STATYSTYKA – kurs podstawowy wykład 7 dr Dorota Węziak-Białowolska Instytut Statystyki i Demografii

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE cd

Metody wnioskowania statystycznego ESTYMACJAWERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Sprawdzenie słuszności przypuszczeń dotyczących: 1.rozkładu cechy statystycznej, a dokładniej jego dystrybuanty – hipotezy nieparametryczne 2.parametrów rozkładu cechy – hipotezy parametryczne Hipotezy zawierają przypuszczenia dotyczące populacji

Obowiązujące testy istotności: 1. Testy parametryczne Test dla średniej Test dla hipotezy o równości średnich Test dla średniej różnicy par wartości (porównanie średnich dla prób zależnych) Test dla frakcji elementów wyróżnionych Test dla równości dwóch frakcji Test dla hipotezy o równości wielu średnich (analiza wariancji) 2. Testy nieparametryczne Test zgodności chi-kwadrat

TEST DLA ŚREDNIEJ RÓŻNICY PAR WARTOŚCI (PRÓBY ZALEŻNE)

Metoda rozstrzygania o istnieniu różnic między średnimi w jednej populacji poddanej dwóm pomiarom (np. w dwóch momentach czasu lub oceniającej dwa różne produkty) -pomiar początkowy -pomiar końcowy ale przeprowadzone na jednej i tej samej próbie Hipoteza zerowa: H 0 : m 1 = m 2 (m 1 - m 2 = 0) – średnie w obu pomiarach są identyczne Hipoteza alternatywna: H 1 : m 1 ≠ m 2 (m 1 - m 2 ≠ 0) – średnie w obu pomiarach różnią się

Statystyka testująca: rozkład t – Studenta v = n – 1 gdzie: Różnica między wynikami pomiaru początkowego i końcowego dla i-tej jednostki obserwacji Średnia z różnic między wynikami pomiaru początkowego i końcowego dla i-tej jednostki obserwacji Odchylenie standardowe z różnic między wynikami pomiaru początkowego i końcowego dla i-tej jednostki obserwacji

Obszar odrzucenia wyznacza wartość t α,v odczytania z tablic wartości krytycznych rozkładu t – Studenta Kształt obszaru odrzucenia zależy od sposobu sformułowania hipotezy alternatywnej: może to być obszar dwustronny lub jednostronny

Przykład (na podstawie Metody ilościowe w badaniach marketingowych, M. Rószkiewicz, PWN, Warszawa 2002) W teście mającym na celu porównanie walorów smakowych jogurtu przedstawiono 5 losowo wybranym konsumentom ofertę dwóch marek. Respondenci wyrażali swoje poglądy na skali od 0 do 100. Wyniki zestawiono w tabeli: dwie próby zależne n = 5 Czy na podstawie uzyskanych wyników można uznać, że walory smakowe marki A są lepiej oceniane niż walory smakowe marki B ? RespondentMarka AMarka B Test dla średniej różnicy par wartości

Przykład (na podstawie Metody ilościowe w badaniach marketingowych, M. Rószkiewicz, PWN, Warszawa 2002) H 0 : m A = m B (m A - m B = 0) – średnia ocena walorów smakowych jogurtu marki A jest taka sama jak średnia ocena walorów smakowych jogurtu marki B H 1 : m A > m B (m A - m B > 0) – średnia ocena walorów smakowych jogurtu marki A jest wyższa niż średnia ocena walorów smakowych jogurtu marki B RespondentMarka AMarka B Różnica ocen

Przykład (na podstawie Metody ilościowe w badaniach marketingowych, M. Rószkiewicz, PWN, Warszawa 2002) RespondentMarka AMarka B Różnica ocen

Przykład (na podstawie Metody ilościowe w badaniach marketingowych, M. Rószkiewicz, PWN, Warszawa 2002) H 0 : m A = m B (m A - m B = 0) – średnia ocena walorów smakowych jogurtu marki A jest taka sama jak średnia ocena walorów smakowych jogurtu marki B H 1 : m A > m B (m A - m B > 0) – średnia ocena walorów smakowych jogurtu marki A jest wyższa niż średnia ocena walorów smakowych jogurtu marki B

Obszar odrzucenia przy wnioskowaniu o średniej i frakcji HIPOTEZA ZEROWA H 0 : m = m 0 ; H 0 : p = p 0 ; H 0 : m 1 = m 2 ; H 0 : p 1 = p 2 ; Wariant II H 1 : m > m 0 ; H 1 : p > p 0 ; H 1 : m 1 > m 2 ; H 1 : p 1 > p 2 ; prawostronny obszar odrzucenia α u 2α t 2α,v utut f(u) f(t)

Przykład (na podstawie Metody ilościowe w badaniach marketingowych, M. Rószkiewicz, PWN, Warszawa 2002) H 0 : m A = m B (m A - m B = 0) – średnia ocena walorów smakowych jogurtu marki A jest taka sama jak średnia ocena walorów smakowych jogurtu marki B H 1 : m A > m B (m A - m B > 0) – średnia ocena walorów smakowych jogurtu marki A jest wyższa niż średnia ocena walorów smakowych jogurtu marki B f(t) t α=0,01 t 2α,v = t 0,02;4 = 3,747 Małe rozbieżności Duże rozbieżności

Na poziomie istotności 0,01 odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej = przyjmujemy za prawdziwą hipotezę alternatywną H 1. Oznacza to, że średnia ocena walorów smakowych jogurtu marki A jest wyższa niż średnia ocena walorów smakowych jogurtu B. Musimy liczyć się z ryzykiem podjęcia błędnej decyzji, czyli odrzucenia hipotezy zerowej,mimo że jest ona prawdziwa (błąd I rodzaju). Ryzyko to wynosi α = 0,05.

TEST DLA HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WIELU ŚREDNICH (ANALIZA WARIANCJI = ANOVA)

Metoda rozstrzygania o istnieniu różnic między średnimi w kilku populacjach Hipoteza zerowa: H 0 : m 1 = m 2 = … = m r – średnie we wszystkich wyodrębnionych populacjach są identyczne Hipoteza alternatywna: H 1 : m i ≠ m j, dla co najmniej jednej pary wskaźników i, j (i ≠ j) (H 1 : nieprawda, że m 1 = m 2 = … = m r ) – średnie w co najmniej dwóch wyodrębnionych populacjach różnią się

TEST DLA HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WIELU ŚREDNICH (ANALIZA WARIANCJI = ANOVA) Metoda rozstrzygania o istnieniu wpływu kontrolowanej cechy (czynnika) na rozkład innych cech Hipoteza zerowa: H 0 : m 1 = m 2 = … = m r – badany czynnik nie ma wpływu na rozkład analizowanej cechy Hipoteza alternatywna: H 1 : m i ≠ m j, badany czynnik ma wpływ na rozkład analizowanej cechy, ponieważ dla co najmniej jednej pary wskaźników i, j (i ≠ j) średnie (H 1 : nieprawda, że m 1 = m 2 = … = m r ) – średnie w co najmniej dwóch wyodrębnionych populacjach różnią się

TEST DLA HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WIELU ŚREDNICH (ANALIZA WARIANCJI = ANOVA) Założenia: 1.Próby zostały pobrane niezależnie od siebie z każdej z r populacji 2.W każdej z analizowanych populacji cecha ma rozkład normalny o tej samej wariancji σ 2 σ 1 2 = σ 2 2 = … = σ r 2 = σ 2

TEST DLA HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WIELU ŚREDNICH (ANALIZA WARIANCJI = ANOVA) Statystyka testująca: v 1 = r – 1 v 2 =n – r Obszar odrzucenia wyznacza wartość odczytania z tablic wartości krytycznych rozkładu F Obszar odrzucenia jest zawsze prawostronny: <, + ∞) y=F(x;3;15) 0,00,51,01,52,02,53,03,54,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 r – liczba badanych (porównywanych) populacji n – łączna liczba jednostek we wszystkich próbach

ROZKŁAD F-Snedecora Jeśli zmienna losowa ciągła F ma funkcję gęstości postaci: dla F < 0 dla F ≤ 0 to zmienna losowa F ma rozkład F-Snedecora (lub krótko rozkład F) W tym rozkładzie jedynymi parametrami (stałymi) są „liczby stopni swobody” v 1 i v 2. Oznacza to, że kształt wykresu funkcji f(F) zależy tylko od wartości v 1 i v 2 v 1 = 3, v 2 = 3

ROZKŁAD F-Snedecora Parametry w tym rozkładzie: 1.Wartość oczekiwana 2.Wariancja Wartości prawdopodobieństw w rozkładzie F zostały policzone i zawierają je tablice statystyczne (wartości krytyczne rozkładu F). Są to wartości obliczone dla warunku α 1-α

Dla v 1 = 10 i v 2 = 15

TEST DLA HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WIELU ŚREDNICH (ANALIZA WARIANCJI = ANOVA) Statystyka testująca: r – liczba badanych populacji n – łączna liczba jednostek we wszystkich próbach n i – liczba jednostek w i-tej próbie Średnia w i-tej próbie Średnia w całej badanej grupie

TEST DLA HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WIELU ŚREDNICH (ANALIZA WARIANCJI = ANOVA) Statystyka testująca: r – liczba badanych populacji n – łączna liczba jednostek we wszystkich próbach n i – liczba jednostek w i-tej próbie Suma kwadratów odchyleń międzygrupowych Suma kwadratów odchyleń wewnątrzgrupowych

TEST DLA HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WIELU ŚREDNICH (ANALIZA WARIANCJI = ANOVA) TABLICA ANALIZY WARIANCJI RÓWNOŚĆ WARIANCYJNASST = SSB + SSE Źródło zmienności Suma kwadratów odchyleń Stopnie swobody Średni kwadrat odchyleń Zróżnicowanie międzygrupowe SSBr – 1MSB Zróżnicowanie wewnątrzgrupowe SSEn – rMSE Zróżnicowanie całkowite SST r – 1 + n – r = n – 1 -

Przykład (na podstawie Metody ilościowe w badaniach marketingowych, M. Rószkiewicz, PWN, Warszawa 2002) W firmie oferującej soki owocowe na rynki lokalne w celu zwiększenia wielkości sprzedaży podjęto próbę ustalenia, czy kolor opakowania soku ma wpływ na wielkość sprzedaży. W ustalonym dniu w wybranych losowo 21 punktach sprzedaży zorganizowano eksperyment polegający na sprzedaży soku w opakowaniu ustalonego koloru: w 7 punktach sprzedawano soki tylko w opakowaniach niebieskich, w 7 punktach sprzedawano soki tylko w opakowaniach zielonych, w 7 punktach sprzedawano soki tylko w opakowaniach białych. Zaobserwowano następujące ilości sprzedaży Kolor opakowania Wielkość sprzedaży w poszczególnych punktach Zielony Niebieski Biały

Przykład (na podstawie Metody ilościowe w badaniach marketingowych, M. Rószkiewicz, PWN, Warszawa 2002) r = 3, n z = n n = n b = 7, n = 21 Kolor opakowania Wielkość sprzedaży w poszczególnych punktach Zielony Niebieski Biały Czy te średnie różnią się na tyle znacząco, aby uznać, że przeciętne ilości sprzedanych soków we wszystkich punktach sprzedaży (cała populacja) różnią się w zależności od koloru opakowania? Czy te średnie różnią się na tyle znacząco, aby uznać, że kolor opakowania ma wpływ na ilość sprzedawanych opakowań?

Przykład (na podstawie Metody ilościowe w badaniach marketingowych, M. Rószkiewicz, PWN, Warszawa 2002) r = 3, n z = n n = n b = 7, n = 21 Kolor opakowania Wielkość sprzedaży w poszczególnych punktach Zielony Niebieski Biały Hipoteza zerowa: H 0 : m 1 = m 2 = m 3 – kolor opakowania soku nie ma wpływu na wielkość sprzedaży; średnie wielkości sprzedaży nie różnią się ze względu na testowane kolory opakowania; Hipoteza alternatywna: H 1 : m i ≠ m j, kolor opakowania soku ma wpływ na wielkość sprzedaży (H 1 : nieprawda, że m 1 = m 2 = … = m r ) – średnie wielkości sprzedaży ze względu na co najmniej dwa testowane kolory opakowania różnią się

Statystyka testująca: r – liczba badanych populacji n – łączna liczba jednostek we wszystkich próbach n i – liczba jednostek w i-tej próbie r = 3, n z = n n = n b = 7 Średnia w i-tej próbie Średnia w całej badanej grupie

Przykład (na podstawie Metody ilościowe w badaniach marketingowych, M. Rószkiewicz, PWN, Warszawa 2002) r = 3, n z = n n = n b = 7 Kolor opakowania Wielkość sprzedaży w poszczególnych punktach Zielony Niebieski Biały

Przykład (na podstawie Metody ilościowe w badaniach marketingowych, M. Rószkiewicz, PWN, Warszawa 2002) r = 3, n z = n n = n b = 7 Kolor opakowania Wielkość sprzedaży w poszczególnych punktach Zielony Niebieski Biały Obszar odrzucenia wyznacza wartość odczytania z tablic wartości krytycznych rozkładu F Obszar odrzucenia jest zawsze prawostronny: <, + ∞) <3,55 ; + ∞), zatem F obl = 114,54 należy do obszaru odrzucenia v 1 = r – 1 = 2 v 2 =n – r = 18

Na poziomie istotności 0,05 odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej = przyjmujemy za prawdziwą hipotezę alternatywną H 1. Oznacza to, że kolor opakowań ma wpływ na wielkość sprzedaży; Podejmując taką decyzję, musimy liczyć się z ryzykiem, że jest ona błędna, czyli że odrzucamy hipotezę zerową mimo że jest ona prawdziwa (błąd I rodzaju). Ryzyko to wynosi α = 0,05.

TABLICA ANALIZY WARIANCJI RÓWNOŚĆ WARIANCYJNASST = SSB + SSE Źródło zmienności Suma kwadratów odchyleń Stopnie swobody Średni kwadrat odchyleń Zróżnicowanie międzygrupowe SSB = 432,7r – 1 =2MSB = 216,35 Zróżnicowanie wewnątrzgrupowe SSE = 34n – r = 18MSE = 1,89 Zróżnicowanie całkowite SST = 464,7 r – 1 + n – r = n – 1 = 20 -

TEST ZGODNOŚCI Z ROZKŁADEM NORMALNYM CHI – KWADRAT (χ 2 )

Hipoteza zerowa: H 0 : F(x) = F 0 (x) – populacja generalna ma rozkład określony dystrybuantą rozkładu normalnego o parametrach m i σ Hipoteza alternatywna: H 1 : F(x) ≠ F 0 (x) – populacja generalna nie ma rozkładu określonego dystrybuantą rozkładu normalnego o parametrach m i σ W hipotezach mogą zostać podane konkretne wartości liczbowe parametrów m i σ, ale nie muszą

TEST ZGODNOŚCI Z ROZKŁADEM NORMALNYM CHI – KWADRAT (χ 2 ) Do weryfikacji hipotezy zerowej potrzebna jest duża próba Wyniki grupujemy w rozkład empiryczny z r rozłącznymi klasami (przedziałami) Rozkład należy określić w ten sposób, aby liczebności teoretyczne ( = n * p i ) w poszczególnych klasach były nie mniejsze niż 5 Tylko wtedy rozkład chi-kwadrat jest dobrym przybliżeniem rozkładu statystyki testującej przy założeniu hipotezy zerowej

TEST ZGODNOŚCI Z ROZKŁADEM NORMALNYM CHI – KWADRAT (χ 2 ) 1.Formujemy przypuszczenie co do kształtu rozkładu analizowanej cechy – wyrażamy je w postaci hipotezy zerowej i alternatywnej 2.Obliczamy częstości występowania pewnych zdarzeń, których się spodziewamy, zakładając, że hipoteza zerowa jest prawdziwa (częstości oczekiwane, częstości teoretyczne) 3.Porównujemy różnice między częstościami zaobserwowanymi w próbie oraz tymi oczekiwanymi

TEST ZGODNOŚCI Z ROZKŁADEM NORMALNYM CHI – KWADRAT (χ 2 ) 1.Formujemy przypuszczenie co do kształtu rozkładu analizowanej cechy – wyrażamy je w postaci hipotezy zerowej i alternatywnej 2.Obliczamy częstości występowania pewnych zdarzeń, których spodziewamy się zakładając, że hipoteza zerowa jest prawdziwa (częstości oczekiwane) 3.Porównujemy różnice między częstościami zaobserwowanymi w próbie oraz tymi oczekiwanymi PRZYKŁAD Na pisemny egzamin ze statystyki przeznaczonych jest 120 min. Wylosowano 240 studentów i zmierzono im czas rozwiązywania zadań testowych. Czy czas rozwiązywania zadań jest zgodny z rozkładem normalnym? (x 0i -x 1i > nini H 0 : F(x) = F 0 (x) – czas pisania egzaminu ze statystyki ma rozkład normalny o parametrach m i σ H 1 : F(x) ≠ F 0 (x) – czas pisania egzaminu ze statystyki nie ma rozkładu normalnego o parametrach m i σ

TEST ZGODNOŚCI Z ROZKŁADEM NORMALNYM CHI – KWADRAT (χ 2 ) 1.Formujemy przypuszczenie co do kształtu rozkładu analizowanej cechy – wyrażamy je w postaci hipotezy zerowej i alternatywnej 2.Obliczamy częstości występowania pewnych zdarzeń, których spodziewamy się, zakładając, że hipoteza zerowa jest prawdziwa (częstości oczekiwane) 3.Porównujemy różnice między częstościami zaobserwowanymi w próbie oraz tymi oczekiwanymi (x 0i -x 1i > nini

TEST ZGODNOŚCI Z ROZKŁADEM NORMALNYM CHI – KWADRAT (χ 2 ) Statystyka testująca: Obszar odrzucenia wyznacza wartość odczytania z tablic wartości krytycznych rozkładu Obszar odrzucenia jest zawsze prawostronny: <, + ∞) v = r – k – 1 r – liczba klas w rozkładzie empirycznym k – liczba parametrów rozkładu, które należy oszacować MNW w celu wyznaczenia prawdopodobieństw p i, jeśli rozkład hipotetyczny nie został określony z dokładnością co do wartości parametrów n i – liczebność i-tej klasy (przedziału) w rozkładzie empirycznym - liczebność teoretyczna i-tej klasy w rozkładzie empirycznym; liczebność i-tej klasy w rozkładzie empirycznym, gdyby rozkład badanej cechy był rozkładem normalnym

ROZKŁAD chi-kwadrat Jeśli zmienna losowa ciągła χ 2 ma funkcję gęstości postaci: dla to zmienna losowa χ 2 ma rozkład chi-kwadrat W tym rozkładzie jedynym parametrem (jedyną stałą) jest „liczba stopni swobody” v Oznacza to, że kształt wykresu funkcji f(χ 2 ) zależy tylko od wartości v Tak samo jak w przypadku rozkładu t-Studenta v = 5v = 10v = 15 Wraz ze wzrostem liczby stopni swobody v rozkład chi-kwadrat, choć z natury asymetryczny, zatraca swoją skośność. Rozkładem granicznym dla rozkładu chi-kwadrat jest rozkład normalny.

ROZKŁAD chi-kwadrat Parametry w tym rozkładzie: 1.Wartość oczekiwana E(χ 2 ) = v 2.Wariancja D 2 (χ 2 ) = 2v Wartości prawdopodobieństw w rozkładzie chi-kwadrat zostały policzone i zawierają je tablice statystyczne (wartości krytyczne rozkładu chi-kwadrat) Są to wartości obliczone dla warunku α 1-α

Dla v = 10