Elementy cyfrowe i układy logiczne WSTĘP do ECiUL Elementy cyfrowe i układy logiczne wykład № 1 Dr Galina Cariowa

LITERATURA: • M. Morris Mano, Charles R. Kime – Podstawy projektowania układów logicznych i komputerów, Wydawnictwa Naukowo- Techniczne, • Giovanni De Micheli - Synteza i optymalizacja układów cyfrowych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, • Majewski Władysław - Układy logiczne, Podręczniki akademickie EiT, • Jan Pienkos, Janusz Turczyński - Układy scalone TTL w systemach cyfrowych, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, • Wilkinson Barry - Układy cyfrowe, • Grocki Wojciech - Układy cyfrowe, • Tyszer Jerzy, Mrugalski Grzegorz-Technika cyfrowa. Zbiór zadań z rozwiązaniami, Wydawnictwa BCT.

George Boole. (1815 -1864) W 1854 r. opublikował książkę wprowadzającą matematyczną teorię logiki. Układy cyfrowe są elementami sprzętu elektronicznego, które przetwarzają

Algebra Boole’a Początkowo algebra Boole’a służyła do analizy zdań logicznych i procesów myślowych. Obecnie algebra boolowska jest stosowana do opisu połączeń bramek cyfrowych oraz do analizy i projektowania binarnych układów cyfrowych.

Algebra Boole’a Układy cyfrowe są elementami sprzętu elektronicznego, które przetwarzają informację binarną. Układy cyfrowe są implementowane przy użyciu tranzystorów połączonych ze sobą wewnątrz układów scalonych.

Algebra Boole’a Algebra Boole’a jest algebrą związaną ze zmiennymi binarnymi, które mogą przyjmować dwie dyskretne wartości, 0 i 1, oraz matematycznymi funkcjami logicznymi, które operują na tych zmiennych. Układy cyfrowe są elementami sprzętu elektronicznego, które przetwarzają informację binarną.

Logika dwuwartościowa. Trzy podstawowe operacje logiczne związane ze zmiennymi binarnymi to AND, OR oraz NOT. 1. Operacja AND – mnożenie logiczne, koniunkcja AND. Na przykład, Z=XY lub . Ta operacja jest przedstawiana za pomocą kropki lub brakiem operatora. Alternatywnym symbolem dla symbolu ”kropka” jest symbol .

Logika dwuwartościowa Poniższe równania definiują operację logiczną AND: Interpretacja logiczna AND : Z=1 wtedy i tylko wtedy, gdy X=1 i Y=1, w przeciwnym razie Z=0.

Logika dwuwartościowa 2. Operacja OR – dodawanie logiczne, dysjunkcja Ta operacja przedstawiana jest symbolem dodawania : Z=X+Y. Alternatywnym symbolem dla symbolu +, oznaczającego OR, jest symbol .

Logika dwuwartościowa Poniższe równania definiują operację logiczną OR: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 W arytmetyce binarnej 1+1=10. Interpretacja logiczna OR : Z=1, jeżeli X=1 lub Y=1, lub obie zmienne X=1 i Y=1. Z=0 wtedy i tylko wtedy, gdy X=0 i Y=0.

Logika dwuwartościowa 3. Operacja NOT – negacja, dopełnienie. Tę operację symbolizuje kreska nad zmienną: . Oznacza to, że jeżeli X=1, to Z=0, ale jeśli X=0, to Z=1.

Logika dwuwartościowa Tablica prawdy (ang.truth table) dla danej operacji jest tablicą kombinacji wartości binarnych przedstawiająca zależność między wartościami przyjmowanymi przez zmienne a wartościami stanowiącymi wynik tej operacji.

Bramki logiczne

Bramki logiczne Nazwy zakresów napięć wyjściowych i wejściowych: WYSOKI STAN LOGICZNY (H) i NISKI (L) PRAWDA (T) i FAŁSZ (F) 1 i 0 Zakładamy, że PRAWDA i 1 są związane z wysokimi napięciami, H, a FAŁSZ i 0 – z niskimi, L.

Rodzaje bramek

Bramka AND

Bramka OR y=x1+ x2 (dysjunkcja)

Bramka NOT (negacja, dopełnienie) Kółeczko na wyjściu symbolu wskazuje na inwersję

Bramka NAND

Bramka NOR Bramka N

Bramka XOR (ExOR, Albo) nierównoważność

Bramka ExNOR

Algebra Boole’a Projektowanie układów logicznych jest oparte na przekształceniu wyrażeń boolowskich. Wyrażenie boolowskie jest to wyrażenie algebraiczne utworzone z użyciem zmiennych binarnych, stałych 0 i 1, symboli operacji logicznych i nawiasów.

Algebra Boole’a Funkcja boolowska może być opisana na dwa sposoby: za pomocą równania boolowskiego, które składa się ze zmiennej binarnej, poprzedzającej znak równości i wyrażenia boolowskiego. Na przykład: F=1, jeśli X=1 lub Y=0 i Z=1. Dwie części wyrażenia, X oraz , nazywamy wyrazami (ang. term) wyrażenia F, a zmienne X, Y, Z - literalami.

Algebra Boole’a 2) Funkcja boolowska może być przedstawiona za pomocą tablicy prawdy. Tablica prawdy funkcji zawiera spis wszystkich kombinacji 0 i 1 , które mogą być przypisane zmiennym binarnym, oraz spis wartości funkcji dla każdej kombinacji binarnej. Liczba wierszy tablicy prawdy wynosi , gdzie n jest liczbą zmiennych funkcji.

Algebra Boole’a Tablica prawdy funkcji X Y Z F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Kombinacje binarne tablicy prawdy stanowią n-bitowe liczby binarne, odpowiadające liczeniu w systemie dziesiętnym od 0 do

Istnieje tylko jeden sposób przedstawienia funkcji boolowskiej za pomocą tablicy prawdy. Gdy funkcja jest przedstawiona w postaci równania boolowskiego, można ją wyrazić na wiele sposobów, ponieważ można przekształcać wyrażenia boolowskie zgodnie z prawami algebry Boole’a.

Prawa Algebry Boole’a

Prawa Algebry Boole’a Prawo przemienności Kolejność, w jakiej zmienne są zapisane, nie wpływa na wynik (operacji OR i AND) .

Prawa Algebry Boole’a Prawo łączności Wynik operacji stosowanej do trzech zmiennych nie zależy od kolejności pobierania zmiennych, nawiasy mogą być usunięty.

Prawa Algebry Boole’a Prawo rozdzielności Drugie prawo rozdzielności jest dualne względem zwykłego (pierwszego) prawa rozdzielności.

Prawa Algebry Boole’a Wyrażenie dualne do danego wyrażenia algebraicznego uzyskamy, zamieniając ze sobą operacje AND i OR oraz zastępując jedynki zerami i zera jedynkami. Wyrażenie dualne nie jest równe oryginalnemu wyrażeniu.

Prawa Algebry Boole’a Prawa De Morgana (dla dwóch zmiennych) Prawa De Morgana (dla wielu zmiennych)

Weryfikacja twierdzenia De Morgana

Prawa Algebry Boole’a Prawa idempotentności Prawa sprzeczności

Prawa Algebry Boole’a Prawo podwójnej negacji Dwukrotne dopełnienie przywraca zmienną do jej pierwotnej wartości.

Pierwsze prawo identyczności Prawa Algebry Boole’a Pierwsze prawo identyczności Stałe 0 Stała 1 Drugie prawo identyczności

Prawa Algebry Boole’a Twierdzenie o zgodności (ang. consensus theorem) Dowód twierdzenia:

Prawa Algebry Boole’a Każdą zmienną w tożsamości można zastąpić wyrażeniem boolowskim, a tożsamość dalej jest spełniona. Przykład. Mamy wyrażenie (A+B)(A+CD). Przyjmiemy X=A, Y=B, Z=CD. Na mocy drugiego prawa rozdzielności mamy: (A+B)(A+CD)=A+BCD.

Zastosowanie algebry Boole’a. Przekształcenie wyrażeń boolowskich

Udowodnij, że lewa strona jest równa prawej. Zastosowanie algebry Boole’a Udowodnij, że lewa strona jest równa prawej. prawo przemienności drugie prawo rozdzielności prawo sprzeczności drugie prawo rozdzielności prawo sprzeczności prawo przemienności

Zastosowanie algebry Boole’a Udowodnij, że lewa strona jest równa prawej L= Prawo De Morgana Prawo De Morgana L=P

Zastosowanie algebry Boole’a Znajdowanie dopełnień: - przez zamianę jedynek na zera i zer na jedynki w kolumnie tablicy prawdy opisującej wartości funkcji; - algebraicznie, stosując prawa De Morgana; - na podstawie wyrażeń dualnych.

Zastosowanie algebry Boole’a Znaleźć dopełnienie funkcji prawo De Morgana

Zastosowanie algebry Boole’a Znaleźć dopełnienie funkcji Bierzemy w nawiasy wyrazy pierwotnej funkcji Zapisujemy wyrażenie dualne do funkcji F Negujemy każdy literał

Standardowe postacie wyrażeń boolowskich Formuły standardowe zawierają ; wyrazy iloczynowe (np., ) oraz wyrazy sumacyjne (np., ) Iloczyn, w którym wszystkie zmienne występują dokładnie jeden raz, zarówno w postaci prostej, jak i zanegowanej, nazywa się mintermem.

Standardowe postacie wyrażeń boolowskich Minterm – przedstawia sobą dokładnie jedną kombinację zmiennych binarnych w tablicy prawdy; – ma wartość 1 dla tej kombinacji i 0 dla wszystkich pozostałych kombinacji.

Własności mintermów 1. Dla n zmiennych istnieje dokładnie różnych mintermów. 2. Dowolna funkcja boolowska może być wyrażona w postaci sumy logicznej mintermów. 3. Dopełnienie funkcji zawiera te mintermy, których nie zawiera pierwotna funkcja. 4. Funkcja, która zawiera wszystkie mintermów, jest równa logicznej 1.

Mintermy trzech zmiennych x y z Wyraz iloczynowy Symbol mintermu m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 1

Standardowe postacie wyrażeń boolowskich Funkcja boolowska może być przedstawiona algebraicznie na podstawie tablicy prawdy przez utworzenie sumy logicznej wszystkich mintermów, dla których funkcja daje wartość 1. Takie wyrażenie nosi nazwę sumy mintermów. Suma mintermów stanowi standardową postać wyrażenia logicznego.

Standardowe postacie wyrażeń boolowskich Wyraz sumacyjny, który zawiera wszystkie zmienne w postaci prostej bądź zanegowanej nazywany jest makstermem. Maksterm – przedstawia sobą dokładnie jedną kombinację zmiennych binarnych w tablicy prawdy; – ma wartość 0 dla tej kombinacji i 1 dla wszystkich pozostałych kombinacji.

Makstermy trzech zmiennych x y z Wyraz sumacyjny Symbol makstermu M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 x+y+z 1

Standardowe postacie wyrażeń boolowskich Funkcja boolowska może być przedstawiona algebraicznie na podstawie tablicy prawdy przez utworzenie iloczynu logicznego wszystkich makstermów, dla których funkcja daje wartość 0. Takie wyrażenie nosi nazwę iloczynu sum. Iloczyn makstermów stanowi standardową postać wyrażenia logicznego.

Sposoby zapisu funkcji logicznych Zapis algebraiczny Tablica prawdy Wektor prawdy Postać DCF Postać CCF Postać FDCF Postać FCCF

Zapis algebraiczny Przykład.. Funkcja boolowska jest opisana za pomocą równania boolowskiego składającego ze zmiennej binarnej, która poprzedza znak równości i wyrażenie boolowskie. Opcjonalnie, po identyfikatorze funkcji następuje, ujęta w nawiasy, lista zmiennych, rozdzielonych przecinkami.

Tablica prawdy Tablica prawdy (ang.Truth Table) to zestawienie w kolejnych wierszach tablicy wszystkich możliwych kombinacji wartości logicznych argumentów funkcji zdaniowej i dokładnie należących od nich wartości logicznych tejże funkcji. Kombinacje te muszą być uporządkowane tak, aby tworzyły kolejne liczby naturalne zapisane w systemie dwójkowym.

Tablica prawdy bramki AND

Wektor prawdy

Standardowe postaci funkcji boolowskich 1. Postać DCF ( postać dysjunkcyjna normalna)- to jest dysjunkcja koniunkcji normalnych, na przykład: 2. Postać CCF ( postać koniunkcyjna normalna) - to jest koniunkcja dysjunkcji elementarnych, na przykład:

Standardowe postaci funkcji boolowskich 3. Postać FDCF (SOP) Full Disjunktive Canonical Form (Sum of Products) To postać dysjunkcyjna, której składnikami są mintermy (ang. minterm – to iloczyn wszystkich zmiennych danej funkcji, przy czym zmienne te mogą występować jako proste lub zanegowane) - jest to tzw. konstytuenta „1”.

Standardowe postaci funkcji boolowskich 4. Postać FCCF (POS) Full Conjunctive Canonical Form (Product of Sum) To postać koniunkcyjna, której składnikami są makstermy (ang. maksterm – to suma wszystkich zmiennych danej funkcji, przy czym zmienne te mogą występować jako proste lub zanegowane) - jest to tzw. konstytuenta „0”.

Uzyskiwanie postaci FDCF i FCCF

1. Przekształcenia algebraiczne

1. Przekształcenia algebraiczne (c.d.) Przykład. Przedstawić funkcję w postaci FDCF.

1.Przekształcenia algebraiczne

1. Przekształcenia algebraiczne Przykład. Przedstawić funkcję w postaci FCCF. postać CCF

2. Algorytm tworzenia FDCF na podstawie tablicy prawdy Z tablicy wybrać zestawy zmiennych, dla których funkcja równa się 1; Dla tych zestawów stworzyć konstytuenty jedynki, zawierające zmienną z inwersją, jeśli przybiera ona w zbiorze wartość 0 i bez inwersji, jeśli przybiera ona postać 1; Zbudować dysjunkcię uzyskanych konstytuent 1.

2. Algorytm tworzenia FCCF na podstawie tablicy prawdy Z tablicy wybrać zestawy zmiennych, dla których funkcja równa się 0; Dla tych zestawów stworzyć konstytuenty zera, zawierające zmienną z inwersją, jeśli przybiera ona w zbiorze wartość 1 i bez inwersji, jeśli przybiera ona postać 0; Zbudować koniunkcję uzyskanych konstytuent 0.

Tworzenie funkcji w postaci FDCF na podstawie tablicy prawdy Przykład.

Tworzenie funkcji w postaci FCCF na podstawie tablicy prawdy

Tworzenie funkcji w postaci FDCF i FCCF na podstawie tablicy prawdy

Tworzenie funkcji w postaci FDCF i FCCF na podstawie tablicy prawdy

Dziękuję za uwagę

Prawa Algebry Boole’a Tablice prawdy do weryfikacji twierdzenia De Morgana 1 x+y y x 1 x y y x