STATYSTYKA – kurs podstawowy wykład 13 dr Dorota Węziak-Białowolska Instytut Statystyki i Demografii

Analiza dynamiki = analiza zmienności zjawisk w czasie Czas jest dodatkowym wymiarem analizy Analizujemy zmienność cechy w czasie Podstawową analizowaną informacją jest para liczb (t, y t ) t – symbolizuje czas rozumiany w sposób skokowy np. konkretne dni, konkretne godziny, konkretne lata itd. y t – poziom badanego zjawiska w momencie t Dla kolejnych momentów t taka para nosi nazwę szeregu czasowego t (kwartały)1 kw kw kw kw kw kw kw kw kw kw kw kw 2007 y t (liczba rozwodów)

Analiza dynamiki = analiza zmienności zjawisk w czasie Odpowiedzi na pytania: 1.Jak zmienia się obserwowane zjawisko w czasie 2.Dlaczego zjawisko zmienia się w określony sposób Analiza przyczyn składających się na dynamikę zjawiska Analiza indeksowa

ANALIZA PRZYCZYN SKŁADAJĄCYCH SIĘ NA DYNAMIKĘ ZJAWISKA

PRZYKŁAD SZEREGU CZASOWEGO Dane na temat sprzedaży wody mineralnej (w mln litrów) w kolejnych kwartałach lat podane są w tabeli.

t (kwartały) y t (liczba rozwodów)

DLACZEGO ZJAWISKO ZMIENIA SIĘ W CZASIE? Na zmianę poziomu zjawiska w czasie wpływają trzy grupy przyczyn: 1.przyczyny główne – działają stale z niezmiennym nasileniem, wytyczają ogólny kierunek zmian (czyli trend lub tendencję rozwojową) 2.przyczyny sezonowe (okresowe) – działają regularnie, ale w krótkich cyklach; związane są ze specyfiką badanego zjawiska, powodują powstanie wahań sezonowych 3.przyczyny przypadkowe – działają nieregularnie, są nieprzewidywalne zarówno co do kierunku, jak i siły; wyrażają działanie czynników o charakterze losowym i powodują powstanie wahań przypadkowych.

TREND – spowodowany przez przyczyny główne, np. promocję picia wody mineralnej ODCHYLENIA OD TRENDU = WAHANIA SEZONOWE – spowodowane przez przyczyny sezonowe, np. pory roku PRZYKŁAD SZEREGU CZASOWEGO Dane na temat sprzedaży wody mineralnej (w mln litrów) w kolejnych kwartałach lat podane są w tabeli.

przyczyny sezonowe (okresowe) – działają regularnie, ale w krótkich cyklach; związane są ze specyfiką badanego zjawiska, powodują powstanie wahań sezonowych dwóch typów: 1)wahania multiplikatywne 2)wahania addytywne

Przyczyny sezonowe (okresowe) 1)wahania multiplikatywne: -mają zmienną amplitudę, -ich siła oddziaływania zależy od rozwoju zjawiska w czasie -wyrażane są w ujęciu względnym/relatywnym/w wartościach procentowych, -nakładają się na trend multiplikatywnie, czyli wartość trendu jest pomniejszana lub powiększana proporcjonalnie = mnożona przez odpowiednią miarę sezonowości;

Przyczyny sezonowe (okresowe) 2)wahania addytywne: -mają stałą amplitudę wahań, -nie zależą od poziomu zjawiska w czasie -wyrażane są w ujęciu absolutnym/w jednostkach, w których mierzona jest cecha y, -mogą przyjmować wartości dodatnie i ujemne, -nakładają się na trend addytywnie, czyli wartość trendu jest pomniejszana lub powiększana o stałe wartości = dodawanie odpowiedniej miary sezonowości;

Analiza szeregu czasowego (dekompozycja szeregu czasowego) polega na: 1)wyodrębnieniu trendu – ilustrującego działanie przyczyn głównych; 2)wyodrębnieniu wahań sezonowych – ilustrujących działanie przyczyn sezonowych; polega na wyznaczeniu wskaźników sezonowości zwanych również wskaźnikami okresowości lub wskaźnikami wahań sezonowych (S i lub O i ); 3)wyodrębnieniu wahań przypadkowych - ilustrujących działanie przyczyn przypadkowych; efekt ich oddziaływania wyraża się za pomocą odchylenia standardowego reszt;

WYODRĘBNIANIE TRENDU

Metody wyodrębniania trendu – metoda analityczna - wyznaczenie funkcji trendu – mechaniczna – wygładzenie/wyrównanie szeregu poprzez oczyszczenie go z wszelkich wahań za pomocą średnich ruchomych – średnie ruchome zwykłe dla nieparzystej liczby obserwacji w cyklu, – średnie ruchome scentrowane dla parzystej liczby obserwacji w cyklu.

Metoda mechaniczna wyodrębniania trendu – średnie ruchome zwykłe dla nieparzystej liczby obserwacji w cyklu – średnie ruchome scentrowane dla parzystej liczby obserwacji w cyklu Liczba obserwacji, które należy uwzględnić w rachunku średnich, zależy od tego, co ile obserwacji obserwuje się powtarzanie się lokalnych wzrostów i spadków poziomu badanego zjawiska.

PRZYKŁAD Dane na temat sprzedaży wody mineralnej (w mln litrów) w kolejnych kwartałach lat podane są w tabeli. Wyodrębnij trend.

PRZYKŁAD Dane na temat sprzedaży wody mineralnej (w mln litrów) w kolejnych kwartałach lat podane są w tabeli. Wyodrębnij trend.

WYODRĘBNIANIE WAHAŃ SEZONOWYCH

Przykład kwartalnych wahań multiplikatywnych Przykład kwartalnych wahań addytywnych

WAHANIA MULTIPLIKATYWNEWAHANIA ADDYTYWNE 1. wyodrębniamy trend metodą mechaniczną (średnimi ruchomymi) 2. wyznaczamy indywidualne wskaźniki sezonowości postaci: gdzie: - y t - empiryczna wartość zmiennej y w okresie t, - wartość zmiennej y wynikająca z trendu w okresie t 3. obliczamy surowe wskaźniki sezonowości: dla i = 1,…,d gdzie: d – liczba podokresów w cyklu, np. 4 dla kwartałów w roku, 7 dla liczby dni w tygodniu, n i – liczba obserwacji dla wyróżnionych podokresów 4. Oczyszczamy/korygujemy wskaźniki surowe: a) obliczamy współczynnik korekty wg formuły: b) obliczamy oczyszczone wskaźniki sezonowości wg formuły:

WAHANIA MULTIPLIKATYWNEWAHANIA ADDYTYWNE Przykład wskaźników sezonowości przy występowaniu kwartalnych wahań multiplikatywnych Przykład wskaźników sezonowości przy występowaniu kwartalnych wahań addytywnych O 1 = 0,4 O 2 = 0,8 O 3 = 1,2 O 4 = 1,6 Suma: 4 S 1 = 40 S 2 = - 90 S 3 = 180 S 4 = Suma : 0 Interpretacja O 1 = 0,4: W każdych I kwartałach na skutek działania przyczyn sezonowych poziom badanego zjawiska jest o średnio 60% niższy [(0,4-1)*100%] od poziomu tego zjawiska wynikającego tylko i wyłącznie z trendu Interpretacja S 1 = 40: W każdych I kwartałach na skutek działania przyczyn sezonowych poziom badanego zjawiska jest o średnio 40 jednostek wyższy od poziomu tego zjawiska wynikającego tylko i wyłącznie z trendu

Przykład wskaźników sezonowości przy występowaniu kwartalnych wahań multiplikatywnych Przykład wskaźników sezonowości przy występowaniu kwartalnych wahań addytywnych O 1 = 0,4 O 2 = 0,8 O 3 = 1,2 O 4 = 1,6 Suma: 4 S 1 = 40 S 2 = - 90 S 3 = 180 S 4 = Suma : 0 Interpretacja O 3 = 1,2: W każdych III kwartałach na skutek działania przyczyn sezonowych poziom badanego zjawiska jest o średnio 20% wyższy [(1,2-1,0)*100%] od poziomu tego zjawiska wynikającego tylko i wyłącznie z trendu Interpretacja S 3 = 180: W każdych III kwartałach na skutek działania przyczyn sezonowych poziom badanego zjawiska jest o średnio 180 jednostek wyższy od poziomu tego zjawiska wynikającego tylko i wyłącznie z trendu

Wahania addytywne 1.Indywidualne wskaźniki sezonowości A powinno być tak: Przykład cd. Wyznaczanie wahań sezonowych

Wahania addytywne Oczyszczamy/korygujemy wskaźniki surowe:

OCZYSZCZANIE SZEREGU CZASOWEGO Z WAHAŃ SEZONOWYCH

Usuwanie wahań sezonowych WAHANIA MULTIPLIKATYWNEWAHANIA ADDYTYWNE gdzie: - wartość cechy y w momencie t będącym i-tym podokresem cyklu,

PRZYKŁAD cd Oczyszczanie szeregu z addytywnych wahań sezonowych

PROGNOZOWANIE W SZEREGU CZASOWYM Z WAHANIAMI SEZONOWYMI

WAHANIA MULTIPLIKATYWNEWAHANIA ADDYTYWNE gdzie: - wartość prognozowanej cechy y w momencie T będącym i-tym podokresem cyklu, - wartość prognozowanej cechy y w momencie T wynikająca TYLKO z trendu, czyli wartość odpowiedniej średniej ruchomej S(e) – miara wahań przypadkowych, S i, O i – miary odpowiednich wskaźników sezonowości. PROGNOZOWANIE W SZEREGU Z WAHANIAMI SEZONOWYMI

Przykład cd Na podstawie danych na temat sprzedaży wody mineralnej (w mln litrów) w kolejnych kwartałach lat sporządzono prognozę wielkości sprzedaży na III kw 2011 r. Prognozuje się, że w III kw 2011 poziom sprzedaży wynikający tylko z trendu wyniesie 540 (mln litrów). Oszacować przewidywaną wielkość sprzedaży wód mineralnych w III kwartale 2011 r.

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ