Wytrzymałość materiałów (WM II – wykład 8)

SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - II Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Wtorek: 14.00-15.00 (13.00-15.00) Piątek: 8.00-9.00

TEMATY WYKŁADÓW: … (zbiór dodatkowy) Powłoki - Błonowa teoria powłok osiowosymetrycznych. - Zgięciowa teoria cienkiej powłoki walcowej.   - Przykłady obliczeniowe Przykłady praktyczne W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

Próba przelotu nad kanałem La Manche POWŁOKI Jeśli płaszczyzna środkowa stanie się powierzchnią, płyta zmieni się w powłokę. Próba przelotu nad kanałem La Manche Trochę historii… 15 czerwca 1785 r. zginął w katastrofie Jean-François Pilâtre de Rozier twórca balonu (hybrydowego) na gorące powietrze i wodór Przyczyna: rozdarcie powłoki balonu ©Prof. Krzysztof J. Kaliński

POWŁOKI (23) Błonowa teoria powłok osiowosymetrycznych. Zajmiemy się powłokami osiowosymetrycznymi o (takiej) małej równomiernej grubości, że zachowują się jak błona (nie ulegają zginaniu). Obciążenie osiowosymetryczne, najczęściej ciśnienie. σ2 σ1 W dowolnym punkcie powłoki panuje płaski stan naprężenia określony dwoma naprężeniami głównymi σ1 w przekroju płaszczyzną południkową oraz σ2 w przekroju powierzchnią stożkową o tworzącej normalnej do powierzchni środkowej. Obydwa naprężenia są rozłożone równomiernie na grubości powłoki. Promienie krzywizny w rozpatrywanym punkcie powłoki, w płaszczyźnie południkowej oraz

POWŁOKI …płaszczyźnie do niej prostopadłej, wynoszą odpowiednio ρ2 i ρ1. Wyodrębnimy element powłoki o wymiarach ds1 i ds2. σ2 σ2 h ρ2 ds2/ρ2 ds2 σ1 p ds1 σ2 ρ1 ds1/ρ1 p σ1 σ1 h Pozostaje on w równowadze pod działaniem ciśnienia p oraz sił wewnętrznych związanych z naprężeniami σ1 i σ2. Suma rzutów tych sił na normalną do powłoki w rozważanym punkcie jest równa zeru:

POWŁOKI Po uwzględnieniu, że: otrzymamy równanie Laplace’a: Zawiera ono dwie niewiadome σ1 i σ2 i aby można je było wyznaczyć należy skorzystać dodatkowo z równania równowagi odciętej części powłoki. Suma rzutów sił zewnętrznych oraz sił wewnętrznych działających w ściance powłoki i związanych z naprężaniem σ2 na oś symetrii jest równa zeru: ©Prof. Krzysztof J. Kaliński

POWŁOKI gdzie: Q – ciężar odciętej części powłoki wraz z jej zawartością, np. cieczą, p – ciśnienie działające na powłokę na poziomie płaszczyzny jej odcięcia. σ2 α σ2 r p h Q Jeśli w zbiorniku znajduje się ciecz o ciężarze właściwym γ, a przecięcie powłoki nastąpiło na głębokości g, to p wynosi: gdzie p0 – ciśnienie na powierzchni swobodnej cieczy.

POWŁOKI (24) Przykład 1. W zbiorniku kulistym o średnicy D i grubości ścianki h znajduje się nieważki gaz o ciśnieniu p. Wyznaczyć naprężenia σ1 i σ2. σ2 σ1 W rozważanym przypadku , można je wyznaczyć w następujący sposób:

i równania przybierają postać: POWŁOKI (24) Przykład 2. W walczaku o średnicy D i grubości ścianki h znajduje się nieważki gaz o ciśnieniu p. Wyznaczyć naprężenia σ1 i σ2 w części walcowej. powierzchnia walcowa dennica h D p i równania przybierają postać: W rozważanym przypadku

POWŁOKI (25) Zgięciowa teoria cienkiej powłoki walcowej. W przeciwieństwie do teorii błonowej, w teorii zgięciowej uwzględnia się sztywność powłoki na zginanie. Założenia w tej teorii i tok rozwiązania są analogiczne do przyjętych w teorii zginania płyt cienkich. h a x q(x) z w q(x) Rozważmy szczególny, ale ważny i często spotykany w praktyce przypadek powłoki walcowej. Jej kształt opisuje promień powierzchni środkowej a i grubość h, natomiast osiowosymetryczne obciążenie ©Prof. Krzysztof J. Kaliński

powierzchnia ugięta powłoki funkcja q(x) (ciśnienie zewnętrzne może spowodować utratę stateczności rury). Rozwiązanie powłoki walcowej prowadzi do równania różniczkowego ze względu na funkcję w(x), która opisuje przemieszczenia promieniowe punktu powierzchni środkowej. x h a z w w(x) powierzchnia ugięta powłoki Na element wycięty dwoma odległymi o dx płaszczyznami prostopadłymi do osi powłoki oraz dwoma tworzącymi kąt płaszczyznami przechodzącymi przez tę oś działają: obciążenie q(x),

POWŁOKI (25) Siła normalna Nx i obwodowa Nt(x), siła poprzeczna Tx(x) oraz momenty gnące Mx(x), Mt(x). Analogicznie do płyty, siły wewnętrzne przypadają na jednostkę długości określonego przekroju. Rozważać będziemy równowagę układu sił zewnętrznych i wewnętrznych działających na element powłoki. Tx + dTx Mx + dMx Nx + dNx Mt q(x) Nt Mt Mx Tx Nt Nx dx dα = ds/a oś powłoki ©Prof. Krzysztof J. Kaliński

POWŁOKI Z warunku rzutów sił na oś x (czyli na kierunek tworzącej powierzchni środkowej) wynika, że dNx = 0. Oznacza to, że jeśli nie ma składowych sił zewnętrznych w kierunku x, to Nx = const i określa ją obciążenie zewnętrzne przyłożone na końcach powłoki. Suma rzutów sił na kierunek promieniowy daje zależność: a po uproszczeniu W wyprowadzeniu uwzględniono, że Natomiast z warunku równowagi momentów względem stycznej do linii środkowej, leżącej w płaszczyźnie normalnej do osi x, wynika zależność taka, jak dla belki zginanej:

POWŁOKI Traktując element wycięty dwoma płaszczyznami tworzącymi kąt dα wzdłuż całej powłoki podobnie jak wyodrębnioną z płyty o sztywności belkę, w przekroju której działa moment gnący Mx (przypadający na jednostkę szerokości belki), można sformułować następujące równanie: Po podstawieniu:

POWŁOKI Ponieważ odkształcenie obwodowe w warstwie środkowej elementu a więc korzystając z prawa Hooke’a, można określić siłę obwodową Nt: (26) Po zastosowaniu powyższych zależności otrzymuje się równanie różniczkowe ze względu na przemieszczenie promieniowe powierzchni środkowej powłoki w(x): gdzie:

POWŁOKI Rozwiązanie ogólne wspomnianego równania różniczkowego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego przy q = 0 i rozwiązania szczególnego w1 równania niejednorodnego przy q ≠ 0: gdzie: C1, C2, C3, C4 – stałe całkowania, które należy wyznaczyć z warunków brzegowych. Znając w(x), wyznaczamy siły wewnętrzne przy uwzględnieniu, że: a następnie obliczamy naprężenia.

POWŁOKI Siły normalne wywołują naprężenia normalne równomiernie rozłożone na grubości h, tak jakby powłoka była błoną: Siła poprzeczna wywołuje naprężenie styczne o rozkładzie parabolicznym na grubości h, którego wartość maksymalna dla z = 0 wynosi: Momenty gnące wywołują naprężenia normalne o liniowym rozkładzie na grubości h, których wartości maksymalne dla wynoszą: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2017-11-05 22:22:55

POWŁOKI (27) Przykład 3. W długiej rurze o promieniu a i grubości ścianki h ze sztywnym kołnierzem panuje stałe ciśnienie –q (znak wynika ze zwrotu obciążenia w stosunku do zwrotu osi z). Narysować wykresy w(x) i Mx(x) oraz obliczyć maksymalną wartość momentu Mx max i wywołanego nim naprężenia (σx)g max. x -q a Rozwiązanie. Można wykazać, że rozwiązanie szczególne równania różniczkowego (dla q = const.) ma postać: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2017-11-05 22:22:55

POWŁOKI Wówczas rozwiązanie ogólne: Przy rosnącym x wartość w(x) powinna zmierzać do wartości stałej wynikającej z błonowej teorii powłok, a tymczasem pierwszy składnik rośnie nieograniczenie. Zatem C1 = C2 = 0. Dla x = 0, w = 0 i co umożliwia wyliczenie C3 i C4: Rozwiązanie uzyskuje ostatecznie postać: a moment gnący wynosi: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2017-11-05 22:22:55

POWŁOKI Mx(x) szybko zanika ze wzrostem x, wpływ zginania ma lokalny charakter. w(x) wg teorii błonowej x a Mx(x) x z w Wartości maksymalne Mx max i (σx)g max występują dla x = 0 i wynoszą: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2017-11-05 22:22:55

Dziękuję za uwagę !!! © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2017-11-05 22:22:55