Niech f(x,y,z) będzie ciągłą, różniczkowalną funkcją współrzędnych. Wektor zdefiniowany jako nazywamy gradientem funkcji f. Wektor charakteryzuje zmienność funkcji w otoczeniu punktu. Gradient funkcji skalarnej

Funkcję dwu zmiennych (x,y) można przedstawić w postaci powierzchni Gradient jest wektorową funkcją

Przyrost funkcji f związany z przejściem między dwoma punktami wynosi: Pomiędzy potencjałem i natężeniem pola elektrostatycznego istnieje podobny związek:

Z definicji potencjału przyrost potencjału możemy zapisać w postaci Ponieważ to otrzymamy równość Wektor pola elektrycznego skierowany jest od większego do mniejszego potencjału, a zwrot wektora pokrywa się z kierunkiem wzrostu funkcji  - stąd pojawia się znak „-”

Potencjał pola wytworzonego przez nieskończenie długą nić, naładowaną ładunkiem o gęstości liniowej + A r Wielkość stałej nie wpływa na wartość pola.

Różnica potencjałów = napięcie a więc praca a b q Praca wykonana przy przeniesieniu ładunku q pomiędzy punktami a i b jest równa:

Praca sił pola zachowawczego jest równa ubytkowi jego energii potencjalnej Potencjał jest liczbowo równy energii potencjalnej jaką posiadałby w danym punkcie pola jednostkowy ładunek dodatni. lub Potencjał jest liczbowo równy pracy jaką wykonują siły pola przy przesunięciu jednostkowego ładunku dodatniego z danego punktu pola do nieskończoności

Siła działająca na ładunek powierzchniowy  Ładunek zgromadzony na sferze o promieniu r o wynosi Potencjał poza kulą: Wewnątrz kuli jest stały i równy

Jaka siła działa na elementy  dA naładowanej powierzchni? Element  dA doznaje odpychania od pozostałych ładunków. Natężenie pola wewnątrz sfery E = 0, na zewnątrz Potraktujmy naładowaną powierzchnię jako warstwę o małej, skończonej grubości  r o stałej gęstości objętościowej , takiej, że Jak zmienia się pole elektryczne wewnątrz takiej warstwy?

Wewnątrz warstwy pole rośnie liniowo, przy stałej gęstości ładunku – zakrzywienie powierzchni pomijamy, ponieważ  r<<r o. Dla niejednorodnego rozkładu ładunku różnica natężeń pól po obu stronach warstwy jest taka sama.

Uśrednione natężenie pola wewnątrz warstwy wynosi Uśredniona siła działająca na jednostkowy ładunek wynosi Rzeczywiste, powierzchniowe rozkłady ładunku mają skończoną grubość i gęstość objętościową – ładunek rozłożony na powierzchni metalu ma grubość rzędu kilku angstremów. Dopóki grubość warstwy jest dużo mniejsza od innych wymiarów układu możemy zaniedbać jej grubość, pod warunkiem że nie rozważamy efektów atomowych – przechodzenie elektronów przez powierzchnię styku metali.

Siła działająca na element ładunku powierzchniowego dq jest skierowana na zewnątrz powierzchni – odpychanie ładunków. Ładunki nie opuszczają powierzchni – muszą istnieć inne siły pochodzenia atomowego lub cząsteczkowego utrzymujące je w równowadze. Jeśli naładowalibyśmy gumowy balon, to jego objętość powinna ulec zwiększeniu. Aby zmniejszyć promień takiego balonu, bez zmiany ładunku, należałoby wykonać pracę

Zmniejszamy promień balonu z r o do r o -dr. Jeśli uwzględnimy tylko pracę związaną z pokonaniem sił elektrycznych to na element powierzchni balonu musimy działać siłą skierowaną do wewnątrz balonu Praca wykonana przez siły zewnętrzne na drodze dr wynosi powierzchnia balonu

gdzie jest całkowitym ładunkiem zgromadzonym na powierzchni balonu. Skutkiem zmniejszenia powłoki balonu jest wytworzenie pola elektrostatycznego w powłoce o grubości dr. W innych obszarach pole nie ulega zmianie. Pole pojawiło się w powłoce kosztem wykonanej pracy dW.

Energia pola elektrostatycznego 1 2 Układ posiada pewną energię – aby zbliżyć ładunki do siebie trzeba wykonać pracę. Praca wykonana przy zbliżaniu dwóch ładunków z dużej odległości

Całkowita energia układu wielu ładunków jest sumą energii wzajemnych oddziaływań każdej z par ładunków. Energia jednej pary: energia elektrostatyczna wszystkich par:

1(x 1,y 1,z 1 ) 2(x 2,y 2,z 2 ) dV 2 dV 1 wszystkie pary w całce podwójnej obliczane są dwukrotnie Potencjał w punkcie 1

Energia potencjalna ładunku  dV jest równa iloczynowi tego ładunku i potencjału w miejscu gdzie znajduje się ładunek

Połączymy prawo Gaussa z równaniem określającym związek między natężeniem pola i potencjałem Równanie Poissona ? operator Laplace’a (laplasjan)

Równanie wiąże gęstość ładunku z drugimi pochodnymi potencjału. Jest to równanie Poissona

Energia pola elektrostatycznego – cd. ?

Trochę matematyki... i podobnie dla pozostałych składników.

Funkcja podcałkowa jest równa:

Twierdzenie Gaussa

Wartość całki powierzchniowej możemy oszacować w przypadku gdy S , zakładając, że wszystkie ładunki umieszczone są w skończonej odległości Przy całkowaniu w całej przestrzeni R 

Otrzymamy, że energia w objętości dV energia przypadająca na jednostkę objętości – gęstość energii Energię dowolnego rozkładu ładunku można przedstawić jako całkę po gęstości energii