© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych - laboratorium, Studium Magisterskie Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, Kierunek Biotechnologia, Prof. Antoni Kozioł MATEMATYCZNE MODELOWANIE PROCESÓW BIOTECHNOLOGICZNYCH Zajęcia – 2 Metody numeryczne rozwiązywania równań liczbowych i układów równań liczbowych

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł Zawartość tematyczna 1. Uwagi ogólne 2. Błąd pierwiastka i równania 3. Metoda bisekcji 4. Metoda „regula falsi” 5. Metoda siecznej 6. Metoda Newtona (stycznej) 7. Metoda iteracji prostej 8. Numeryczne rozwiązywanie układów równań

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ Numeryczne rozwiązywanie tego równania polega na konstrukcji ciągu liczbowego zbieżnego do szukanego pierwiastka: Załóżmy że mamy do rozwiązania równanie: szukany pierwiastek równania.

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 4 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ W związku z tym, że w praktyce zamiast granicy należy przyjąć konkretny, skończony wyraz ciągu, w metodach numerycznych dużą rolę odgrywa zagadnienie dokładności obliczeń lub też błędu pierwiastka lub równania. Błędem pierwiastka będziemy nazywać wartość absolutną różnicy rzeczywistego pierwiastka x * a konkretnym wyrazem x i ciągu liczbowego kończącym konstrukcję: Błędem równania nazywamy wartość absolutną różnicy rzeczywistych wartości funkcji F i G w punkcie x i :

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 5 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ Konstrukcję ciągu {x i } kończy się gdy błąd pierwiastka lub błąd równania (lub obydwu wartości) będzie mniejszy od z góry zadanej liczby dodatniej ε.

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 6 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ Istnieje kilka metod przybliżonego (numerycznego) rozwiązywania równań z jedną niewiadomą. Tutaj zaprezentuję Państwu 5 takich metod. Wszystkie metody zostaną przedstawione w postaci algorytmów (przepisów) za pomocą kolejnych kroków. 1.Metoda połowienia przedziału (bisekcji) Metodę stosujemy do równania postaci: Krok 1° - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy przedział [a 0,b 0 ], w którym funkcja F(x) ma na brzegach przedziału różne znaki czyli spełnia warunek: Jeżeli funkcja F jest ciągła to wiemy wtedy że pierwiastek znajduje się w przedziale [a 0,b 0 ].

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 7 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ Krok 2° - Dzielimy przedział na pół tzn. zakładamy że pierwszym przybliżeniem pierwiastka jest środek przedziału:

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ –Metoda bisekcji cd. Krok 3° - Badamy znak funkcji F(x) w punkcie x 1 i porównujemy ze znakami tej funkcji na brzegach przedziału. Porównanie to daje nam informację, w której połówce znajduje się szukany pierwiastek. Jest on zawsze tam gdzie znaki na brzegach są różne. Po tej lokalizacji pierwiastka do dalszej procedury bierzemy odpowiednią połówkę. W tym celu środek przedziału podstawiamy jako brzeg b 1 lub a 1.

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 9 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ –Metoda bisekcji cd. Krok 4° - Wracamy do kroku 2 tzn. nowy przedział dzielimy na pół i znajdujemy drugie przybliżenie pierwiastka x 2. Następnie powtarzamy krok 3° itd. Powstaję w ten sposób typowa pętla numeryczna, którą przerywamy wtedy gdy osiągniemy żądaną dokładność obliczeń. Żądaną dokładność obliczeń na ogół określa się wybierają pewną dostatecznie małą dodatnią liczbę ε, np. ε = Pętla kolejnych obliczeń zostaje przerwana, gdy długość aktualnego przedziału będzie mniejsza od zadanej dokładności, tzn.:

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ –Metoda bisekcji cd. W przypadku metody bisekcji można z góry określić liczbę kroków wymaganą do osiągnięcia żądanej dokładności. Konstrukcja metody prowadzi do wzoru:

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 11 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ –Metoda bisekcji cd. Graficzna ilustracja metody bisekcji: x y a0a0 b0b0 x* x1x1 F(b 0 ) F(a 0 ) y=F(x) Metoda bisekcji jest zawsze zbieżna, pod warunkiem znalezienia przedziału [a 0,b 0 ] x2x2

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 12 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ –Metoda „regula falsi” 2.Metoda „regula falsi” Metodę stosujemy do równania postaci: Krok 1° - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy przedział [a 0,b 0 ], w którym znajduje się szukany pierwiastek x *. Funkcja F(x) ma wtedy na brzegach przedziału różne znaki czyli musi spełniać warunek:

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 13 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ –Metoda „regula falsi” Krok 2° - Zakładamy, że w przedziale tym funkcja jest liniowa. Prowadzi to do następującego wzoru określającego pierwsze przybliżenie pierwiastka: Otrzymany punkt x 1 dzieli pierwotny przedział na dwa na ogół nierówne podprzedziały. W jednym z tych podprzedziałów będzie się znajdował szukany pierwiastek.

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ – metoda „regula falsi” cd. Krok 3° - Obliczamy wartość funkcji F(x) w punkcie x 1 a znak tej wartości porównujemy ze znakami tej funkcji na brzegach przedziału. Porównanie to daje nam informację, w którym podprzedziale znajduje się szukany pierwiastek. Jest on zawsze tam gdzie znaki na brzegach są różne. Po tej lokalizacji pierwiastka do dalszej procedury wybieramy odpowiedni podprzedział. W tym celu obliczony punkt x 1 podstawiamy jako brzeg b 1 lub a 1.

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 15 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ – metoda „regula falsi” cd. Krok 4° - Wracamy do kroku 2 tzn. nowy przedział dzielimy na dwie części za pomocą założenia liniowości i znajdujemy drugie przybliżenie pierwiastka x 2. Wzór wynikający z tego założenia dla i – tego przybliżenia jest następujący:

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ – metoda „regula falsi” cd. Następnie powtarzamy krok 3° itd. Pętla kolejnych obliczeń zostaje przerwana, gdy długość aktualnego przedziału będzie mniejsza od zadanej dokładności, tzn.: W przypadku metody „regula falsi” nie można z góry określić liczby kroków koniecznych do osiągnięcia żądanej dokładności.

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 17 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ – metoda „regula falsi” cd. Graficzna ilustracja metody „regula falsi”: x y a0a0 b0b0 x* x1x1 F(b 0 ) F(a 0 ) y=F(x) Metoda „regula falsi” podobnie jak metoda bisekcji jest zawsze zbieżna, pod warunkiem znalezienia przedziału [a 0,b 0 ] x2x2

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ –Metoda siecznej 3.Metoda siecznej Metodę stosujemy do równania postaci: Krok 1° - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy dwie różne liczby a i b leżące w pobliżu szukanego pierwiastka x *. Następnie obliczamy wartości funkcji F(a) i F(b). W zależności od tych wartości określamy dwa pierwsze przybliżenia x 1 i x 2 :

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 19 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ –Metoda siecznej Krok 2° - Na podstawie znajomości wartości funkcji w dwu poprzednich przybliżeniach obliczmy wartość kolejnego przybliżenia stosując wzór zakładający liniową postać funkcji (prowadzimy sieczną przez te punkty – stąd nazwa metody) : Otrzymujemy w ten sposób ciąg kolejnych wartości pierwiastka x 1,x 2,…x i,…

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 20 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ – metoda siecznej cd. W celu oszacowania dokładności na każdym etapie obliczamy wartość szacunkowego błędu : Na ogół pętlę obliczeń przerywa się gdy: Metoda siecznej może być rozbieżna tzn. kolejne błędy mogą wzrastać. W takim przypadku należy zmienić punkty startowe lub metodę.

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł x 2 x 1 21 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ – metoda siecznej cd. Graficzna ilustracja metody siecznej: y x F(x 1 ) F(x 2 ) x3x3 x*x* y=F(x)

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ – Metoda Newtona (stycznej) 4.Metoda Newtona (stycznej) Metoda ta jest bardzo znana i często stosowana. Warunkiem stosowalności metody jest różniczkowalność funkcji F w pobliżu pierwiastka. Ponadto wartość pochodnej funkcji F musi być różna od zera. Oznacza to, że metoda nie nadaje się do równań, w których pierwiastek jest jednocześnie ekstremum lub punktem przegięcia. Metodę stosujemy do równań w postaci:

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ – Metoda Newtona (stycznej) Krok 1° - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy przybliżoną wartość pierwiastka x 1 oraz przyjmujemy że i=1 Krok 2° - Różniczkujemy funkcję F(x) i obliczamy pochodną F’(x i ) Krok 3° - Obliczamy przybliżenie następne x i+1 za pomocą wzoru iteracyjnego (na podstawie przybliżenia poprzedniego x i ) Istotą metody Newtona jest przyjęcie że funkcja ma w pobliżu pierwiastka przebieg liniowy zbliżony do stycznej jej wykresu w punkcie x i. Wzór powyższy wynika z tego założenia.

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 24 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ – Metoda Newtona (stycznej) Krok 4° - Obliczamy różnicę |x i+1 -x i | i porównujemy ją z zadaną dokładnością ε. Krok 5° - Jeżeli aktualna dokładność jest mniejsza od założonej to zwiększamy numer i o 1 i wracamy do kroku 3°. Obliczenia przerywamy po uzyskaniu zadanej dokładności.

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 25 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ – Metoda Newtona cd. Graficzna ilustracja metody stycznej: y x x 1 F(x 1 ) x*x* y=F(x) Metoda Newtona może być rozbieżna. W takim przypadku należy albo poszukać nowego przybliżenia początkowego albo przekształcić równanie do innej postaci albo też zmienić metodę. x2x2 x3x3

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ – Metoda iteracji prostej 5.Metoda iteracji prostej Jest to najprostsza z istniejących metod numerycznych. Metodę stosujemy do równań postaci: Krok 1° - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy przybliżoną wartość pierwiastka x 1 oraz przyjmujemy że i=1 Krok 2° - Obliczamy przybliżenie następne x i+1 za pomocą wzoru iteracyjnego (na podstawie przybliżenia poprzedniego x i ) będącego bezpośrednim zapisem równania:

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 27 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ – Metoda iteracji prostej Krok 3° - Obliczamy różnicę |x i+1 -x i | i porównujemy ją z zadaną dokładnością ε. Krok 4° - Jeżeli aktualna dokładność jest mniejsza od założonej to zwiększamy numer i o 1 i wracamy do kroku 2°. Obliczenia przerywamy po osiągnięciu zadanej dokładności. Również metoda iteracji prostej dosyć często jest rozbieżna. W takim przypadku zmiana przybliżenia początkowego nic nie daje. Należy albo przekształcić równanie do innej postaci albo też zmienić metodę.

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł x2x2 28 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ – Metoda iteracji prostej cd. Za pomocą ilustracji graficznej można pokazać przypadki, w których metoda ta jest zbieżna lub rozbieżna. Rozpatrzmy najpierw funkcje rosnące. x y y=f(x) y=x x*x* f(x 1 ) f(x 2 ) x y y=x y=f(x) f(x 1 ) f(x 2 ) Metoda zbieżna Metoda rozbieżna x* x1x1 x2x2 x3x3 x1x1 x3x3

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 29 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ – Metoda iteracji prostej cd. A teraz funkcje malejące. x y y=f(x) y=x x*x* x1x1 f(x 1 ) f(x 2 ) x y y=x y=f(x) f(x 1 ) f(x 2 ) Metoda zbieżna x 2 Metoda rozbieżna x3x3 x*x* x1x1 x2x2 x3x3

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 30 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ – Metoda iteracji prostej cd. Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna to można w prosty sposób określić zbieżność metody iteracji prostej. O zbieżności metody decyduje następujące twierdzenie: Jeżeli w pobliżu pierwiastka równania x=f(x) pochodna funkcji f spełnia warunek: to metoda jest zbieżna. Jeżeli natomiast to metoda jest rozbieżna.

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł Numeryczne rozwiązywanie układów równań 1. Metoda iteracji prostej 2. Metoda Newtona – Raphsona

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 32 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ Układem równań nazywamy n równości, w których występuje na ogół n niewiadomych. Każdy układ równań daje się sprowadzić do postaci:

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 33 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ Przykładowy układ równań

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 34 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ Układ równań możemy zapisać w postaci wektorowej:

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 35 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ Układy podobnie jak pojedyncze równania można rozwiązywać metodami analitycznymi (dokładnymi) lub numerycznymi (przybliżonymi). Analitycznie można rozwiązywać np. układy równań liniowych lub niektóre proste układy nieliniowe. W metodach numerycznych konstruuje się ciąg wektorów zbieżny do wektora pierwiastków niewiadomych. W związku z tym, że jest to ciąg wektorowy, charakter wektorowy ma również dokładność pierwiastka i dokładność równań.

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 36 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ W celu stwierdzenia kiedy należy zakończyć konstrukcję ciągu rozwiązań konieczne jest znormalizowanie (czyli „zmierzenie”) powyższych wektorów. Najczęściej stosowane są dwie normy: jednostajna i średniokwadratowa. Stosowanie normy jednostajnej jest bardziej rygorystyczne niż normy średniokwadratowej, tzn. że norma jednostajna zazwyczaj prowadzi do dłuższych obliczeń.

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 37 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ Norma jednostajna: Norma średniokwadratowa: Rozważmy przykładowy wektor:

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 38 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ Konstrukcja ciągu rozwiązań jest przerywana gdy norma wybranej dokładności (pierwiastka lub równania) staje się mniejsza lub równa zadanej dokładności obliczeń ε czyli: albo

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 39 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ 1. Metoda iteracji prostej. Aby zastosować tę metodę układ równań należy przekształcić do postaci: W pierwszym kroku trzeba znaleźć pierwsze przybliżenie wektora niewiadomych czyli startowe wartości wszystkich niewiadomych. Kolejne wyrazy ciągu znajdujemy bezpośrednio za pomocą równania tzn.: Metoda jest zbieżna gdy ciąg norm wektora dokładności jest zbieżny do zera. Na ogół jednak metoda iteracji prostej nie jest zbieżna.

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 40 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ Spróbujmy rozwiązać metodą iteracji prostej nasz przykładowy układ równań: Za pomocą prostych przekształceń układ ten można doprowadzić do postaci:

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 41 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ Załóżmy że początkowy wektor rozwiązań wynosi: Za pomocą wzorów określających postać iteracyjną układu można obliczyć kolejne wektory rozwiązania: Widzimy że metoda jest zbieżna a wektor rozwiązań wynosi:

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ 2. Metoda Newtona - Raphsona. Jest to adaptacja metody stycznej do układów równań. Metodę stosuje się do układu w postaci: W pierwszym kroku trzeba znaleźć pierwsze przybliżenie wektora niewiadomych czyli startowe wartości wszystkich niewiadomych. Kolejne wyrazy ciągu znajdujemy za pomocą następującej procedury:

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 43 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ - wektor przyrostów wyznaczany za pomocą układu równań liniowych w zapisie macierzowym: F’ oznacza macierz kwadratową pochodnych cząstkowych funkcji wektorowej F.

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 44 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ Pełny zapis tego pomocniczego układu równań jest następujący: Proces konstrukcji ciągu rozwiązań przerywamy gdy norma (średniokwadratowa lub jednostajna) wektora przyrostów osiągnie zadaną dokładność ε.

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 45 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ Rozwiążmy za pomocą metody Newtona – Raphsona nasz przykładowy układ równań. Załóżmy że początkowy wektor rozwiązań wynosi: Podstawiając te wartości do zasadniczego układu równań liniowych otrzymujemy wektor przyrostów Δ: Dodając odpowiednie przyrosty otrzymujemy poprawiony wektor rozwiązań:

© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych – lab., Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 46 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ Podstawieniu nowych wartości prowadzi do drugiego wektora Δ: co daje kolejny wektor rozwiązań: i dalej: Widzimy, że w czwartej iteracji otrzymaliśmy dokładność rzędu jednej tysięcznej.