Ekonometria WYKŁAD 3 Piotr Ciżkowicz Katedra Międzynarodowych Studiów Porównawczych

Plan Czym się zajmiemy: 1.Testy postaci funkcyjnej, stabilności i kompletności modelu 2.Testy założeń odnośnie do rozkładu składnika losowego: autokorelacja, normalność rozkładu, heteroskedastyczność

Uogólniony test Walda dla restrykcji liniowych ►Test Walda łącznej istotności parametrów jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego testu, gdzie weryfikacji poddawany jest zestaw hipotez ►Przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka ma rozkład F-Snedecora przy liczbie stopni swobody q i T-(k+1), gdzie q liczba nałożonych restrykcji, e i v to wektory reszt dla modeli, odpowiednio, bez i z resrykcjami

Uogólniony test Walda dla restrykcji liniowych - przykład ►Testowany jest zestaw hipotez postaci: ►Ujmując to inaczej jest to test porównujący jakość dopasowania do danych dwóch modeli: ►Zestaw restrykcji w formule macierzowej dla 3 zmiennych :

Test postaci funkcyjnej Ramsey’a (RESET) ►Przedmiotem testu jest standardowa postać funkcyjna modelu liniowego z wieloma zmiennymi ►Procedura testowa: ►Krok 1: estymujemy model MNK ►Krok 2: wyznaczamy wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej ►Krok 3: estymujemy model postaci ►Krok 4: testujemy zestaw hipotez za pomocą statystyki

Test pominiętych zmiennych ►Test weryfikuje zasadność usunięcia z modelu wybranej zmiennej lub zmiennych np. dwóch ostatnich zmiennych w modelu postaci ►Test bazuje więc na porównaniu stopnia dopasowania powyższego modelu i modelu ►Testujemy zestaw hipotez za pomocą statystyki

Test Davidsona - McKinnona ►Test pozwala zweryfikować pod kątem kompletności informacji dwa modele niezagnieżdżone postaci ►Procedura testowa porównania kompletności (1) względem (2): ►Krok 1: estymujemy model (2) ►Krok 2: estymujemy model (1) poszerzony o wartości teoretyczne z modelu (2) postaci: ►Krok 3: Testem t-Studenta testujemy istotność oszacowania parametru przy teoretycznych wartościach z modelu (2); jeśli parametr jest nieistotny to informacje zawarte w modelu (2) nie polepszają stopnia objaśnienia zmiennej y.

Test Chowa stabilności oszacowań parametrów ►Test pozwala stwierdzić, czy oszacowania parametrów strukturalnych otrzymane na podstawie całej próby są stabilne w czasie. ►Procedura testowa: ►Krok 1: dzielimy próbę t na dwa podokresy (1.. T1, T1+1…t) ►Krok 2: estymujemy model podstawowy dla całej próby oraz dwa modele dla dwóch podokresów. ►Krok 3: testujemy zestaw hipotez ►Krok 4: Przy prawdziwości hipotezy zerowej poniższa statystyka ma rozkład F

►Test bada, czy założenie o normalności rozkładu składnika losowego przyjmowane przy estymacji MNK, jest spełnione, stąd zestaw stosowanych hipotez to: Test Jarque – Bery normalności rozkładu składnika losowego ►Test polega na badaniu skośności : i kurtozy: ►Przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka testowa (poniżej) ma rozkład Chi-kwadrat o 2 stopniach swobody ►Jeśli skośność jest różna od 0, to rozkład nie jest symetryczny, a dla kurtozy większej od 3 rozkład wykazuje leptokurtozę (grube ogony, czyli częstsze, niż w rozkładzie normalnym występowanie obserwacji nietypowych

Co to jest autokorelacja składnika losowego (1) ►Składniki losowe z różnych okresów nie są niezależne, lecz wykazują się niezerową korelacją tzn. składnik losowy u t z okresu t jest skorelowany ze składnikami losowymi u t -1 u t-2 … oraz u t+1 u t+2… ►Korelacja między u t a u t-k nazywa się autokorelacją rzędu k i określa ją współczynnik autokorelacji postaci:

Co to jest autokorelacja składnika losowego (2) ►Autokorelacja I rzędu, czyli proces AR(1) (przy czym e nie podlegają autokorelacji, mają stałą wariancję i zerową wartość oczekiwaną) ►Autokorelacja II rzędu, czyli proces AR(2) ►Autokorelacja wyższych rzędów - analogicznie

Konsekwencje autokorelacji składnika losowego (1) ►Dla standardowego modelu postaci ►…macierz wariancji i kowariancji estymatora MNK przy założeniu… ►ma postać….

Konsekwencje autokorelacji składnika losowego (2) ►W przypadku występowania autokorelacji składnika losowego założenie … ►.. nie jest prawdziwe, gdyż … ►… zaś macierz wariancji i kowariancji estymatora MNK ma postać…

Konsekwencje autokorelacji składnika losowego (3) ►W szczególności macierz może mieć postać… … co zachodzi, gdy korelacja między składnikami losowymi wygasa wykładniczo wraz z rzędem opóźnienia

Konsekwencje autokorelacji składnika losowego (4) ►Oznacza to, że : ► estymator MNK pozostaje estymatorem nieobciążonym, bo nadal zachodzi… ►estymator MNK przestaje być najefektywniejszy ►estymator wariancji składnika losowego jest obciążony, przy czym kierunek obciążenia zależy od kierunku autokorelacji; ►to oznacza, że (zwykle) niedoszacowane są średnie błędy estymatorów parametrów (przeszacowane statystyki t ) oraz przeszacowany jest współczynnik determinacji

1.Błędna struktura funkcyjna modelu np. Brak uwzględnienia zjawiska sezonowości Błędna postać założonej relacji między zmienną objaśnianą i zmiennymi objaśniającymi Przyczyny występowania autokorelacji (1)

2.Nieodpowiednia struktura dynamiczna modelu tzn. w modelu nie została uwzględniona (a powinna) opóźniona zmienna objaśniana jako zmienna objaśniająca lub opóźniona zmienna objaśniająca np. model… Przyczyny występowania autokorelacji (2) … można zapisać jako… … co jest równoważne… … przy założeniu, że

3.Pominięcie w specyfikacji istotnej zmiennej 4.Przekształcenia jakim poddawane są dane (interpolacja, wygładzanie, agregacja itp.) Przyczyny występowania autokorelacji (3)

Testowanie autokorelacji (1) ►Test Durbina - Watsona ►Test ten bazuje na estymacji współczynnika autokorelacji I rzędu, gdyż jest równoważny… ►… a to wyrażenie jest równe w przybliżeniu (dla dużych prób)…

Testowanie autokorelacji (2) ►Interpretacja wyników testu: ►0<d < d L : odrzucamy hipotezę zerową o braku atuokorelacji na rzecz hipotezy o autokorelacji dodatniej ►d L <d<d U : obszar niekonkluzywności ►d U <d<4-d U : brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o braku autokorelacji ►4-d U <d<4-d L : obszar niekonkluzywności ►4- d U < d < 4: odrzucamy hipotezę zerową o braku atuokorelacji na rzecz hipotezy o autokorelacji ujemnej

Testowanie autokorelacji (3) ►Uwaga 1: Podane przybliżenie jest prawdziwe dla dużych prób, bo dla współczynnika autokorelacji I rzędu równego 0 wartość oczekiwana d wynosi ►Uwaga 2: Test DW można stosować ►do badania autokorelacji I rzędu ►gdy w modelu występuje wyraz wolny ►gdy w modelu nie występuje opóźniona zmienna objaśniana jako zmienna objaśniająca

Testowanie autokorelacji (4) ►W przypadku testowania autokorelacji wyższych rzędów można stosować test Breuscha-Godfreya oparty na zasadzie mnożników Lagrange’a. ►Dla równania postaci…. … gdzie składnik losowy jest opisany procesem… … testujemy hipotezę postaci…

Testowanie autokorelacji (5) ►Postępowanie składa się z trzech kroków: ►I: szacujemy model dla zmiennej objaśniającej bez zakładania postaci procesu dla składnika losowego ►II: na podstawie otrzymanych reszt szacujemy równanie… ►III : obliczamy standardową statystykę F i weryfikujemy hipotezę zerową postaci … korzystając z tego, że przy jej prawdziwości statystyka p*F ma rozkład z p stopniami swobody

Testowanie autokorelacji (6) ►Przykład: dla danych kwartalnych możemy testować występowanie autokorelacji 4 rzędu postaci: ►W tym celu po oszacowaniu równania wyjściowego szacujemy równanie dla reszt postaci …i weryfikujemy hipotezę zerową postaci

Testowanie autokorelacji (7) ►Uwaga 1: Test LM jest testem dla dużych prób (n>30). Należy pamiętać, że każde dodatkowe opóźnienia zmniejsza liczebność próby w równaniu reszt, a więc i precyzję testu ►Uwaga 2: W teście LM nie jest ważna postać procesu generującego składnik losowy, lecz maksymalny rząd opóźnienia. Dla każdego z poniższych przypadków… …weryfikujemy tę samą hipotezę zerową postaci ►Uwaga 3: Alternatywna postać równania testującego opiera się na koncepcji testu dodanych zmiennych

Postępowanie w przypadku autokorelacji (1) ►Sprawdzenie, czy w modelu nie pominięto istotnej zmiennej (test dodanej zmiennej) ►Sprawdzenie, czy model ma poprawną postać funkcyjną i stabilne w czasie oszacowania parametrów (test RESEST, test Chowa) ►Sprawdzenie, czy model ma poprawnie wyspecyfikowaną strukturę dynamiczną np. dla modelu postaci …zweryfikować hipotezę za pomocą testu Walda, ilorazu wiarygodności lub LM

Postępowanie w przypadku autokorelacji (2) ►Sprawdzenie, czy w modelu nie występuje trend deterministyczny postaci np...lub trend stochastyczny postaci… ►Zastosowanie błędów standardowych odpornych na autokorelację i heteroskedastyczność ►Zastosownie metod estymacji uwzględniających autokorelację opartych na Uogólnionej Metodzie Najmniejszych Kwadratów (np. metoda Cochrane’a – Orcutta)

Heteroskedastyczność składnika losowego ►Heteroskedastyczność jest naruszeniem kolejnego założenia MNK tzn. stałości wariancji składnika losowego między okresami (w przypadku szeregu czasowego) lub jednostkami (w przypadku danych przekrojowych) ►Oznacza to, że macierz wariancji i kowariancji składnika losowego może mieć postać np. jeśli wariancja przyjmuje dwie różne wartości dla dwóch podprób

Standardowa postać wykresu reszt z heteroskedastycznością

Konsekwencje heteroskedastyczności składnika losowego ►Podobnie jak w przypadku autokorelacji tzn. ► estymator MNK pozostaje estymatorem nieobciążonym, bo nadal zachodzi… ►estymator MNK przestaje być najefektywniejszy ►estymator wariancji składnika losowego jest obciążony, co oznacza, że (zwykle) niedoszacowane są średnie błędy estymatorów parametrów (przeszacowane statystyki t ) oraz przeszacowany jest współczynnik determinacji

Testowanie heteroskedastyczności – test White’a ►Procedura testowa: ►Krok 1: estymujemy model MNK ►Krok 2: estymujemy model pomocniczy postaci (dla dwóch zmiennych objaśniających): ►Testowany jest następujący zestaw hipotez: ►Krok 3: testujemy zestaw hipotez ►Przy prawdziwości hipotezy zerowej (homoskedastyczność) statystyk testowa postaci T*R^2 ma rozkład Chi-kwadrat z liczbą stopni swobody równą liczbie restrykcji w hipotezie

Dziękuję za uwagę