Ekonometria WYKŁAD 7 Piotr Ciżkowicz Katedra Międzynarodowych Studiów Porównawczych

Plan Czym się zajmiemy: 1.Procesy stochastyczne 2.Stacjonarność procesu 3.Testowanie stacjonarności 4.Modele z rozkładem opóźnień

Podstawowe definicje ►Proces stochastyczny: zbiór zmiennych losowych {Y(t)} uporządkowany według indeksu czasu t ►Szereg czasowy {y(t)} to realizacja procesu stochastycznego {Y(t)} w próbie ►Przykład 1: ►proces stochastyczny może opisywać statystyczny rozkład prędkości kulki toczącej się po pochylni w czasie ►szereg czasowy będący realizacją takiego procesu składa się z pomiaru prędkości kulki dla jednej próby puszczenia jej po pochylni ►Przykład 2: ►szereg czasowy dynamiki PKB w Polsce w latach ►proces stochastyczny - ?

Przykłady procesów stochastycznych (1) ►Gaussowski biały szum

Przykłady procesów stochastycznych (2) ►Proces błądzenia losowego:

Przykłady procesów stochastycznych (3) ►Proces autoregresyjny: ►I rzędu (AR(1)): ►rzędu p (AR(p)):

Przykłady procesów stochastycznych (4) ►Proces średniej ruchomej: ►I rzędu (MA(1)): ►rzędu q (MA(q)):

Przykłady procesów stochastycznych (5) ►Autoregresyjny proces średniej ruchomej: ►I rzędu (ARMA(1,1)): ►rzędu p,q (ARMA(p,q)):

Stacjonarność procesu stochastycznego (1) ►Proces stochastyczny jest ściśle stacjonarny jeśli jego wszystkie charakterystyki nie zmieniają się w czasie ►W ekonomii większość analizowanych szeregów ma charakter niestacjonarny (np. poziom PKB, poziom cen, wielkość długu publicznego itp.) ►Modelowanie ekonometryczne na podstawie szeregów niestacjonarnych prowadzi do zjawiska regresji pozornej (omówione dalej) ►Proces stochastyczny jest słabo stacjonarny jeśli wartość oczekiwana, wariancja i kowariancja są stałe w czasie tzn.

Stacjonarność procesu stochastycznego (2) ►Przykład: stacjonarność procesu błądzenia losowego ►Dla y(0)=0, wartość oczekiwana i wariancja procesu to: ►Proces błądzenia losowego można zapisać jako: …

Stacjonarność procesu stochastycznego (3) ►Proces błądzenia losowego jest szczególnym przypadkiem procesu AR(1) postaci, który jest stacjonarny gdy zachodzi ►Jeśli warunek ten jest spełniony to proces jest stacjonarny, gdyż wpływ zaburzenia losowego wygasa w czasie tzn. ►Proces AR(1) można przedstawić jako: … ►To oznacza, że

Stacjonarność procesu stochastycznego (4) ►Proces błądzenia losowego jest procesem niestacjonarnym, lecz jego przyrosty są stacjonarne. ►Jeśli z każdej strony równania błądzenia losowego odejmiemy y(t-1), to otrzymamy: co można zapisać jako: ►Jeśli proces jest niestacjonarny, ale jego pierwsze przyrosty, czyli różnice między kolejnymi obserwacjami szeregu są stacjonarne, to jest to szereg zintegrowany w stopniu 1 i zapisujemy

Stacjonarność procesu stochastycznego (5) ►Ogólniej: jeśli d-krotne różnicowanie sprowadza proces do stacjonarności, to proces jest zintegrowany stopnia d co zapisujemy jako ►Przykład: szereg postaci jest zintegrowany stopnia 2, bo ►Proces, który różnicowaniem można doprowadzić do stacjonarności nazywamy przyrostostacjonarnym i mówimy, że wykazuje trend stochastyczny ►Trend może mieć też charakter trendu deterministycnzego, jeśli szereg jest trendostacjonarny np.

Stacjonarność procesu stochastycznego (6) ►Odróżnienie rodzaju trendu jest trudne, zaś w zależności od jego rodzaju stosujemy inne metody usunięcia trendu

Testowanie stacjonarności (1) ►Testowanie na podstawie funkcji autokorelacji (ACF – autocorrelation function) procesu postaci: ►Dla białego szumu wartości ACF są równe 0 dla każdego k, zaś dla procesu błądzenia losowego są równe 1 ►Dla procesu AR(1) można pokazać, że ►Dla szeregu czasowego będącego realizacją procesu funkcja przyjmuje postać: ►Jeśli wartości ACF zaczynają się od ok. 1 i zbiegają powoli do zera, to można podejrzewać niestacjonarność procesu

►Współczynniki autokorelacji weryfikuje się testem Bartletta: przy procesie białego szumu ich wartości mają rozkład normlany z wartością oczekiwaną 0 i odch. stand. (1/t)^0.5 Testowanie stacjonarności (2)

►Funkcja ACF – pierwsze przybliżenie, ale nie formalny test stacjonarności ►Najczęściej stosowany test stacjonarności to test Dickeya -Fullera ►Podstawa testowania te proces AR(1) Testowanie stacjonarności (3) ►Jeśli to proces jest stacjonarny ►Przetestowanie hipotezy testem t-Studenta nie jest możliwe, bo dla procesu niestacjonarnego statystyka t-Studenta nie ma rozkładu t-Studenta ►Testowaniu podlega przekształcona postać procesu tzn. ►Hipotezy to

►Hipotezę zerową weryfikuje się statystyką DF postaci porównując ją ze statystyką odczytaną z tablic Testowanie stacjonarności (4) ►Procedura testowa testu DF: ►Oszacowanie modelu ►Wyznaczenie DF i sprawdzenie z wartością z tablic. Jeśli wyznaczona statystyka DF jest mniejsza od statysstyki z tablic (tzn. bardziej ujemna) to odrzucamy H0 i proces jest stacjonarny ►Jeśli jest większa (tzn. mniej ujemna) to nie odrzucamy H0. Oznacza to, że proces może być I(1), ale również I(2) lub I(3). ►Powtarzamy procedurę dla ►Uwaga! Statystyka DF, pomimo postaci statystyki t-Studenta nie ma rozkładu t-Studenta, jeśli nie odrzucamy hipotezy zerowej ►Jeśli odrzucimy H0, to proces jest I(1), jeśli nie, to proces jest I(2) lub zintegrowany wyższych rzędów ►W praktyce nie występują procesu wyższych rzędów niż I(2) więc wskazuje to raczej na słabość testu.

Testowanie stacjonarności (5) ►Inne postacie testu DF: ►Test ADF (Augmented Dickey Fuller) – pozwala uwzględnić potencjalną autokorelację składnika losowego. Równanie testowe ma postać (k to najmniejsza opóźnienie, przy którym składnik losowy nie wykazuje autokorelacji) ►Test DF uwzględniający stałą i/lub trend deterministyczny postaci lub ►W praktyce dobór postaci testu nie jest łatwy. Zazwyczaj test DF uzupełnia się też stosowanie innych testów, z hipotezą zerową mówiącą o stacjonarności szeregu (np. test KPSS).

Modele z rozkładem opóźnień (1) ►Zależność między zmiennymi makroekonomicznymi często rozciąga się w czasie na więcej niż 1 okres ►W najprostszym przypadku zmienna objaśniana może być funkcją wartości bieżących i skończonej liczby opóźnień zmiennej objaśniającej. Taki model nazywa się modelem ze skońconym rozkładem opóźnień rzędu P (zapisujemy jako DL(P) ►Współczynnik określa bezpośredni (natychmiastowy) wpływ zmian bieżących wartości x na bieżące wartości y, stąd nazywany jest mnożnikiem bezpośrednim lub krótkookresowym ►Zmiana x w okresie t wpływa również na wartość y w okresie t+1, t+2 … t+p z siłą równą odpowiednim wspołczynnikom. Łączny wpływ jednostkowej zmiany x na y to mnożnik długookresowy i wynosi

Modele z rozkładem opóźnień (2) ►W bardziej złożonym przypadku zmienna objaśniająca jest dodatkowo funkcją własnych opóźnionych wartości. ►Taki model to model autoregresyjny z rozkładem opóźnień (Autregressive Distribted Lag – ADL) – ADL(Q,P) - postaci ►Mnożnik długookresowy wyznacza się zakładając, że obie zmienne przyjmują swoją długookresową wartość. Dla zmiennych stacjonarnych są one równe wartościom oczekiwanym stąd zakładając mamy:

Dziękuję za uwagę