Trójkąt Pascala Własności i Ciekawostki

Trójkąt Pascala - trójkątna tablica liczb która została odkryta na przełomie XI i XII w. przez Chińczyków i bezpośrednio przez Omara Chajjama. W XVII w. matematyk francuski Blaise Pascal połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem, osiągając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwany został trójkątem Pascala.

Trójkąt

Własności Trójkąta

Przekątne

W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4, ...). W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami trójkątnymi. Stanowi wzór punktów tworzących trójkąt. Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta.

W matematyce liczba trójkątna to liczba, którą można przedstawić w postaci sumy kolejnych, początkowych liczb naturalnych: Tn = 1 + 2 + 3 + … + (n-1) + n Kolejne liczby trójkątne to: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36…

W trzecim występują liczby piramidalne, które podają liczbę kulek ułożonych w czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35..). Liczbę czworościenną można zrozumieć,  jeżeli wyobrazimy sobie stos kul w kształcie czworościanu. Policzyć trzeba, ile kul potrzeba do zbudowania stosu o danej wysokości.

n Liczba trójkątna Liczba czworokątna wysokość Ilość kul w warstwie Całkowita ilość 1 2 3 4 6 10 20 5 15 35 21 56 Każdą warstwę w czworościanie kul stanowią liczby trójkątne (1, 3, 6 itd.). Zarówno liczby trójkątne, jak i czworokątne znajdują się na trójkącie Pascala. Tabela ukazuje wartości dla początkowych warstw.

W czwartej liczbę kul w "czworościanie" w przestrzeni czterowymiarowej. Uogólniając, w n tym rzędzie bocznym znajdują się liczby n-komórkowe. Wracając do rzędu zerowego i uogólniając możemy policzyć liczbę elementów trójkącie w przestrzeni jedno- i zerowymiarowej. Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2.

Każdy element trójkąta zawiera liczbę różnych dróg, jakimi można do niego dotrzeć z wierzchołka poruszając się do sąsiednich elementów w lewo w dół oraz w prawo w dół. Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego.

Ciąg Fibonacciego Ciąg można otrzymać, idąc w górę i na bok i dodając liczby, tak jak pokazano to na ilustracji… otrzymamy ciąg Fibonacciego przez dodanie do siebie dwóch poprzednich liczb.

Kombinacje Trójkąt także pokazuje, jak wiele kombinacji obiektów jest możliwych. Przykład: Mamy 16 kul. Na ile różnych sposobów można wybrać 3 z nich (pomijając, w jakim porządku się je wybiera)? Odpowiedź: idź do rzędu 16 (górny rząd to 0), a następnie wzdłuż 3. miejsca w bok i wartość tam zamieszczona jest odpowiedzią – 560. Oto fragment rzędu 16: 1      14      91      364      ... 1      15      105     455     1365     ... 1     16     120     560     1820     4368     ...

Sebastian Firlej Mateusz Matuła ID