Podstawowe pojęcia rachunku zdań ©M

Zdanie prawdziwe ma wartość logiczną 1. Zdanie w logice to wyrażenie, któremu jednoznacznie można przypisać jedną z dwóch ocen: zdanie jest prawdziwe lub zdanie jest fałszywe. Zdanie prawdziwe ma wartość logiczną 1. Zdanie fałszywe ma wartość logiczną 0. Zdanie w logice matematycznej oznaczamy: p, q, r.. ©M

Przykłady 6 jest liczbą parzystą tak Paryż jest piękny. nie Zdanie, wyrażenie Zdanie w sensie logiki matematycznej Wartość logiczna 6 jest liczbą parzystą tak Paryż jest piękny. nie 3 jest liczbą pierwszą 1 Grecja należy do NATO. N  C 160 jest dużą liczbą ©M

Jeżeli q oznacza zdanie : 8 jest liczbą dodatnią , to zaprzeczeniem ( negacją) jest zdanie : 8 nie jest liczbą dodatnią. Tabela wartości logicznych negacji. p p 1 ©M

Tabela wartości logicznych koniunkcji. Koniunkcją zdań nazywamy dwa zdania p, q połączone spójnikiem i. Tabela wartości logicznych koniunkcji. p q p  q 1 ©M

Przykłady Liczba 30 dzieli się przez 5 i dzieli się przez 7. Wartość logiczna 1 Wartość logiczna 0 Wartość logiczna 0 Zdaniem matematycznym, w którym szukamy prawdziwych koniunkcji, jest rozwiązywanie układów równań bądź nierówności. x  N x  6 zapis równoważny x  N  x  6 rozwiązaniem układu jest zbiór { 0,1,2,3,4,5,6} ©M

Interpretacja fizyczna Układ dwóch wyłączników połączonych szeregowo. Każdy z wyłączników może być włączony lub wyłączony. Przepływ prądu nastąpi tylko wtedy gdy oba wyłączniki są w stanie 1. Oba wyłączniki w stanie 0 Oba wyłączniki w stanie 1 ©M

Alternatywą zdań nazywamy dwa zdania p, q połączone spójnikiem lub. p Tabela wartości logicznych alternatywy. p q p  q 1 ©M

Przykłady NWD(16,8)=8  NWW(16,8)=32 Wartość logiczna 1 Wartość logiczna 0 Wartość logiczna 1 Nierówność a  b jest skróconym zapisem alternatywy a>b  a=b ©M

Interpretacja fizyczna Układ dwóch wyłączników połączonych równolegle. Przepływ prądu nastąpi tylko wtedy gdy którykolwiek z wyłączników zostanie włączony ( będzie w stanie 1). ©M

Implikacją zdań nazywamy zdanie złożone mające postać „ jeżeli p to q” gdzie p, q -zdania w sensie logiki matematycznej. Zdanie p nazywamy poprzednikiem implikacji, a zdanie q następnikiem implikacji. p q p  q 1 Tabela wartości logicznych implikacji. ©M

Przykłady 5>3  -5<-3 5>3  -5<-3 Wartość logiczna 1 Wartość logiczna 1 Wartość logiczna 1 W twierdzeniach zbudowanych w formie implikacji poprzednik nazywamy założeniem a następnik tezą twierdzenia. ©M

Równoważność zdań to zdanie złożone postaci „ p wtedy i tylko wtedy, gdy q” . Tabela wartości logicznych równoważności. p q p  q 1 p  q znaczy, że ( p  q  q  p ) ©M

Przykłady -5 < 0  |-5| = -(-5) Wartość logiczna 1 Wartość logiczna 1 Wartość logiczna 1 Równoważność zdań stosujemy do definiowania pojęć np. x A  B  x  A  x B lub w twierdzeniach matematycznych np. Liczba nN jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr liczby n jest podzielna przez 3. ©M

Prawa rachunku zdań to zdania złożone, które można zapisać za pomocą spójników: , , , ,  i których wartość logiczna jest zawsze równa 1. ©M

Prawa de Morgana (p  q )  ((p)  (q)) ( p q)  ((p)  (q)) Zaprzeczenie koniunkcji jest równoważne alternatywie zaprzeczeń. ( p q)  ((p)  (q)) Zaprzeczenie alternatywy jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń. ©M

©M