Ekonometria stosowana Heteroskedastyczność składnika losowego Piotr Ciżkowicz Katedra Międzynarodowych Studiów Porównawczych
Heteroskedastyczność składnika losowego ►Heteroskedastyczność jest naruszeniem kolejnego założenia MNK tzn. stałości wariancji składnika losowego między okresami (w przypadku szeregu czasowego) lub jednostkami (w przypadku danych przekrojowych) ►Oznacza to, że macierz wariancji i kowariancji składnika losowego może mieć postać np. jeśli wariancja przyjmuje dwie różne wartości dla dwóch podprób
Standardowa postać wykresu reszt z heteroskedastycznością
Konsekwencje heteroskedastyczności składnika losowego ►Podobnie jak w przypadku autokorelacji tzn. ► estymator MNK pozostaje estymatorem nieobciążonym, bo nadal zachodzi… ►estymator MNK przestaje być najefektywniejszy ►estymator wariancji składnika losowego jest obciążony, co oznacza, że (zwykle) niedoszacowane są średnie błędy estymatorów parametrów (przeszacowane statystyki t ) oraz przeszacowany jest współczynnik determinacji
Testowanie heteroskedastyczności – test White’a ►Procedura testowa: ►Krok 1: estymujemy model MNK ►Krok 2: estymujemy model pomocniczy postaci (dla dwóch zmiennych objaśniających): ►Testowany jest następujący zestaw hipotez: ►Krok 3: testujemy zestaw hipotez ►Przy prawdziwości hipotezy zerowej (homoskedastyczność) statystyk testowa postaci T*R^2 ma rozkład Chi-kwadrat z liczbą stopni swobody równą liczbie restrykcji w hipotezie
Estymacja MNK w przypadku heteroskedastyczności ►Postać ogólna macierzy kowariancji estymatora ►Postać ogólna macierzy kowariancji estymatora: ►Postać macierzy kowariancji dla estymatora FGLS (feasible generalized least squares) lub EGLS (od estimated):
Estymacja MNK w przypadku heteroskedastyczności ►W praktyce nie znamy macierzy transformacji, ale niekiedy możemy zakładać jej postać np.: ►Estymator UMNK otrzymujemy dokonując regresji MNK na przetransformowanym modelu postaci:
Estymacja MNK w przypadku heteroskedastyczności ►Otrzymany w efekcie estymator nosi nazwę ważonego estymatora MNK i przybiera postać ►W efekcie obserwacje z większą wariancją otrzymują mniejszą wagę tzn. większe „znaczenie” jest przypisywane tym obserwacjom, które dostarczają bardziej precyzyjnej informacji o parametrach modelu ►Macierz kowariancji estymatora jest dana wzorem
Estymacja MNK w przypadku heteroskedastyczności ►W praktyce nie znamy jednak wartości h(i), stąd zazwyczaj stosuje się dwa podejścia: ►estymacja MNK na przeskalowanych zmiennych ►estymacja h(i) jako funkcji zmiennych objaśniających ►W drugim przypadku stosuje się często podejście bazujące na założeniu, że heteroskedastyczność jest multiplikatywna tzn. gdzie z jest wektorem zmiennych obserwowalnych, zazwyczaj podzbiorem zmiennych objaśniających wyjściowego modelu.
Estymacja MNK w przypadku heteroskedastyczności ►Estymacja EGLS w przypadku tak zdefiniowanej heteroskedastyczności wygląda następująco: ►estymujemy podstawowy model metodą MNK ►obliczamy logarytmy kwadratów reszt z tego modelu ►estymujemy wartości parametrów stojących przy wektorze zmiennych z na podstawie regresji: ►obliczamy i dokonujemy transformacji obserwacji wyjściowych tzn.: ►przeprowadzamy regresję na tak zdefiniowanych zmiennych korzystając z MNK, gdzie postać estymatora to:
Estymacja MNK w przypadku heteroskedastyczności ►W tak otrzymanym modelu zgodnym estymatorem wariancji składnika losowego jest ►Zaś zgodnym estymatorem macierzy kowariancji parametrów strukturalnych jest
Heteroscedasticity- consistent standard errors (błędy White’a lub błędy HA) ►Na podstawie macierz kowariancji można zapisać też jako: ►White (1980) pokazał, że do estymacji tej macierzy potrzebny jest jedynie zgodny estymator macierzy
Heteroscedasticity- consistent standard errors (błędy White’a lub błędy HA) ►Przy dość ogólnych założeniach zgodnym estymatorem powyższej macierzy jest co pozwala na estymację „prawdziwej” macierzy kowariancji estymatora OLS ►Na tej postawie można wyznaczyć zgodne błędy szacunku
Heteroscedasticity-and-autocorellation- consistent standard errors (błędy HAC lub błędy Neweya-Westa) ►Podejście HA jest szczególnym przypadkiem estymacji błędów HAC postaci: gdzie ►Dla w(j)=0 otrzymujemy błędy HA. Przy autokorelacji najczęściej stosuje się wago Bartletta postaci ►Intuicyjnie oddają one fakt, że zazwyczaj autokorelacja maleje wraz z rzędem opóźnienia j.