czyli geometria (i nie tylko) w sztuce. Fraktale w Logo Komeniuszu Piękna Matematyka, czyli geometria (i nie tylko) w sztuce. Fraktale w Logo Komeniuszu Kliknij, aby kontynuować   Gimnazjum nr 1

Wstęp Przykładem zastosowań rekurencji w Logo Komeniusz jest tworzenie fraktali. Fraktalami nazywamy figury, które charakteryzują sie tym, że ich części są podobne do całości. Mówimy o nich, że są figurami samopodobnymi. Fraktale wzbudzają duże zainteresowanie, ponieważ wiele obiektów w przyrodzie ma kształt fraktalny. To właśnie o nich będzie niniejsza prezentacja. Kontynuuj

Zobacz wstęp do prezentacji Spis treści Kliknij na interesującą Cię kategorię. Płatki Kocha Drzewo Pitagorasa Trójkąt Sierpińskiego Zobacz wstęp do prezentacji Bibliografia Wyjście

Płatek kocha Procedura w programie Logo Komeniusz. Kliknij na interesującą Cię kategorię. Czym jest płatek kocha? Konstrukcja płatka kocha. Procedura w programie Logo Komeniusz. Wróć do Spisu Treści

obrazek: Płatek Kocha Czym jest Płatek Kocha? Płatek Kocha, zwany również śnieżynką Kocha, jest krzywą matematyczną i fraktalem (obiektem „samo-podobnym”), opracowanym po raz pierwszy w roku 1904 przez szwedzkiego matematyka Helge von Kocha. powiększ zamknij

Konstrukcja płatka Kocha – krok 1 obrazek: krok pierwszy Konstrukcja płatka Kocha – krok 1 Rysujemy trójkąt równoboczny o określonej długości boku, np. 200. powiększ zamknij Następny Krok

Konstrukcja płatka Kocha – krok 2 obrazek: krok pierwszy Konstrukcja płatka Kocha – krok 2 Każdy bok trójkąta dzielimy na trzy równe części i „doklejamy” do części środkowej, tak jak na rysunku, trójkąt równoboczny o boku trzy razy krótszym. Z trójkąta powstała 12 boczna figura. powiększ zamknij Następny Krok

Konstrukcja płatka Kocha – krok 3 obrazek: krok trzeci A obrazek: krok trzeci B Konstrukcja płatka Kocha – krok 3 Każdy bok gwiazdy dzielimy znowu na trzy równe części i do części środkowej doklejamy trójkąt równoboczny o boku trzy razy krótszym niż poprzednio i postępujemy analogicznie, Teraz gwiazdka ma już 192 boki. powiększ powiększ zamknij zamknij Następny Krok

Konstrukcja płatka Kocha – kolejne kroki obrazek: kroki kolejne Konstrukcja płatka Kocha – kolejne kroki W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. W końcu powstanie nam coś takiego. powiększ zamknij

Procedura w Logo oto koch :n :rozmiar powtórz 3 [bok :n :rozmiar pw 120] już oto bok :n :rozmiar jeśli :n=0 [np :rozmiar stop] bok :n-1 :rozmiar/3 lw 60 bok :n-1 :rozmiar/3 pw 120 bok :n-1 :rozmiar/3 Parametr n określa stopień fraktala. Parametr rozmiar określa jego wielkość. Kontynuuj

Procedurę koch wywołujemy: Kontynuuj

koch 3 200 koch 5 200

Drzewo pitagorejskie Procedura w programie Logo Komeniusz. Kliknij na interesującą Cię kategorię. Proces powstawania. Modyfikowanie tego fraktala. Procedura w programie Logo Komeniusz. Wróć do Spisu Treści

Proces powstawania.

Modyfikacja tego fraktala. obrazek: modyfikacja Modyfikacja tego fraktala. Stosując powyższe zasady możemy modyfikować sposób powstawania fraktali tego typu, używając trójkątów równoramiennych lub modyfikując w inny dowolny sposób. Poniższy rysunek przedstawia efekty takich modyfikacji. powiększ zamknij

Procedura w Logo oto drzewo :n :bok :kąt jeśli :n=0 [np :bok pw 90 np :bok pw 90 np :bok stop] np :bok lw :kąt drzewo :n-1 :bok*cos :kąt :kąt lw 90 drzewo :n-1 :bok*sin :kąt :kąt lw 90-:kąt np :bok już Parametr n określa stopień fraktala, bok określa wielkość drzewa, kąt określa kąt nachylenia gałęzi drzewa. Kontynuuj

Procedurę drzewo wywołujemy: Kontynuuj

drzewo 8 50 30 drzewo 10 50 45

Trójkąt sierpińskiego Kliknij na interesującą Cię kategorię. Co to jest? Proces powstawania Procedura w programie Logo Komeniusz. Wróć do Spisu Treści

Trójkąt Sierpińskiego Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) jest jednym z najprostszych fraktali, znanym na długo przed powstaniem tego pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915.

Proces Powstawania O tym fraktalu mówi się, że jest klasyczny, jego nazwa pochodzi od nazwiska polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego (1882-1969). Trójkąt Sierpińskiego tworzy się niezwykle łatwo, gdyż jest jednym z prostszych fraktali. Podstawą geometryczną jego konstrukcji jest wypełniony trójkąt na płaszczyźnie (ważne, aby był wypełniony - tutaj kolorem czarnym). Kontynuuj

Dokonując wielokrotnego usuwania części trójkąta, wybiera się środek każdego z boków. Wybrane punkty razem z wierzchołkami trójkąta początkowego wyznaczą cztery mniejsze trójkąty, z których należy usunąć trójkąt położony w środku. Krok ten jest podstawą tworzenia trójkąta Sierpińskiego. Po przejściu tego etapu pojawiają się trzy przystające trójkąty. Każdy z boków trójkątów, które powstały, jest równy połowie początkowej długości boku i łączy się z pozostałymi trójkątami dwoma wierzchołkami. Kontynuuj

W otrzymanych trójkątach, należy powtórzyć powyższą operację W otrzymanych trójkątach, należy powtórzyć powyższą operację. Po tej operacji otrzymuje się 9 trójkątów. Kontynuuj

W wyniku powtarzania iteracji otrzymuje się 3, 9, 27, 81, 243, … trójkąty. Każdy z nich jest dokładną wersją trójkątów z poprzednich kroków. Poniżej pokazano trójkąt Sierpińskiego po piątym kroku konstrukcji. Posiada on już 243 trójkąty.

Procedura w logo Komeniuszu oto dywan :bok :n pw 30 dywanik :bok :n lw 90 już oto dywanik :bok :n jeśli :n=0 [powtórz 3 [np :bok pw 120] stop] powtórz 3 [dywanik :bok/2 :n-1 np :bok pw 120] Parametr n określa stopień fraktala, bok określa wielkość dywanu.

Procedurę wywołujemy: dywan 200 0 dywan 200 1 Kontynuuj

dywan 200 2 dywan 200 4

mgr Jolanty Cyboń - Turowskiej Przygotował: Mateusz Martyka pod kierunkiem mgr Jolanty Cyboń - Turowskiej Czy na pewno chcesz wyjść? TAK NIE Gimnazjum nr 1