Trochę matematyki - dywergencja Dane jest pole wektora. Otoczymy dowolny punkt P zamkniętą powierzchnią A. P w objętości otoczonej powierzchnią A pole ani nie powstaje ani nie znika w objętości otoczonej powierzchnią A pole rośnie albo maleje

Stosunek strumienia do objętości, z której strumień wypływa jest średnią mocą właściwą źródeł zawartych w objętości V. W granicy V 0 P. moc właściwa źródeł w punkcie P dywergencja (rozbieżność) wektora

Dla dowolnego wektora V 0 można założyć, że w tej objętości iloczyn skalarny operatora i wektora

W układzie współrzędnych kartezjańskich Można wykazać, że twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego

Prawo Gaussa Strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy całkowitemu ładunkowi zamkniętemu w tej powierzchni

funkcje podcałkowe muszą być równe

Prawo Gaussa w postaci całkowejróżniczkowej

Właściwości powierzchni Gaussa: jest to powierzchnia hipotetyczna – matematyczna konstrukcja myślowa, jest dowolną powierzchnią zamkniętą – w praktyce powinna mieć kształt związany z symetrią pola, powierzchnia Gaussa przechodzi przez punkt, w którym obliczamy natężenie pola. Prawo Gaussa stosujemy do obliczenia natężenia pola elektrycznego – gdy znamy rozkład ładunku, do znajdowania ładunku – gdy znamy pole. Prawo Gaussa można stosować zawsze, ale sens ma wtedy, gdy pole elektryczne wykazuje symetrię. Aby skutecznie skorzystać z prawa Gaussa trzeba coś wiedzieć o polu elektrycznym na wybranej powierzchni.

Otaczamy ładunek powierzchnią Gaussa (hipotetyczną) – sfera. Wektor natężenia pola jest prostopadły do tej powierzchni i równoległy do wektora. Wartość wektora na powierzchni Gaussa jest stała. Wyznaczyć natężenie pola ładunku punktowego korzystając z prawa Gaussa.

Wyznaczyć natężenie pola objętościowo naładowanej kuli w funkcji odległości od jej środka korzystając z prawa Gaussa. Promień kuli jest równy R, gęstość ładunku . R r Powierzchnia Gaussa r < R Ładunek zawarty wewnątrz powierzchni Gaussa

R Powierzchnia Gaussa r > R r Ładunek zawarty wewnątrz powierzchni Gaussa

Dla r = R

Natężenie pola pochodzącego od nieskończenie długiej nitki, naładowanej ładunkiem o gęstości liniowej +

++ dS

Natężenie pola pochodzącego od ciągłego, niejednorodnego rozkładu ładunku Gęstość objętościowa ładunku zależy od współrzędnych  =  (x,y,z). Wyznaczamy natężenie pola w punkcie 1 W elemencie objętości dV znajdującym się w punkcie 2(x 2,y 2,z 2 ) znajduje się dq 2 ilość ładunku równa 1(x 1,y 1,z 1 ) 2(x 2,y 2,z 2 ) dV 2

Potencjał elektryczny Ile pracy trzeba wykonać aby przenieść ładunek q w polu elektrostatycznym pomiędzy punktami a i b? a b q praca jest wykonywana przeciw siłom elektrycznym Praca wykonana przy przeniesieniu jednostkowego ładunku

Przesuwamy ładunek próbny w polu ładunku punktowego +q po drodze aa’b. Na odcinku aa’ praca W=0 – pole radialne, W=F  s  cos90 º = 0. Na odcinku a’b pole ma kierunek ruchu a b a’ +q

Praca nie zależy od drogi (można ten wynik uogólnić na dowolny kształt drogi)- pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym a b a’ +q a’’’ a’’

Potencjał elektrostatyczny w dowolnym punkcie pola jest wyznaczony z dokładnością do stałej, równej wartości potencjału w innym punkcie pola. Jeśli jako odniesienie przyjmiemy punkt leżący w nieskończoności wówczas a b q Praca wykonana przy przeniesieniu ładunku q pomiędzy punktami a i b jest równa:

Potencjał pola w punkcie określonym wektorem względem punktu znajdującego się w nieskończoności Funkcję  nazywamy potencjałem związanym z polem wektorowym. Jest to funkcja skalarna zależna od położenia punktu – pole skalarne. Zadając pole wektorowe możemy wyznaczyć potencjał z dokładnością do stałej.

W przypadku pola wytworzonego przez ładunek punktowy W przypadku pola wytworzonego przez układ ładunków punktowych

1(x 1,y 1,z 1 ) 2(x 2,y 2,z 2 ) dV 2 Potencjał pola pochodzącego od ciągłego rozkładu ładunku Sens fizyczny potencjału: Energia potencjalna jaką miałby ładunek jednostkowy wprowadzony do określonego punktu w przestrzeni z jakiegoś punktu odniesienia

Powierzchnia ekwipotencjalna powierzchnia jednakowego potencjału zbiór wszystkich punktów, w których potencjał pola elektrostatycznego ma taką samą wartość. Powierzchnie ekwipotencjalne są powierzchniami prostopadłymi w każdym punkcie do linii sił pola. Powierzchnie ekwipotencjalne są sferami o środkach znajdujących się w punkcie, w którym znajduje się ładunek. dla ładunków punktowych

Linie pola elektrycznego i powierzchnie ekwipotencjalne układu ładunków punktowych. Im większe zagęszczenie linii sił, tym natężenie pola elektrostatycznego jest większe.