naprężeń lepkość pozorna malej. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. rmax r=0 x Dla n < 1 wzrost naprężeń powoduje spadek lepkości pozornej co owocuje wzrostem prędkości w stosunku do płynu newtonowskiego. Dla n > 1 wzrost naprężeń powoduje wzrost lepkości pozornej co owocuje spadkiem prędkości w stosunku do płynu newtonowskiego. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Znając rozkład prędkości możemy wyznaczyć wartość strumienia: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Zachowanie krwi podczas przepływu opisuje rów. Cassona: Granica płynięcia i parametr lepkości są funkcją hematokrytu: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Istnieje wiele modeli reologicznych krwi np. model Quemady: Zredukowana szybkość ścinania Stała czasowa Zależą od Hct Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Rozpatrzmy teraz przepływ przewodem o przekroju kołowym krwi z Lepkością opisaną równaniem Cassona Bilans naprężeń : a Równanie Cassona: brak przepływu W tej strefie bez przepływu jeżeli zachodzi ruch to tak jak dla bryły sztywnej. profil prędkości zależy więc od wartości τy i τw granica płynięcia ścianka Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Naprężenia aa ściance Naprężenia osiągają wartość granicy Ppynięcia w odległości rc jeżeli nie mamy przepływu jeżeli Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. i profil prędkości musi wyglądać następująco: dla r < rc profil jest płaski. Dla r > rc i r < a równanie Cassona jest spełnione: rozwiązując względem γ stąd możemy wyznaczyć profil prędkości: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. dla r=rc prędkość przyjmuje wartość Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Możemy teraz wyznaczyć wartość strumienia : Co po odpowiednim podstawieniu i dla znanej wartość gradientu ciśnienia daje nam wzór: Jeżeli dp/dx > (2τy/a) Jeżeli -dp/dx < (2τy/a) Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Wprowadźmy nową notację I teraz wyrażenie na Q można zapisać następująco: Gdzie : Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Jak widać natężenie przepływu krwi Maleje dość znacznie wraz ze wzrostem ξ. A dla ξ > 1 przepływ ustaje. Zastanówmy się co jest przyczyną takiego a nie innego zachowania się krwi w przepływie? Wiemy już, że plazma krwi zachowuje się jak zwykły płyn Newtonowski i nie –Newtonowskie zachowanie się krwi musi być spowodowane obecnością krwinek. Jak krwinki zachowują się podczas przepływu ? Czy oddziaływają ze sobą ? Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Wiadomym jest od dawna ( Fahraeus, 1929) że ludzkie krwinki czerwone mogą formować agregaty (rouleaux) których występowanie jest uzależnione od obecności globuliny i białek fibrinogennych pojedyncze agregaty liniowe i rozgałęzione układ usieciowany Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Można wyróżnić trzy rodzaje „Rouleaux” tworzonych przez erytrocyty: Curved „rouleaux” Rod-shaped short Rod-shaped long Znając skład krwi ( Hematokryt około 45 %) możemy założyć iż reologiczne własności krwi są determinowane głównie przez wartość Hematokrytu i prawie nie zależą od obecności innych krwinek w osoczu. To co się dzieje z erytrocytami i jak się one zachowują podczas przepływu ma kluczowe znaczenie dla reologii całego układu jakim jest krew. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Kształt erytrocytów przypomina podwójnie wklęsły krążek Średnica zewnętrzna 8.4 μm, maksymalna grubość to około 2.4 μm a minimalna grubość to 1 μm. Średnia objętość pojedynczego erytrocytu to 87 μm3 a powierzchnia to 163 μm2. Gęstość erytrocytów to 1.09 gęstości wody. Lepkość płynu wewnątrz erytrocytu jest pięć razy większa niż lepkość osocza i wynosi 7 mPa*s. Kształt erytrocytu powoduje że jest on bardzo podatny na odkształcenia, co szczególnie widoczne jest podczas przepływu przez małe naczynia kapilarne. Odkształcenia erytrocytów zachodzą z zachowaniem objętości i powierzchni !!!!! Hemoliza (zniszczenie erytrocytów) zachodzi gdy naprężenia ścinające osiągają wartość 200Pa. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Im mniejsza prędkość przepływu krwi oraz mniejsze naprężenia ścinające tym obecność agregatów w przepływie jest powszechniejsza. Kiedy naprężenia ścinające spadają do 0 zakłada się iż cała ludzka krew staje się jednym wielkim agregatem, zachowującym się jak ciało stałe. Jeżeli agregaty krwinek zachowują się jak plastyczne ciało stałe, to granica płynięcia może być identyfikowana ze stałą τy w równaniu Cassona. Wraz ze wzrostem naprężeń ścinających agregaty mogą ulegać rozpadowi co powoduje że lepkość krwi spada. Jeżeli będzie następował dalszy wzrost wartości naprężeń ścinających to krwinki będą ulegały odkształceniom. Komórki będą ulegać wydłużeniom i układać się wzdłuż linii prądu. Proces ten również będzie zmniejszał wartość lepkości krwi. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Agregaty erytrocytów tworzą się w obszarach zmniejszonego przepływu i niskich naprężeń ścinających. Agregaty te pod wpływem naprężeń ścinających mogą się rozpadać, ale również mogą się odkształcać co ma swój udział w obniżaniu się lepkości. Te zjawiska nie mogą być jedyną przyczyną nie – Netonowskiego zachowania się krwi ponieważ, lepkość zawiesiny erytrocytów w roztworze w którym nie tworzą się agregaty również nie jest stała. Wpływ agregacji i deformacji krwinek na lepkość krwi przedstawia rysunek: (Chien, 1970) normalna krew NA – zawiesina krwinek czerwonych w roztworze niezawierającym globuliny i fibrinogenu HA – roztwór „utwardzonych” krwinek Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Krew można porównać z innymi zawiesinami. Dla naprężeń ścinających powyżej 100 s-1. Dla 50 % stężenia, zawiesina złożona z sztywnych kul nie jest wstanie płynąć. Natomiast krew płynie nawet przy 98 % Zawiesina erytrocytów o H>59,3% musi zawierać odkształcone krwinki Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Można więc przyjąć iż za odchylenia od Newtonowskiego charakteru cieczy odpowiadają zjawiska deformacji erytrocytów oraz ich rotacja w przepływie. Kontur w przekroju poprzecznym przez erytrocyt może być opisany za pomocą owalu Cassiniego: Odległość od punktów F1 i F2 do I jest stała: Kształt ostateczny otrzymujemy przez rotację krzywej Cassiniego wokół osi centralnej. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Kształt owalu Cassiniego jest specyficzny ponieważ dla stosunku a/l energia deformacji silnie elastycznej membrany przechodzi przez minimum: Kształt ten zapewnia również szybką dyfuzje tlenu do hemoglobiny w erytrocytach Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. W przypadku profilu prędkości dla każdej wartości y mamy inną wartość prędkości. Powoduje to że każda cząstka o skończonych rozmiarach będzie się toczyć, obracać podczas przepływu. Proces ten zakłóca przepływ i wymaga dodatkowych nakładów energii, co przejawia się poprzez lepkość. Jeżeli n krwinek utworzy agregat to rotacja agregatu wywoła większe zakłócenie niż suma zakłóceń od pojedynczych krwinek. Więc rozpady agregatów będą wpływać na redukcje lepkości. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Drugim efektem wpływającym na zmianę lepkości jest układanie się odkształconych krwinek zgodnie z liniami prądu przepływu: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Do tej pory zakładaliśmy stałość gradientu ciśnienia. Serce człowieka budowa: 1) Prawy przedsionek; 2) Lewy przedsionek; 3.)Żyła główna górna; 4) Łuk aorty; 5) Lewa tętnica płucna; 6) Żyła płucna dolna; 7) Zastawka mitralna; 8) Zastawka aortalna; 9) Komora lewa; 10) Komora prawa; 11) Żyła główna dolna; 12) Zastawka trójdzielna; 13) Zastawka pnia płucnego Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Serce przy częstotliwości 70 uderzeń na minutę przetłacza 70 ml krwi za każdym uderzeniem, co oznacza, że w ciągu jednego dnia przetłacza 7000 dm3 krwi. Przepływ krwi można podzielić na dwie fazy: systole, gdy krew jest pompowana z komór serca i diastole, gdy krew napływa do komór serca. Podczas skurczu mięśnia sercowego, ciśnienie w lewej komorze serca rośnie gwałtownie z poziomu około 5 mmHg do 120 mmHg w czasie 0,2 s. Ciśnienie w aorcie zmienia się od poziomu 80 mmHg do 120 mmHg. Gdy ciśnienie w lewej komorze serca osiąga wartość ciśnienia w aorcie otwiera się zastawka aortalna i krew wpływa do aorty. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. W momencie spadku ciśnienia, zastawka aortalna zaczyna się zamykać. Prędkość przepływu krwi w aorcie jest prawie równa zeru do czasu gdy lewa komora serca nie zacznie sie znowu kurczyć. W wyniku tego w aorcie panuje wysokie ciśnienie nawet wtedy, gdy nie ma tam przepływu. Ciśnienie i pulsacje prędkości zmieniają się wraz z oddaleniem się od serca. Pulsacje ciśnienia są prawie nieobecne podczas przepływu żyłami. Typowy przebieg zmian ciśnienia w aorcie i lewej komorze serca pokazany jest na rys. 4.5. Ze względu na charakter pracy serca przepływ krwi w dużych tętnicach ma charakter pulsacyjny. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Liczba Wormsleya : Przepływ ma charakter pulsacyjny R – to promień przewodu, ν- lepkość kinematyczna krwi [m2/s], ω- częstotliwość oscylacji (rad/s). W przypadku przepływu krwi dominującą częstotliwością jest częstotliwość skurczy serca. Wraz z oddalaniem się od serca krew przepływa coraz mniejszymi tętnicami, w których wartość liczby Womersley’a zmienia się dla sześćdziesięciu uderzeń serca na minutę od wartości ok. 22 w aorcie do wartości mniejszej od 1 w tętniczkach. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. W dużych przewodach przepływ krwi jest taki jak dla płynu newtonowskiego. W celu określenia profilu prędkości w przewodzie rozpatrzymy równanie Naviera–Stokesa w układzie współrzędnych cylindrycznych. Przepływ odbywa się tylko w kierunku z (vr = vθ = 0) i zakładamy, że jest w pełni rozwinięty vz = f(r). Dla takich warunków równanie Naviera–Sokesa upraszcza się do postaci: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Gradient ciśnienia oscyluje w czasie z częstotliwością ω (rad/s) i może być przedstawiony za pomocą równania: otrzymujemy równanie różniczkowe w postaci: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Rozwiązując otrzymujemy: gdzie: J0 to funkcja Bessela pierwszego rodzaju rzędu zerowego Ponieważ gradient ciśnienia wyrażany jest przez rzeczywistą część wyrażenia A*eiωt to prędkość jest rzeczywistą częścią powyższego równania i w znaczącym stopniu zależy od wartości liczby Womersley’a (α). Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Znając rozkład prędkości, jesteśmy w stanie obliczyć strumień, który przepływa przewodem w danej chwili czasu t: który po scałkowaniu wynosi: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Zmiany profilu znormalizowanego ciśnienia i związaną z tym wartość znormalizowanego strumienia przepływu dla wartości liczby Womersley’a (α) 3,25 ω = 3 Obr/s, A* = 1 dyn/cm, ρ = 1 g/cm3. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Znaczące jest przesuniecie w fazie pomiędzy tymi dwoma wartościami. Wartość przesunięcia w fazie jest tym większa im większa jest wartość liczby α, osiąga ona wartość maksymalną dla dużych wartości liczby α, odpowiadającej warunkom panującym w aorcie i dużych tętnicach. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Drugą charakterystyczną cechą przepływu pulsacyjnego w przewodzie, jest zmiana profilu prędkości w czasie. Rys. przedstawiają profil prędkości w przewodzie kołowym dla różnych wartości czasu. Charakterystyczne jest przesuniecie w fazie pomiędzy maksymalną wartością ciśnienia a maksymalną wartością prędkości, osiągana w przewodzie. Profile prędkości podczas przepływu pulsacyjnego w różnych chwilach czasowych, 0 > t > 0,3s Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Profile prędkości podczas przepływu pulsacyjnego w różnych chwilach czasowych, 0,3 > t > 1,047 s Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Ciśnienie osiąga wartość maksymalną dla t = 0 gdy prędkość w osi przewodu osiąga maksymalna wartość dla t = 0,4365 s. Dla t = 0 profil prędkości różni się znacznie od parabolicznego profilu dla ustalonego przepływu przewodem kołowym. Związane jest to z bezwładnością płynu. Z upływem czasu wartość prędkości w osi przewodu rośnie, a gradient ciśnienia maleje. Przyśpieszenie płynu odgrywa coraz mniejszą rolę i profil prędkości dla czasu z zakresu 0,15 < t < 0,6 przyjmuje kształt paraboliczny. Dla malejącej wartości prędkości profil coraz bardziej odbiega od kształtu parabolicznego. Gdy następuje silne wyhamowanie przepływu, może pojawić się przepływ wsteczny, czy to przy ściankach przewodu (t = 0,8 s), czy w całym przekroju (dla t = 1,047 s profil prędkości jest taki sam jak dla t = 0 tylko, że przepływ odbywa się w przeciwną stronę). Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Profil prędkości w przepływie pulsacyjnym zależy od wartości liczby Womersley’a. Wraz ze wzrostem wartości α profil prędkości wypłaszacza się, szczególnie w centralnej części przekroju przewodu. Dla wartości odpowiadających warunkom panującym w dużych tętnicach (α > 10) profil przybiera charakterystyczny kształt z lokalnymi maksimami w pobliżu ścianek przewodów Profile prędkości w przewodzie kołowym dla różnych wartości liczby Womersley’a i t = 0,5 s Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Rozważmy pulsacyjny przepływ przewodem o przekroju kołowym w zakresie stosowalności równania Cassona. Gradient ciśnienia w układzie opisuje równanie: Podstawiając równanie konstytutywne do równania bilansu pędu otrzymujemy równanie opisujące zmiany prędkości w układzie: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Przybliżone rozwiązanie tego równania podali Rohlf i Tenti (2001) dla α < 1, postaci: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Przepływ krwi w naczyniach zakrzywionych Wiele naczyń krwionośnych jest silnie zakrzywionych. Przykładem może być zakrzywienie łuku aorty Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Krzywizna przewodów ma duży wpływ na charakter przepływu i w układach trójwymiarowych wymaga numerycznego rozwiązywania równań opisujących przepływ w celu analizy problemu. Dla uproszczenia rozważmy przewód zakrzywiony o promieniu r, leżący na płaszczyźnie. Przyjmijmy, że promień zakrzywienia przewodu wynosi R. Podczas przepływu w tak zdefiniowanej geometrii, profil prędkości płynu będzie różnił się od profilu podczas przepływu przewodem prostoliniowym. Spowodowane jest to pojawieniem się siły odśrodkowej działającej na element płynu. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Powoduje to, że składowe prędkości νr i νθ są różne od zera. W przepływie pojawiają się przepływy wtórne. Równanie ciągłości dla współrzędnych cylindrycznych wygląda następująco: Wskazuje ono na to, że zmiany prędkości νz wzdłuż osi przewodu powodują pojawienie się składowej promieniowej prędkości νr i składowej νθ. Objawia sie to przepływem normalnym do głównego kierunku przepływu cyrkulującym w kierunku r i θ Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Charakter przepływu przewodem zakrzywionym zależy od wartości dwóch wielkości bezwymiarowych: stosunku promienia przewodu do promienia krzywizny przewodu liczby Deana definiowanej następująco: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 4 – Ruch masy w układach ożywionych. Przepływ krwi. Dla przewodu prostoliniowego wartości δ i De wynoszą zero. Wartość liczby De w naczyniach krwionośnych zmienia się od 700 (w łuku aorty) do ok. 36 w naczyniach wieńcowych. Profil prędkości dla ustalonego przepływu zakrzywionym przewodem wymaga numerycznego rozwiązania układu równań Naviera–Stokesa. Dla wartości liczby De mniejszej od 34 i δ « 1 możliwe jest przybliżone rozwiązanie analityczne (Pedley, 1980), które pozwala wyznaczyć naprężenia ścinające na ściankach przewodu z zależności: Naprężenia wtórne τrθ są znacznie mniejsze niż naprężenia wywołane przepływem głównym τrz Naprężenia wywołane przepływem głównym są większe na ściance zewnętrznej (> R) niż na ściance wewnętrznej przewodu (< R). Procesy transportowe w organizmach żywych