Systemy kolejkowe - twierdzenie Little’a

Plan prezentacji Twierdzenie Little’a Twierdzenie Little’a - dowód Twierdzenie Little’a - przykłady Twierdzenie Little’a – zastosowanie Twierdzenie Little’a - podsumowanie

Modele kolejkowe - twierdzenie Little’a

Modele kolejkowe serwer zgłoszenia kolejka/bufor model dla: zgłoszeń (klientów) oczekujących w kolejce, linii montażowej, pakietów w sieci (kanał transmisyjny) chcemy znać: średnią liczbę zgłoszeń w kolejce, średnie opóźnienie doświadczane przez zgłoszenia (wnoszone przez system obsługi) z wykorzystaniem wartości: średniej szybkości (intensywności) napływu zgłoszeń (średniej liczby zgłoszeń w jednostce czasu), szybkości obsługi (średniej liczby zgłoszeń, którą serwer może obsłużyć w jednostce czasu).

System kolejkowy System kolejkowy: - zgłoszenia napływają do obsługi w losowych chwilach czasu, rozkład prawdopodobieństwa odstępów czasu pomiędzy zgłoszeniami jest znany, rozkład prawdopodobieństwa czasu obsługi poszczególnych zgłoszeń jest znany, Możliwa interpretacja: zgłoszenia to pakiety przekazywane do transmisji w kanale komunikacyjnym, czas obsługi jest czasem transmisji pakietu i jest równy L/C, gdzie: L jest długością pakietu (bity/sekundę), C jest pojemnością kanału transmisyjnego (bity/sekundę) Inna interpretacja: zgłoszenia to aktywne w sieci konwersacje (połączenia wirtualne) pomiędzy węzłami sieci, czas obsługi to czas trwania tych konwersacji

Charakterystyki systemu kolejkowego - średnia liczba zgłoszeń w systemie („typowa” liczba zgłoszeń oczekujących na obsługę i obsługiwanych), - średnie opóźnienie zgłoszeń („typowy” czas spędzany przez zgłoszenie w systemie, tzn. suma czasu oczekiwania przez z głoszenie na obsługę i czasu obsługi zgłoszenia), Jeżeli: - ) ( t p n oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że n zgłoszeń oczekuje w kolejce lub jest obsługiwanych w chwili t , - ) ( t N oznacza średnią liczbę zgłoszeń w systemie w chwili t , - k T oznacza średnie opóźnienie każdego spośród k zgłoszeń, - n p , N i T , o dpowiednio, to wartości ) ( t p n , ) ( t N i k T w stanie ustalonym to: ) ( lim t N np n å ¥ = ® - , å = ¥ ® k i T 1 lim -

Twierdzenie Little’a Twierdzenie: Średnia liczba zgłoszeń w systemie kolejkowym N oraz średnie opóźnienie zgłoszeń T wnoszone przez system kolejkowy są związane zależnością: T N l = gdzie l jes t średnią szybkością napływu zgłoszeń do systemu kolejkowego. Znaczenie twierdzenia wynika z jego ogólności: - jest prawdziwe dla większości systemów kolejkowych, które osiągają w granicy stan równowagi statystycznej, - jest prawdziwe dla złożonych systemów napływu zgłoszeń i ich obsługi, - system kolejkowy nie musi być pojedynczą kolejką.

Twierdzenie Little’a -dowód

Twierdzenie Little’a - dowód

Twierdzenie Little’a – przykład I

Twierdzenie Little’a – przykład II

Twierdzenie Little’a – przykład zastosowania (przepustowość)

Twierdzenie Little’a – przykład zastosowania (przepustowość)

Twierdzenie Little’a - podsumowanie wiąże liczbę zgłoszeń w systemie, intensywność napływu zgłoszeń i średni czas oczekiwania zgłoszeń na zakończenie obsługi, jest prawdziwe dla większości systemów kolejkowych, które w granicy osiągają stan ustalony, obowiązuje zarówno w pojedynczych kolejkach, jak i w złożonych systemach kolejkowych,