Wprowadzenie do ciągłych układów dynamicznych Systemy wspomagania decyzji WSB, Nowy Sącz

Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci gdzie jest daną funkcją. Rozwiązaniem takiego równania nazywamy każdą funkcję y(t), która jest różniczkowalna i spełniania równość Ponieważ pochodna funkcji mierzy szybkość zmiany funkcji względem jej argumentu, więc pochodna względem czasu oznacza szybkość zmiany w czasie. Możemy więc na równanie różniczkowe patrzeć jak na regułę, która opisuje ewolucję jakiejś wielkości w czasie. Uwaga. Pochodna funkcji może być też oznaczana przez dy/dt. Wtedy równanie rózniczkowe zapiszemy następujaco:

Przykład Rozważmy równanie Przykładowe rozwiązanie Sprawdzamy przez podstawienie Podane rozwiązanie nie jest jedyne, gdyż na przykład funkcja też spełnia to równanie.

Przykład Rozważmy równanie Sprawdzamy, że funkcja jest rozwiązaniem: W ogólnym przypadku każda funkcja postaci jest rozwiązaniem tego równania.

Powyższe przykłady pokazują, że samo równanie różniczkowe (reguła opisująca szybkość zminy) nie jest wystarczające, aby jednoznacznie zdeterminować ewolucje układu. Zagadnieniem początkowym (zagadnieniem Cauchy’ego) nazywamy następujące równanie gdzie są danymi liczbami (warunek początkowy), a jest daną funkcją. Warunek początkowy y(t0)=y0 określa jaki był stan układu w chwili początkowej t=t0.

Przykład Jakie jest rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego Rozwiązanie ogólne równania y’ = t y ma postać Podstawiamy warunek początkowy y(0)=2, co daje C=2. Zatem rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego jest funkcja

Przykład Jakie jest rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego Rozwiązaniem problemu jest funkcja stale równa zero Ale rozwiązaniem jest także funkcja Mamy zatem przykład niejednoznaczności rozwiązania!

Metoda rozdzielania zmiennych Rozważmy równanie o rozdzielonych zmiennych Rozwiązywanie możemy symbolicznie opisać następująco

Przykład Znaleźć rozwiązanie równania co daje a więc rozwiązaniem jest

Ogólne równanie liniowe Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne: Teraz stałą „uzmienniamy”, czyli traktujemy jak funkcję Podstawiamy do wyjściowego równania i uzyskujemy elementarne równanie na C(t).

Przykład Rozwiązujemy: Uzmienniane stałej Ostatecznie

Równanie logistyczne Wzrost populacji można scharkteryzować podając współczynnik urodzeń b oraz współczynnik zgonów d. Wtedy współczynnik wzrostu populacji jest r=b-d. Na tej podstawie można napisać najprostrze równanie opisujące zmianę ilościową populacji: Rozwiązaniem tego równania jest funkcja Sens parametru C jest jasny: jest to początkowa wielkość populacji, C=y(0). Może więc napisać gdzie y0 jest wielkością populacji w chwili t=0.

Równanie logistyczne (c.d.) Modyfikujemy założenie odnośnie współczynnika zgonów d: tzn. zakładamy, że nie jest on stały, ale rośnie wraz z liczebnością populacji. Pełne równanie dynamiczne opisujące ewolucję pupulacji ma teraz postać: Równanie to nazywa się równaniem logistycznym. Opisuje ono dość dobrze ewolucję pojedynczej populacji w środowisku o ograniczonych zasobach (np. hodowla bakterii). Wykres rozwiązania y=y(t) równania logistycznego dla a=2 oraz b=3 i czasu -3  t  5.

w środowisku Mathematica Przykładowa implementacja symulacji w środowisku Mathematica

Synteza bromowodoru z pierwiastków Synteza bromowodoru z pierwiastków jest reakcją złożoną o sumarycznym równaniu W roku 1906 wyznaczono eksperymetalnie następujące równanie kinetyczne tej reakcji Czasami równanie to jest zapisywane równoważnie tak Stałe kinetyczne k1 oraz k2 zależą od warunków przebiegu reakcji (temperatura, ciśnienie itp.). Eksperymetalnie wyznaczono, że w zwykłych warunkach k2≈0,1.

Synteza bromowodoru z pierwiastków (c.d.) Wprowadzamy oznaczenie y(t) = [HBr] oraz uwzględniamy bilans masy w równaniu co daje dodatkowe zależności Po podstawieniu do równania kinetycznego na d[HBr]/dt otrzymamy

Synteza bromowodoru z pierwiastków (c.d.) Przeprowadzając symulację podanego układu dynamicznego możemy precyzyjnie przewidzieć ewolucję stężenia składników – a w szczególności przewidziec czas trwania reakcji.

Synteza bromowodoru z pierwiastków (c.d.) Zasadniczy fragment kodu w środowisku MATLAB, który dokonuje symulacji podanego przykładu ma postać: Obliczenia wykonane są przez procedurę ode45, które implementuje jedną z najważniejszych metod numerycznych rozwiązywania układów dynamicznych – metodę Rungego-Kutty-Fehlberga 4-tego rzędu z adaptacyjnym krokiem całkowania.

z warunkami początkowymi: W ogólnym przypadku możemy mieć n wielkości (niewiadomych) funkcji y1(t),…,yn(t), których ewolucja czasowa jest powiązana. Oznacza to, że dane jest n równań równań rózniczkowych zwyczajnych (tzn.  układ równań): z warunkami początkowymi: gdzie liczby są dane.

Równania Lotki — jedna reakcja autokatalityczna Rozważny następującą sekwencję reakcji elementarnych: Powyższy mechanizm opisuje ostatecznie sumaryczną reakcję A  B. Z postaci tego mechanizmu możemy postulować następujący układ równań różniczkowych zwyczajnych

Równania Lotki — jedna reakcja autokatalityczna Wprowadzając wygodniejsze oznaczenia: Możemy układ ten przepisać w następującej formie: Główna część kodu w języku środowiska MATLAB do symulacji układu równań Lotki:

Równania Lotki — jedna reakcja autokatalityczna Symulacje numeryczne Modelu Lotki w MATLAB-ie dla następujących parametrów: Czas symulacji przyjmiemy tend =5·105. Zastosowanie standardowej procedury ode45 (implementujacej metodę Rungego-Kutty 4-tego rzędu) z domyślnymi ustwieniami tolerancji błędów dla przypadku a) daje wyniki:

Równania Lotki — przykładowy portret fazowy Poniżej jest przedstawiony portret fazowy układu Lotki dla danych z punktu a). Portret fazowy oznacza, że rysujemy wyniki obliczeń w układzie y1-y2. Tzn. na osi OX odkładane są wartości y1(t), a na osi OY wartości y2(t).

Równania Lotki-Volterry (dwie reakcje autokatalityczne) Jest to model podobny do modelu Lotki, ale tym razem występują dwie reakcje autokatalityczne: Sekwencja opisuje sumaryczną reakcję AB. Z postaci powyższego mechanizmu możemy postulować następujący układ równań różniczkowych zwyczajnych

Równania Lotki-Voltery (dwie reakcje autokatalityczne – c.d.) W układzie reakcji Lotki-Voltery zakładamy, że stężenie reagenta A jest stałe: [A]=const. Wprowadzając wygodne oznaczenia: [X]=y1(t), [Y]=y2(t), [A]=a możemy układ równań zapisać następująco: Układ ten ma ciekawą własność – występują w nim rozwiązania okresowe. Dokładnej, dla każdej pary warunków początkowych y1(0)=y10 > 0, y2(0)=y20 > 0 rozwiązania y1(t), y2(t) istnieją dla wszystkich t  0 i są funkcjami okresowymi.

Układ Lotki-Volterry jako prosty model drapieżnik-ofiara Ten sam układ równań może być wykorzystany do opisu prostego modelu interakcji pomiędzy dwoma populacjami: ofiar i drapieżników. gdzie

Układ Lotki-Volterry – przykładowe symulacje Do obliczeń weźmiemy następujące dane:

Przykłady zastosowań układów dynamicznych Mechanika – ruch ciał niebieskich, tory pocisków, sterowanie sonadmi kosmicznymi. Teoria obwodów elektrycznych – analiza modeli liniowych, oscylator van der Pola, generatory drgań sinusoidalnych. Modele dynamiczne w biologii – ewolucja populacji, modele drapieżnik ofiara, model Maya (ulepszony model Volterry-Lotki), model Zeemana pracy serca, potencjał czynnościowy w komórkach układu nerwowego. Modele dynamiczne w ekonomii – proste modele wzrostu, modele cyklu ekonomicznego.

Bruselator Jest to teoretyczny model dla autokatalitycznej reakcji z wszystkimi etapami nieodwracalnymi i takimi samymi stałymi szybkości k1=k2=k3=k4=1. Procesem sumarycznym jest: A+BD+E. Powyższy mechanizm prowadzi do następującego układu, gdy szybkość reakcji jest określona przez postacie reakcji

Wprowadzamy wygodniejsze oznaczenia: Parametry a i b są dodatnimi stałymi. Niewiadomymi są funkcje y1=y1(t), y2=y2(t). Równania opisujące Bruselator mają teraz postać: Powyższy układ równań generuje rozwiązania, których jakościowy charakter może istotnie się różnić w zależności od wzajemnej relacji parametrów a i b. W szczególności punkt stacjonarny tego układu staje się niestabilny gdy

Przykładowe dane do modelu Bruselator W obu przypadkach czas procesu tend = 120. a) b)

Metoda jawna Eulera: Metoda niejawna Eulera: Metoda Rungego-Kutty 2-go rzędu: Metoda Rungego-Kutty 4-go rzędu: gdzie:

Równania drugiego rzędu Rozważmy równanie ruchu wahadła matematycznego ((t)=kąt wychylenia): Wprowadzając w2=g/l otrzymujemy Zamieniamy na układ wprowadzając:

Równanie van der Pola Równanie to zostało pierwotnie zaproponowane do opisu pewnego układu elektronicznego składającego się z obwodu rezonansowego RLC sprzężonego indukcyjnie z cewką. Przez cewkę płynie prąd zależny do napięcia nieliniowo. Dokładniej była to zależność trzeciego stopnia: Stosując prawa Kirchoffa do tego układu i wprowadzając przeskalowane nowe zmienne otrzymujemy standardowe równanie różniczkowe zwyczajne: gdzie y=y(t) jest funkcją czasu, a stała   0 charakteryzuje wielkość tłumienia. Równoważny układ równań pierwszego rzędu to:

Równanie van der Pola =1, y1(0)=2, y2(0)=0, T=30.

Matematyczny opis modelu Fishera Niech c(x,t) oznacza gęstość osobników w punkcie x w momencie czasu t. Wtedy możemy rozważać model opisany równaniem z warunkami brzgowymi Ponadto zakładamy, że znamy początkowy rozkład populacji c0(x):

NDSolve[{równania, warunki}, {t, tmin, tmax}] Ciągłe układy dynamiczne w środowisku Mathematica W środowisku Mathematica do numerycznego rozwiązywania układów dynamicznych służy funkcja NDSolve. Podstawowa składnia ma postać: NDSolve[{równania, warunki}, {t, tmin, tmax}] Przykład 1: sol=NDSolve[{y'[t]==y[t]Cos[t+y[t]],y[0]==1}, y, {t, 0, 30}] Plot[Evaluate[y[t]/.sol], {t, 0, 30}, PlotRange->All] Przykład 2: sol=NDSolve[{x'[t] == -y[t] - x[t]^2, y'[t] == 2x[t] - y[t]^3, x[0]==y[0]==1}, {x, y}, {t, 20}] ParametricPlot[Evaluate[{x[t], y[t]} /. sol], t, 0, 20}]