Metoda symboliczna analizy obwodów prądu sinusoidalnego Wykłady z podstaw elektrotechniki i elektroniki Paweł Jabłoński

Co było do tej pory? W zakresie prądów stałych: Poznaliśmy podstawy teorii obwodów liniowych i nieliniowych prądu stałego. W zakresie prądów sinusoidalnie zmiennych: Wprowadziliśmy pojęcia wartości skutecznej, wskazu, impedancji, kąta fazowego. Znamy związki między wskazami prądu i napięcia na elementach RLC. Umiemy rozwiązywać proste obwody. Brakuje nam: ogólnej metody rozwiązywania obwodów prądu sinusoidalnego.

Na tym wykładzie Cel: Zapoznanie się z symboliczną metodą analizy obwodów prądu sinusoidalnego. Zakres: Liczby zespolone (przypomnienie), Fazory Prawa Ohma i Kirchhoffa w postaci zespolonej Impedancja zespolona, zespolona moc pozorna Wybrane zagadnienia

Liczby zespolone 1 Liczby zespolone (przypomnienie) Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych (a, b). Liczby rzeczywiste a i b stanowią odpowiednio część rzeczywistą oraz urojoną liczby zespolonej (a, b). Liczbę zespoloną z = (a, b) zapisujemy zwykle w postaci kanonicznej gdzie jest jednostką urojoną (w matematyce stosujemy symbol i, ale w elektrotechnice i oznacza prąd, dlatego używamy wyjątkowo j).

Działania arytmetyczne Liczby zespolone Działania arytmetyczne Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych wykonuje się tak samo, jak na liczbach rzeczywistych z uwzględnieniem, że j2 = −1:

Interpretacja geometryczna Liczby zespolone Interpretacja geometryczna Część rzeczywistą liczby zespolonej z oznaczamy Rez, zaś część urojoną Imz. Jeżeli w układzie współrzędnych (x, y) będziemy na osi Ox odkładać części rzeczywiste, zaś na osi Oy – części urojone, to otrzymamy tzw. płaszczyznę zespoloną. Liczbę zespoloną (a, b) interpretuje się geometrycznie jako punkt na płaszczyźnie zespolonej. Rez Imz b a a + jb

Moduł liczby zespolonej Długość odcinka pomiędzy punktem (a, b) a początkiem układu współrzędnych nazywamy modułem liczby zespolonej a + jb i oznaczamy |a + jb|. Z rysunku wynika, że Rez Imz b a a + jb |a + jb|

Argument liczby zespolonej Kąt α pomiędzy odcinkiem łączącym punkt (a, b) z początkiem układu współrzędnych a osią rzeczywistą nazywamy argumentem liczby zespolonej i oznaczamy arg(a + jb). Umownie argument przyjmuje wartości z przedziału od −π do π. Z rysunku otrzymujemy Rez Imz b a a + jb |a + jb| α

Zapis trygonometryczny i wykładniczy Liczby zespolone Zapis trygonometryczny i wykładniczy Z powyższego wynika, że liczbę zespoloną z = a + jb można zapisać w tzw. postaci trygonometrycznej gdzie α = arg(a + jb). Korzystając ze wzoru Eulera, dostajemy postać wykładniczą liczby zespolonej Rez Imz b a a + jb |a + jb| α Wzór Eulera

Działania na liczbach zespolonych Liczby zespolone Działania na liczbach zespolonych Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych najwygodniej przeprowadza się, jeżeli zapiszemy je w postaci kanonicznej: Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych najwygodniej przeprowadza się, jeżeli zapiszemy je w postaci wykładniczej:

Operator obrotu Liczbę zespoloną Liczby zespolone Operator obrotu Rez Imz z |z| α zejψ ψ Liczbę zespoloną nazywamy operatorem obrotu o kąt ψ, gdyż w wyniku mnożenia liczby |z|ejα przez ejψ dostajemy liczbę niezmienionym module lecz argumencie α + ψ, czyli obróconą o kąt ψ. Wnioski: ponieważ j = ej90°, to Liczba j jest operatorem obrotu o 90°, zaś liczba –j jest operatorem obrotu o −90°. Mnożenie przez j obraca liczbę o 90°, Dzielenie przez j obraca liczbę o −90°. Rez Imz z α jz −jz

Liczby zespolone Sprzężenie zespolone Sprzężeniem zespolonym nazywamy zmianę znaku części urojonej. Operację sprzężenia oznaczamy gwiazdką: Liczby zespolone wzajemnie sprzężone mają jednakowe części rzeczywiste i moduły, ale ich części urojone oraz argumenty są przeciwnego znaku. Rez Imz b a a + jb |a + jb| α −b a – jb z z*

Liczby zespolone Pomocne zależności Następujące zależności okazują się bardzo przydatne w operowaniu na liczbach zespolonych:

Przebieg sinusoidalny a liczba zespolona 2 Fazory Przebieg sinusoidalny a liczba zespolona Każdemu przebiegowi sinusoidalnemu o postaci odpowiada wskaz, który może być rozpatrywany jako odcinek łączący początek układu współrzędnych z pewnym punktem płaszczyzny. Płaszczyznę tę możemy rozpatrywać jako płaszczyznę zespoloną. Każdemu punktowi na tej płaszczyźnie odpowiada pewna liczba zespolona. Wniosek: każdemu przebiegowi sinusoidalnemu odpowiada pewna liczba zespolona. ωt a(t) –ψ Am A ψ A Re Im A = Aejψ

Fazory Fazor Tę liczbę zespoloną nazywa się zespoloną wartością skuteczną albo fazorem. Fazor przebiegu ma postać Wielkości zespolone podkreślamy. Uwaga: Należy odróżniać A i A, gdyż A to fazor przebiegu a(t), zaś A to wartość skuteczna (moduł fazora), tzn. A = |A|. ωt a(t) –ψ Am A ψ A Re Im A = Aejψ

Przejście od fazora do wartości chwilowej Fazory Przejście od fazora do wartości chwilowej Mając fazor A, możemy otrzymać wartość chwilową a(t) jako Wyprowadzenie:

Fazor pochodnej i całki Fazory Fazor pochodnej i całki Jeżeli przebieg sinusoidalny a(t) ma fazor A, to pochodna czasowa tego przebiegu ma fazor jωA, zaś całka z a(t) ma fazor A/jω. Wyprowadzenie:

Fazory Wnioski Różniczkowanie i całkowanie w dziedzinie czasu zostaje sprowadzone do mnożenia i dzielenia w dziedzinie fazorów. Równania różniczkowo-całkowe opisujące obwody elektryczne stają się równaniami algebraicznymi w dziedzinie fazorów, np. Zaleta: nie musimy rozwiązywać równań różniczkowo-całkowych, a tylko algebraiczne! Cena: obliczenia trzeba wykonywać na liczbach zespolonych.

3 Fazory dla elementów obwodu Uwagi ogólne Zakładamy, że wszystkie źródła napięciowe i prądowe mają jednakową częstotliwość, chociaż mogą mieć różne fazy. Jednakowa częstotliwość oznacza, że ich wskazy wirują z tą samą prędkością kątową, zatem pozostają one względem siebie w ustalonej pozycji. Zakładamy też, że wszystkie elementy są liniowe – tylko wtedy sinusoidalne napięcia powodują przepływ sinusoidalnego prądu.

Źródło napięcia Każdemu źródłu napięcia o przebiegu Fazory dla elementów obwodu Źródło napięcia Każdemu źródłu napięcia o przebiegu przyporządkowujemy fazor Na schemacie elektrycznym źródło zaznaczamy zazwyczaj tylko wartość skuteczną, pamiętając, że źródło to ma pewien kąt fazowy α. e(t) E E

Źródło prądu Każdemu źródłu prądu o przebiegu przyporządkowujemy fazor Fazory dla elementów obwodu Źródło prądu Każdemu źródłu prądu o przebiegu przyporządkowujemy fazor Na schemacie elektrycznym źródło zaznaczamy zazwyczaj tylko wartość skuteczną, pamiętając, że źródło to ma pewien kąt fazowy β. j(t) J J

Fazorowe prawo Ohma dla rezystora Fazory dla elementów obwodu Fazorowe prawo Ohma dla rezystora Niezależnie od kształtu przebiegu czasowego prądu i napięcia, dla rezystora liniowego zachodzi zależność Jeżeli sinusoidalny prąd i(t) ma fazor I, zaś sinusoidalne napięcie u(t) ma fazor U, to Na schemacie dla fazorów rezystor zaznacza się tak samo, jak dla prądów stałych. u i R U I R U I R

Fazorowe prawo Ohma dla cewki Fazory dla elementów obwodu Fazorowe prawo Ohma dla cewki Niezależnie od kształtu przebiegu czasowego prądu i napięcia, dla cewki liniowej zachodzi zależność Jeżeli sinusoidalny prąd i(t) ma fazor I, zaś sinusoidalne napięcie u(t) ma fazor U, to Na schemacie dla fazorów cewkę zaznacza się jako reaktancję XL. u i L U I jXL U I XL

Fazorowe prawo Ohma dla kondensatora Fazory dla elementów obwodu Fazorowe prawo Ohma dla kondensatora Niezależnie od kształtu przebiegu czasowego prądu i napięcia, dla kondensatora liniowego zachodzi zależność Jeżeli sinusoidalny prąd i(t) ma fazor I, zaś sinusoidalne napięcie u(t) ma fazor U, to Na schemacie dla fazorów kondensator zaznacza się jako reaktancję XC. u i C U I –jXC U I XC

Elementy RLC – podsumowanie Fazory dla elementów obwodu Elementy RLC – podsumowanie R L C I U I U I U

Pierwsze prawo Kirchhoffa 4 Prawa Kirchhoffa dla fazorów Pierwsze prawo Kirchhoffa Pierwsze prawo Kirchhoffa dla fazorów przyjmuje postać tzn. sumujemy algebraicznie fazory prądów w węźle z uwzględnieniem, czy prąd wpływa czy wypływa. Uwagi: Pamiętamy, że nie wolno dodawać wartości skutecznych, lecz tylko wskazy. Ale fazory, to nic innego, jak algebraiczne oznaczenia wskazów. Dlatego dodawanie algebraiczne fazorów jest równoważne geometrycznemu dodawaniu wskazów. I1 I2 I3 I4 I5

Wyprowadzenie Pierwsze prawo Kirchhoffa dla wartości chwilowych: Prawa Kirchhoffa dla fazorów Wyprowadzenie Pierwsze prawo Kirchhoffa dla wartości chwilowych: Wyrażamy wartości chwilowe przez fazory: Równania (*) i (**) są częściami urojonymi równania (***) Jeżeli równanie (***) jest spełnione, to spełnione jest i równanie (*), zatem możemy rozpatrywać to ostanie. Po uproszczeniu (*) (**) (***)

Drugie prawo Kirchhoffa Prawa Kirchhoffa dla fazorów Drugie prawo Kirchhoffa Drugie prawo Kirchhoffa dla fazorów przyjmuje postać tzn. sumujemy algebraicznie fazory napięć i sił elektromotorycznych w oczku z uwzględnieniem, zgodności zwrotów strzałek. Wyprowadzenie tego równania jest analogiczne jak w przypadku pierwszego prawa Kirchhoffa dla fazorów. E1 U1 U2 U3 U4 E2

II prawo Kirchhoffa – c.d. Prawa Kirchhoffa dla fazorów II prawo Kirchhoffa – c.d. Zapisując równanie wg drugiego prawa Kirchhoffa, korzystamy często od razu z ze związków pomiędzy fazorami prądu i napięcia na poszczególnych elementach. E1 R1 X2 R3 X4 E2 I1 I2 I3 I4

Przykład Obliczyć prąd w obwodzie Prawa Kirchhoffa dla fazorów e i R L

Przykład Obliczamy potrzebne wielkości Prawa Kirchhoffa dla fazorów Przykład Obliczamy potrzebne wielkości Rysujemy schemat dla wartości skutecznych (lub dla fazorów). e i R L C UR UL UC XC XL R I E

Przykład Układamy równania (tutaj jest tylko jedno) Prawa Kirchhoffa dla fazorów Przykład Układamy równania (tutaj jest tylko jedno) Wyznaczamy z niego fazor prądu Wartość chwilowa wynosi UR UL UC XC XL R I E

Impedancja zespolona 5 Impedancja zespolona Impedancją (zespoloną) dwójnika pasywnego nazywamy iloraz fazorów napięcia na jego zaciskach i pobieranego przez niego prądu: Jednostką impedancji zespolonej jest om. Impedancja jest liczbą zespoloną charakteryzującą właściwości dwójnika dla prądu sinusoidalnego. Uwaga: Z nie jest fazorem, ale podkreślamy ten symbol dla odróżnienia od Z = |Z|. Dwójnik pasywny I U

Moduł i kąt fazowy impedancji Impedancja zespolona Moduł i kąt fazowy impedancji W ogólności czyli Moduł impedancji Z = |Z| jest zatem ilorazem wartości skutecznych napięcia i prądu dwójnika. Kąt fazowy impedancji φ = argZ jest różnicą pomiędzy kątami fazowymi napięcia i prądu, czyli jest kątem fazowym dwójnika. Zespolona impedancja Z łączy obydwie wielkości Z i φ, które dotychczas były rozpatrywane niezależnie. Dwójnik pasywny I U

Impedancja zespolona Admitancja zespolona Admitancją zespoloną nazywamy odwrotność impedancji zespolonej: Zachodzą oczywiste związki

Elementy RLC – impedancja Impedancja zespolona Elementy RLC – impedancja R L C I U I U I U

Impedancja zespolona Prawo Ohma dla fazorów Z określenia impedancji wynika prawo Ohma dla fazorów

Impedancja zespolona Połączenie szeregowe Połączeniem szeregowym dwójników nazywamy takie ich połączenie, w którym przez wszystkie płynie jeden i ten sam prąd. Naszym celem jest wyznaczenie impedancji zastępczej, tj. zastąpienie grupy n szeregowo połączonych dwójników o impedancjach Z1, Z2, …, Zn za pomocą jednej tylko impedancji Z. Z1 Z2 Zn Z

Impedancja zastępcza p. szeregowego Impedancja zespolona Impedancja zastępcza p. szeregowego Z1 Z2 Zn U1 U2 Un U I A B Z prawa koła napięć Z prawa Ohma dla i-tej impedancji mamy Ui = ZiI; uwzględniwszy to w poprzednim wzorze Impedancja z definicji wynosi U/I, czyli Impedancja zastępcza szeregowego połączenia równa się sumie impedancji. Z U I A B

Połączenie równoległe Impedancja zespolona Połączenie równoległe Połączeniem równoległym dwójników nazywamy takie ich połączenie, w którym na zaciskach wszystkich dwójników występuje jedno i to samo napięcie. Do zaznaczenia, że dwójniki o impedancjach Z1, Z2, …, Zn połączone są równolegle stosujemy czasem zapis Naszym celem jest wyznaczenie impedancji zastępczej, tj. zastąpienie grupy n równolegle połączonych dwójników o impedancjach Z1, Z2, …, Zn za pomocą jednego tylko impedancji Z. Z1 Z2 Zn Z

Impedancja zastępcza p. równoległego Impedancja zespolona Impedancja zastępcza p. równoległego Z pierwszego prawa Kirchhoffa Z prawa Ohma dla i-tej impedancji mamy Ii = U/Zi, stąd ostatni wzór przyjmuje postać Impedancja z definicji wynosi U/I, czyli Odwrotność impedancji zastępczej równoległego połączenia dwójników równa się sumie odwrotności ich impedancji. Z1 Z2 Zn U I1 I2 In A B I Z U I A B

Połączenie równoległe dwóch impedancji Impedancja zespolona Połączenie równoległe dwóch impedancji W przypadku dwóch impedancji połączonych równolegle Po przekształceniu Z1 Z2

Impedancja zespolona Redukcja impedancji Wniosek: Impedancję zastępczą dowolnego połączenia dwójników wyznacza się za pomocą zależności analogicznych do tych, które poznaliśmy przy redukcji połączeń rezystorów. Zatem: Cewkę przedstawiamy jako jXL, a kondensator jako –jXC, Dla połączenia szeregowego sumujemy impedancje, Dla połączenia równoległego sumujemy admitancje, Stosujemy ewentualnie wzory na zamianę trójkąt-gwiazda i gwiazda-trójkąt.

Impedancja zespolona Przykłady R XC XL R XC XL

Przykład Impedancja zespolona (Wartości rezystancji i reaktancji w omach) 6 1 3 30 10 6 1 – j3 3 + j9 6 4 + j6

Impedancja zespolona Przykład R C L Wyznaczyć pulsację rezonansową

Zespolona moc pozorna 6 Zespolona moc pozorna Zespoloną mocą pozorną nazywamy iloczyn fazora napięcia i sprzężonego fazora prądu: Zwróćmy uwagę na to, że fazor prądu jest sprzężony.

Związek z mocą czynną i bierną Zespolona moc pozorna Związek z mocą czynną i bierną W ogólności fazory napięcia i prądu mają postać czyli gdzie φ jest kątem fazowym odbiornika, Ale UIcosφ = P (moc czynna) oraz UIsinφ = Q (moc bierna), zatem

Zespolona moc pozorna Związek z impedancją Ponieważ to czyli Mamy też

Moc – podsumowanie Mamy zatem Zespolona moc pozorna Moc – podsumowanie Mamy zatem Zespolona moc pozorna jest jedną wielkością, która łączy w sobie trzy wielkości: moc czynną, moc bierną i moc pozorną. Zespolona moc pozorna jest wielkością addytywną – można sumować zespolone moce pozorne różnych elementów, gdyż wykonujemy wtedy w istocie sumowanie mocy czynnych i biernych.

Zespolona moc pozorna Bilans mocy Bilans mocy polega na sprawdzeniu, czy moc oddana do obwodu przez źródła równa się mocy pobranej przez odbiorniki: Moc odbiornika obliczamy jako Moc źródła obliczamy jako i bierzemy ze znakiem plus, jeżeli strzałki napięcia i prądu są zgodne, a ze znakiem minus, jeżeli są one przeciwne.

Ogólne uwagi 7 Analiza obwodów Wszystkie metody poznane podczas omawiania liniowych obwodów prądu stałego po niewielkich zmianach znajdują zastosowanie w analizie obwodów prądu sinusoidalnego. Najważniejsze zmiany: Używamy wartości skutecznych i fazorów, czyli liczb zespolonych, a nie rzeczywistych, Pojęcie rezystancji (R = U/I) jest uogólnione na impedancję (Z = U/I, moduł impedancji Z = U/I), Oprócz rezystancji R występuje reaktancja X, Znany wzór na moc UI określa moc pozorną, oprócz tego występuje moc czynna UIcosφ, bierna UIsinφ, oraz zespolona pozorna UI*.

Metody Używa się następujących znanych już metod: Analiza obwodów Metody Używa się następujących znanych już metod: Metoda równań Kirchhoffa, Metoda oczkowa, Metoda potencjałów węzłówych, Metoda superpozycji. Prawdziwe są znane twierdzenia Thevenina, Nortona, o zamianie źródła rzeczywistego, o włączaniu dodatkowych źródeł, o wzajemności, o kompensacji. Należy pamiętać, że równania zapisujemy zawsze dla fazorów, a zamiast rezystancji występuje w ogólności impedancja.

Przykład Rozwiązać podany obwód: Metodą równań Kirchhoffa, Analiza obwodów Przykład Rozwiązać podany obwód: Metodą równań Kirchhoffa, Metodą oczkową, Metodą węzłową, Metodą superpozycji, Przeprowadzić bilans mocy. e(t) j(t) R C L

Analiza obwodów Co mamy obliczyć? Mamy obliczyć wszystkie prądy i wszystkie napięcia na elementach. R e(t) j(t) C L i1(t) i2(t) i3(t) uR(t) uC(t) uL(t) uj(t)

Obwód dla fazorów Obliczamy fazory elementów źródłowych: Analiza obwodów Obwód dla fazorów Obliczamy fazory elementów źródłowych: Obliczamy reaktancje: R E J XC XL I1 I2 I3 UR UL UC UJ

Metoda równań Kirchhoffa Analiza obwodów Metoda równań Kirchhoffa Układamy równania: Po rozwiązaniu: R E J XC XL I1 I2 I3 UR UL UC UJ

Wartości chwilowe prądów i napięć Analiza obwodów Wartości chwilowe prądów i napięć Prądy: Napięcia:

Metoda oczkowa Układamy równania: Po rozwiązaniu: Analiza obwodów R E J XC XL I1 I2 I3 UJ II III

Metoda węzłowa Układamy równania: Po rozwiązaniu: Analiza obwodów R E J XC XL I1 I2 I3 UJ A B Układamy równania: Po rozwiązaniu:

Metoda superpozycji Wyznaczamy prądy składowe: Po rozwiązaniu: Analiza obwodów Metoda superpozycji R E XC XL I′1 I′2 I′3 Wyznaczamy prądy składowe: Po rozwiązaniu: R J XC XL I″1 I″2 I″3

Bilans mocy Mamy: Moc źródeł: Moc odbiorników: Analiza obwodów R E J XC XL I1 I2 I3 UR UL UC UJ Mamy: Moc źródeł: Moc odbiorników:

Twierdzenie Thevenina Analiza obwodów Twierdzenie Thevenina Dwójnik aktywny można zastąpić rzeczywistym źródłem napięcia (E0, Zw). Napięcie źródłowe E0 wyznacza się jako równe napięciu na jego zaciskach w stanie jałowym. Impedancję wewnętrzną Zw wyznacza się jako równą impedancji zastępczej dwójnika widzianej z jego zacisków po usunięciu z niego wszystkich źródeł (zwarciu źródeł napięciowych i rozwarciu źródeł prądowych). Dwójnik aktywny A B A B Zw E0

Rzeczywiste źródła napięcia i prądu Analiza obwodów Rzeczywiste źródła napięcia i prądu Rzeczywiste źródło napięcia o SEM równej E i impedancji wewnętrznej Zw jest równoważne (w stosunku do pozostałej części obwodu) rzeczywistemu źródłu prądowemu o wydajności J i takiej samej impedancji wewnętrznej, przy czym Rozpływ prądów i rozkład napięć w pozostałej części obwodu nie ulegnie przy tym zmianie. E I U Zw U J I Zw

Stan dopasowania energetycznego Analiza obwodów Stan dopasowania energetycznego Stanem dopasowania energetycznego nazywamy stan, w którym na odbiorniku wydziela się maksymalna moc czynna przy stałych parametrach źródła zasilania. Zachodzi to wtedy, gdy Moc czynna wydzielana na odbiorniku wynosi wtedy Taka sama moc czynna wydziela się na rezystancji wewnętrznej. I Z=Zw* Zw E0 U

Stan dopasowania – wyprowadzenie Analiza obwodów Stan dopasowania – wyprowadzenie I Z Zw E0

Czego się nauczyliśmy? Podsumowanie Poznaliśmy bardzo wygodną i ogólną metodę analizy liniowych obwodów prądu sinusoidalnego. Metoda symboliczna jest algebraicznym zapisem tego, co można zrobić na wskazach (geometrycznie). Wiemy, co to jest fazor, zespolona impedancja, zespolona moc pozorna. Wszystkie znane już metody analizy obwodów prądu stałego prawie bez zmian stosuje się do analizy obwodów prądu sinusoidalnego, z tym, że obliczenia wykonuje się na fazorach (liczbach zespolonych).