Modele rynku kapitałowego

Teoria optymalnego portfela inwestycyjnego Markowitza ma charakter modelu normatywnego tzn. formułuje zasady jakimi powinien kierować się racjonalny inwestor podejmując decyzje inwestycyjne. Kolejnym etapem analizy jest budowa modelu określającego oczekiwaną stopę zwrotu z inwestycji na rynku, na którym inwestorzy postępują zgodnie ze wzorcem normatywnym.

Model jednoczynnikowy (single index model) Model jednoczynnikowy (Sharpe’a) – prezentuje założenie o istnieniu wprost proporcjonalnego związku między zmianami cen akcji a zmianami wartości portfela rynkowego (poziomem indeksu). Kształtowanie się stóp zwrotu z akcji na rynku zależy od jednego ogólnego czynnika, określanego mianem portfela rynkowego

Równanie linii charakterystycznej (CL) gdzie: ri – stopa zwrotu z inwestycji i, rI – stopa zwrotu z indeksu giełdowego, α – wyraz wolny, β – współczynnik beta, ε – składnik losowy.

Interpretacja modelu Sharpe’a Model Sharpe’a to model liniowej zależności stopy zwrotu akcji (portfela) od stopy zwrotu z portfela rynkowego (indeksowego). ε – składnik losowy modelu – efekt działania wszystkich czynników niezwiązanych z indeksem rynku – w praktyce często pomijany.

Współczynik β Współczynnik β to miara wrażliwości stopy zwrotu z akcji na stopę zwrotu z portfela indeksowego. Dodatnia beta oznacza, że stopy zwrotu z portfela zmieniają się w tym samym kierunku co rynek, ujemna beta oznacza że stopy zwrotu z portfela zmieniają się w przeciwnym kierunku niż rynek. Beta aktywa wolnego od ryzyka wynosi 0 gdyż jego kowarinacja z innymi aktywami wynosi 0. Korelacja aktywa z sobą samym wynosi 1 stąd beta portfela rynkowego wynosi 1.

Interpretacja współczynnika β βi < 0 – stopa zysku danej akcji zmienia się w przeciwnym kierunku niż stopa zysku indeksu giełdowego βi = 0 – stopa zysku akcji nie jest zależna od zmian rynkowych 0<βi<1 – stopa zysku akcji słabo zależy od zmian rynkowych βi = 1 - stopa zwrotu akcji podlega takim samym zmianom co indeks giełdowy βi > 1 – stopa zwrotu akcji zmienia się szybciej niż stopa zwrotu z indeksu giełdowego, są to akcje agresywne.

Współczynnik kierunkowy α Współczynnik α reprezentuje wartość oczekiwaną wpływu czynników niezależnych od indeksu rynkowego na stopę zwrotu z inwestycji:

Szacowanie parametrów linii CL gdzie: r – średnia arytmetyczna stóp zwrotu

Współczynnik β portfela β portfela to średnia ważona współczynników β składników portfela gdzie wagami są wartości udziałów poszczególnych składników w portfelu.

Dekompozycja ryzyka w modelu Sharpe’a gdzie: – wariancja składnika losowego Wariancja stopy zwrotu jest sumą dwóch składników.

Dekompozycja ryzyka 2 Ryzyko całkowite = ryzyko systematyczne + ryzyko specyficzne Ryzyko systematyczne (rynkowe) – składnik zależny od współczynnika β i wariancji stopy zwrotu wskaźnika rynku Ryzyko specyficzne – składnik zależny od wariancji składnika losowego

Dywersyfikacja portfela Dywersyfikacja portfela prowadzi eliminacji ryzyka specyficznego i uśrednienia ryzyka rynkowego. Portfel dobrze zdywersyfikowany:

Dywersyfikacja portfela Ryzyko Liczba spółek

Zadanie 1 Dany jest dobrze zdywersyfikowany portfel akcji o odchyleniu standardowym stopy zwrotu z portfela wynoszącym 20%. Na podstawie powyższych danych określ, ile wynosi współczynnik Beta tego portfela, jeśli odchylenie standardowe stopy zwrotu z portfela rynkowego wynosi 16% zaś na rynku spełnione są założenia modelu jednoczynnikowego.

Zadanie 2 Współczynnik korelacji pomiędzy stopą zwrotu z akcji X oraz stopą zwrotu z portfela rynkowego wynosi 0,6. Na podstawie powyższych danych określ, jaką część ryzyka całkowitego akcji X stanowi ryzyko specyficzne.

Zadanie 3 Doradca zarządza portfelem indeksowym, którego odchylenie standardowe stopy zwrotu wynosi 14%. Beta tego portfela wynosi 1,2. Stopa zwrotu z tego portfela wynosi 21%, zaś z portfela o Becie równej 1 stopa zwrotu wynosi 17%. Wariancja stopy zwrotu z portfela rynkowego wynosi 0, 0121. Ile wynosi w przybliżeniu wartość ryzyka specyficznego tego portfela mierzona odchyleniem standardowym?

Capital Asset Pricing Model (CAPM) Model CAPM (Capital Assets Pricing Model) to model równowagi rynku kapitałowego. Opisuje on wypadkową działań racjonalnych inwestorów na rynku kapitałowym a w szczególności kształtowanie się stóp zwrotu (i cen) instrumentów finansowych.

Założenia modelu Każdy inwestor ocenia portfele przez pryzmat oczekiwanej stopy zwrotu i odchylenia standardowego stopy zwrotu w horyzoncie czasowym jednego okresu inwestycyjnego. Inwestor zawsze wybiera portfel o wyższej oczekiwanej stopie zwrotu (jeśli pozostałe parametry portfeli są jednakowe). Inwestor wykazuje awersję do ryzyka a więc zawsze wybiera portfel o niższym odchyleniu standardowym (jeśli inne parametry portfeli są jednakowe). Poszczególne aktywa są nieskończenie podzielne tak, że inwestor może nabyć dowolny ułamek akcji. Na rynku dana jest jedna stopa procentowa (stopa wolna od ryzyka), po której możliwe jest udzielenie lub zaciągnięcie pożyczki bez ryzyka. Dopuszczalna jest nieograniczona krótka sprzedaż papierów wartościowych Brak podatków i kosztów transakcyjnych. Informacja jest swobodnie i bezpłatnie dostępna dla wszystkich inwestorów. Inwestorzy mają jednorodne oczekiwania w odniesieniu do oczekiwanych stóp zwrotu, odchyleń standardowych i kowariancji stóp zwrotu z aktywów. Pojedynczy inwestor nie jest w stanie wpłynąć swymi decyzjami na cenę papieru wartościowego.

Zachowanie inwestorów Ponieważ każdy inwestor ma z założenia jednakowe oczekiwania odnośnie oczekiwanych stóp zwrotu i odchyleń standardowych liniowe zbiory efektywne portfeli inwestycyjnych utworzone zgodnie z metodyką modelu Markowitza są jednakowe dla każdego inwestora. Jedynym powodem, dla którego poszczególni inwestorzy będą dokonywali wyboru różnych portfeli optymalnego z jednego, wspólnego zbioru efektywnego są ich zróżnicowane indywidualne preferencje w odniesieniu do ryzyka, obrazowanego przez ich indywidualne krzywe obojętności. Różnice te będą dotyczyły jedynie wielkości udziału w portfelu aktywów wolnych od ryzyka lub wykorzystania kredytu na zakup papierów wartościowych, podczas gdy proporcje udziału poszczególnych aktywów obciążonych ryzykiem w portfelu każdego inwestora będą jednakowe.

Zachowanie inwestorów Inwestorzy będą wybierać portfele efektywne leżące na linii CML Równanie CML nie mówi nic o stopach zwrotu z portfeli nieefektywnych bądź z pojedynczych aktywów.

Przykład Portfel Oczekiwana stopa zwrotu (%) Beta A 10 1,0 B 12 1,4 C 11 1,2 D 13 1,2 E 8

E(r) D B C A E β

Z powyższego przykładu wynika, że w stanie równowagi wszystkie portfele muszą leżeć na linii prostej wykreślonej w układzie współrzędnych oczekiwana stopa zwrotu - β

Wyznaczanie prostej Równanie prostej: Wyznaczenie prostej wymaga identyfikacji dwóch punktów w układzie współrzędnych:

Wyznaczanie prostej Punkt 1: portfel rynkowy (β = 1) Punkt 2: portfel wolny od ryzyka (β = 0)

Linia SML (Securities Market Line) Podstawiając do równania prostej otrzymujemy: Powyższe równanie określa oczekiwaną stopę zwrotu z dowolnego portfela aktywów (nie tylko efektywnego). Równanie wskazuje liniową zależność pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu a ryzykiem rynkowym.

Alternatywny zapis SML Ponieważ: Więc możemy zapisać: Oczekiwana stopa zwrotu z inwestycji jest równa sumie stopy wolnej od ryzyka oraz iloczynu rynkowej ceny ryzyka i ilości ryzyka w portfelu.

Interpretacja graficzna linii SML Ryzyko B C’ B’ C M A F E β

Porównanie równań linii CML i SML CML to równanie zależności dochodu od ryzyka całkowitego dla portfeli efektywnych. SML to równanie zależności dochodu od ryzyka systematycznego dla portfeli dobrze wycenionych. W obu przypadkach stopa zwrotu może byś interpretowana jako suma dwóch składników: ceny czasu – stopy wolnej od ryzyka i ceny ryzyka wyrażanej jako iloczyn rynkowej premii za ryzyko i wielkości ponoszonego ryzyka.

Model Zero-Beta CAPM Model Fischera Blacka zakłada brak aktywów wolnych od ryzyka lecz istnieje portfel aktywów mający β = 0.

Model Zero-Beta CAPM - wyjaśnienie Każdy portfel leżący na granicy efektywnej ma portfel „towarzyszący” w dolnej połowie krzywej minimalnej wariancji, z którym jest nieskorelowany. Ponieważ portfele te są nieskorelowane portfel „towarzyszący” jest określany jako portfel zero-beta dla portfela efektywnego.

Model Zero-Beta CAPM - wyjaśnienie

Portfel zero-beta - interpretacja Jeśli wykreślimy linię styczną do granicy efektywnej w punkcie P, punkt przecięcia tej prostej z osią rzędnych wyznaczy oczekiwaną stopę zwrotu z portfela towarzyszącego zero-beta, oznaczonego jako Z (P). Linia pozioma łącząca powyższy punkt przecięcia z krzywą minimalnej wariancji wyznacza odchylenie standardowe portfela Z (P). Różne portfele efektywne (P, Q) mają różne portfele towarzyszące o zerowej becie.

Przykład Zarządzający portfelem pragnie skonstruować portfel o beta = 0 względem indeksu S&P 500. Zarządzający dysponuje kapitałem 5 mln USD i rozważa następujące aktywa: Akcja 1 – beta = 0,95 Akcja 2 – beta = 0,55, Obligacja 1 – beta = 0,2 Obligacja 2 – beta = (-0,5) Towar 1 – beta = (-0,8) Zbuduj portfel o beta =0 wykorzystując wszystkie aktywa (tylko długie pozycje) oraz cały dostępny kapitał. ($700.000/$5.000.000)*0,95+($1.400.000/$5.000.000)*0,55+($400.000/5.000.000)*0,2+($1.000.000/$5.000.000)*(-0,5)*($1.500.000/$5.000.000)*(-0,8)=(-0,009)≈0

Model ICAPM (International CAPM) Model ICAPM uwzględnia dwie modyfikacje – uwzględnia globalny portfel akcji oraz premie za ryzyko kursów walutowych: gdzie: rw – oczekiwana stopa zwrotu globalnego portfela rynkowego RPj – premia za ryzyko z tytułu kursu waluty j βj – współczynnik wrażliwości stopy zwrotu na zmiany kursu waluty j

Model trójczynnikowy Famy - Frencha Wybrane czynniki ryzyka to zmienne, które na podstawie danych empirycznych wybrano jako poprawnie przewidujące przeciętne stopy zwrotu gdzie: SMB = Small Minus Big - nadwyżka stopy zwrotu z portfela małych spółek ponad stopę zwrotu z portfela dużych spółek HML = High Minus Low – nadwyżka stopy zwrotu z portfela spółek o wysokim wskaźniku relacji wartości księgowej do rynkowej (B/P) ponad stopę zwrotu z portfela spółek o niskim wskaźniku B/P

Zadanie 4 Linia rynku papierów wartościowych (SML) określona jest następującymi parametrami: stopa zwrotu wolna od ryzyka rf = 6%; stopa zwrotu z portfela rynkowego RM = 12%. Doradca inwestycyjny rozważa zainwestowanie w jedną z dwóch akcji A lub B. Doradca obliczył współczynniki β dla akcji A i B, które wynoszą odpowiednio βa = 0,8 βb = 1,4. Ponadto korzystając z analizy fundamentalnej doradca oszacował przyszła stopę zwrotu z akcji A i B odpowiednio: Ra = 4%, Rb = 16%. Względem linii papierów wartościowych: A. akcja A jest przewartościowana, akcja B jest niedowartościowana; B. akcja A jest niedowartościowana, akcja B jest niedowartościowana; C. akcja A jest przewartościowana, akcja B jest przewartościowana; D. akcja A jest niedowartościowana, akcja B jest przewartościowana;

Zadanie 5 Dwa papiery wartościowe, których parametry podano poniżej, są wycenione zgodnie z linią rynku papierów wartościowych (Securities Market Line, SML). Ile wynosi oczekiwana stopa zwrotu z papieru o współczynniku beta równym 2,5 wycenionego zgodnie z powyższą linią rynku papierów wartościowych. Oczekiwana stopa Beta Zwrotu Papier1 14% 1,5 Papier2 10% 0,5

Zadanie 6 Oczekiwana stopa zwrotu z portfela rynkowego wynosi 15%, a stopa wolna od ryzyka 7% w skali roku. Beta akcji A wynosi 1,0 a Beta akcji B wynosi 0,8. Obecna cena akcji A wynosi 25 PLN zaś cena akcji B wynosi 40 PLN. Oczekiwane za rok ceny akcji (nie uwzględniające dywidendy) wynoszą odpowiednio: 27 PLN dla akcji A i 45 PLN dla akcji B. Akcja A wypłaci za rok od dzisiaj 1,75 PLN dywidendy a akcja B 2 PLN dywidendy. Zgodnie z modelem CAPM, która z tych akcji jest dobrze wyceniona: Akcja A, Akcja B, Obie akcje, Żadna z tych akcji.