Aleksander Wysocki IIc Fraktale Aleksander Wysocki IIc

Czym jest Fraktal? Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji.

Ciekawostka Nieświadome odkrycie fraktali wiąże się z badaniem długości brzegu wyspy Wielkiej Brytanii. Pierwsza próba obliczenia długości dała wynik mniejszy, od ponownej próby, w której zastosowano dokładniejszą mapę. Trzecia próba, podczas której posłużono się już kilkuczęściową mapą, dała jeszcze większy wynik. Okazało się, że brzeg wyspy jest nieskończenie bogaty w szczegóły, a jego długość jest nieskończona. Mimo tego ograniczał skończony obszar lądu

Przykłady fraktali

Zbiór Cantora W drugiej połowie XIX wieku Georg Cantor badał zbiory i utworzył podstawy działu topologii zwanego topologią mnogościową. Opisał przy tym specyficzny zbiór, znany obecnie wszystkim matematykom jako zbiór Cantora. Był to najwcześniej znany obiekt frakalny. Zbiór Cantora powstaje poprzez podzielenie odcinka na 3 równe części i wyrzucenie środkowego odcinka. Krok powtarzamy z wszystkimi nowo powstałymi odcinkami. Zbiór ten jest nieskończony.

Dywan Sierpińskiego Krok pierwszy Najpierw rysujemy kwadrat, który dzielimy na dziewięć równych części i usuwamy środkowy kwadrat. Krok drugi Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych części i usuwamy środkowe kwadraciki. Krok piąty

Krzywa Kocha Zaczynamy od linii prostej. Dzielimy ją na 3 części i usuwamy środkową. W jej miejsce wstawiamy trójkąt równoboczny o boku takim jak usunięta część. Tak samo postępujemy z każdym z powstałych odcinków.

Fraktale w matematyce

Trojkąt Pascala Trójkąt Pascala to trójkątna tablica, w której w pierwszy wiersz jest wpisana liczba 1.Każdy następny wiersz powstaje w ten sposób, że pod dwoma sąsiednimi wyrazami poprzedniego wiersza wpisuje się sumę tych wyrazów. Na początku i na końcu nowego wiersza dopisuje się jedynki. I tak w nieskończoność.

Drzewko Pitagorejskie Konstrukcja, która prowadzi do rodziny drzew pitagorejskich i związanych z nimi pojęć, ma ścisły związek z konstrukcją spirali pierwiastków kwadratowych czyli tak zwanego Ślimaka Pitagorasa.

Konstrukcja ta składa się z następujących kroków: Krok 1: Narysuj kwadrat. Krok 2: Dołącz trójkąt prostokątny do jednego z boków tak, by bok kwadratu był jednocześnie przeciwprostokątną tego trójkąta (w tym przykładzie trójkąt jest równoramienny). Krok 3: Dołącz 2 kwadraty do wolnych boków trójkąta. Krok 4: Dołącz 2 trójkąty prostokątne. Krok 5: Dołącz 4 kwadraty. Krok 6: Dołącz 4 trójkąty prostokątne. Krok 7: Dołącz 8 kwadratów.

Ciekawostka Trójkąty prostokątne mogą być dołączone w danej orientacji lub możemy je odwrócić po każdym kroku. Poniższe rysunki przedstawiają takie figury po wykonaniu około 50 kroków.

Koniec