Historia matematyki od prehistorii do teraźniejszości.

Prezentacja na temat: "Historia matematyki od prehistorii do teraźniejszości."— Zapis prezentacji:

1 Historia matematyki od prehistorii do teraźniejszości.

2 Spis treści Prehistoria Starożytny Wschód Chiny Mezopotamia Egipt
Indie Grecja Matematyka islamska i arabska Matematyka w średniowieczu XV i XVI wiek XVII wiek XVIII wiek XIX wiek XX wiek Suwak logarytmiczny Podstawowe skale Dokładność obliczeń Mnożenie Dzielenie Odczyt liczb, podnoszenie do kwadratu, logarytmowanie XXI wiek Historia liczb Historia funkcji trygonometrycznych Wielcy matematycy polscy zagraniczni Dylematy matematyczne Bibliografia Autorzy

3 Prehistoria Należy przypuszczać, że proste obliczenia towarzyszyły człowiekowi od zawsze. Wiadomo, że nawet zwierzęta potrafią oceniać liczebność zbiorów zawierających kilka elementów. Najwcześniejsze ślady liczenia znaleźć można w gramatyce. Budowa i zasady użycia liczebników pozwalają ocenić, że na początku umiano określić liczebność małych zbiorów: jeden, dwa, trzy, zaś większe postrzegano po prostu jako więcej, wiele. Dzięki badaniom etologicznym, neurofizjologii i socjobiologii wiemy, że uwarunkowania gatunku ludzkiego skłaniają go do życia w grupach o liczebności osobników co zapewne sprawia, że w codziennej praktyce nie było potrzeby używania większych liczb. Typowym sposobem liczenia stosowanym przez społeczności pierwotne jest wykorzystanie części ciała, takich jak palce, czy paliki palców. Na długo przed najwcześniejszymi źródłami pisanymi powstawały rysunki, mogące wskazywać na znajomość podstaw matematyki. Na przykład paleontologowie odkryli ochrowe skały w południowoafrykańskiej jaskini, ozdobione wydrapanymi motywami geometrycznymi sprzed 70 tysięcy lat. Także prehistoryczne artefakty odkryte w Afryce (sprzed 35 tysięcy lat) i we Francji (sprzed 20 tysięcy lat)wskazują na próby ilościowego określania czasu.

4 Istnieją przesłanki, że niektóre pierwsze próby liczenia były związane ze przewidywaniem kolejnej menstruacji. Znajdowano na przykład rządki 28, 29 lub 30 nacięć, po których następowało nacięcie różniące się od poprzednich. Starożytni łowcy znali też koncepcję liczenia "nic, jeden, dwa, wiele" w odniesieniu do złowionych zwierząt, liczenie było też zapewne istotne przy ocenianiu szans w walkach plemiennych. Najwcześniejsze ślady znajomości matematyki w starożytnych Indiach datują się na ok p.n.e. i są pozostałością cywilizacji doliny Indusu z terenu północnych Indii i dzisiejszego Pakistanu. Cywilizacja ta stworzyła dziesiętne jednostki miary, technikę produkcji cegieł o ustalonych proporcjach boków, ulice przecinające się dokładnie pod kątem prostym i sporo geometrycznych przedstawień, w tym prostopadłościany, beczki, stożki, walce, i rysunki koncentrycznych lub przecinających się okręgów i trójkątów. Odkryto także ciekawe przyrządy, takie jak dokładna linijka z dwupoziomową dziesiętną podziałką, instrument z muszli, działający jako kątomierz w zakresie od 40 do 360 stopni, inną muszlę, która pozwalała podzielić horyzont i niebo na 8-12 równych sekcji i przyrząd nawigacyjny do mierzenia pozycji gwiazd. Pismo induskie nie zostało dotąd odczytane, niewiele wiadomo zatem o pracach matematycznych z tego okresu. Niektórzy historycy interpretują pewne znaleziska archeologiczne jako dowody znajomości ósemkowego systemu liczbowego i liczby π.

5 Kość z Ishango, znaleziona w źródłach Nilu (północno-wschodnie Kongo) pochodzi sprzed 20 tysięcy lat (górny paleolit). Jedna z typowych interpretacji głosi, że jest to najwcześniejsza znana demonstracja liczb pierwszych. Przeddynastyczni Egipcjanie z 5 tysiąclecia p.n.e. graficznie przedstawiali geometryczne konstrukcje Przestrzenne, geometryczne przedstawienia okręgu, elipsy, trójek pitagorejskich można odnaleźć na monumentach w Anglii i Szkocji z 3 millenium p.n.e.

6 Starożytny Wschód ~Chiny~
W 212 p.n.e. chiński cesarz Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) rozkazał spalić wszystkie książki spoza państwa Qin. Rozkaz ten nie wszędzie został wykonany, jednak w konsekwencji niewiele dziś wiadomo o starożytnej matematyce chińskiej. Najwcześniejszy istniejący do dziś matematyczny artefakt z Chin to pochodząca z epoki Shang (1600 p.n.e.–1046 p.n.e.) skorupa żółwia z zapisaną liczbą 123. Użyty jest system dziesiętny, od góry do dołu wydrapane zostały: cyfra 1, symbol setki, cyfra 2, symbol dziesiątki, cyfra 3. Wówczas był to najbardziej zaawansowany system liczbowy na świecie. Późniejsi Chińczycy liczyli na przyrządach takich jak suanpan i chiński abakus. Nie wiadomo dokładnie, kiedy suanpan został wynaleziony, najwcześniejsza wzmianka znajduje się w Dodatku do sztuki figur Xu Yue z roku 190 n.e.. Najstarsza chińska praca z odniesieniami do geometrii, która przetrwała palenie ksiąg, Mo Jing, pochodzi z filozoficznego kanonu motizmu napisana ok. 330 p.n.e.. Skompilowana została przez zwolenników Mocjusza (470–390 p.n.e.). Opisywała rozmaite aspekty fizyki, przy okazji omawiając też stosowane metody matematyczne.

7 Chiny (ok. 500 p.n.e.–1300 n.e.) Zhang Heng
Pomimo incydentu palenia ksiąg, dynastia Han (202 p.n.e.–220 n.e.) tworzyła później dzieła matematyczne, opierające się na zaginionych pracach. Najważniejszym z nich było Dziewięć rozdziałów o sztuce matematyki, dokonana ok. 179 kompilacja prac, z których część istniała wcześniej pod innymi tytułami. Dzieło składało się z 246 opisanych słownie problemów, dotyczących rolnictwa, handlu, zastosowania geometrii do obliczania proporcji chińskich pagod, budowy wież, inżynierii, pomiarów geodezyjnych, i opisywało m.in. rozwiązywanie trójkątów prostokątnych i obliczanie liczby π. Wykorzystywało także zasadę Cavalierego ponad tysiąc lat przed odkryciem jej przez Cavalierego na Zachodzie. Dzieło zawiera również dowód twierdzenia Pitagorasa i wzór na eliminację Gaussa. Praca była komentowana przez Liu Hui w III wieku n.e.. Dodatkowo matematyczne prace Zhang Heng (78-139), astronoma i wynalazcy z epoki Han, także zawierały obliczenie liczby π, różniące się jednak metodą od wyniku Liu Hui. Zhang Heng używał wzoru na π do obliczania objętości kuli. Powstała także praca matematyka i teoretyka muzyki Jing Fang (78–37 p.n.e.). Używając komatu pitagorejskiego, Jing zauważył, że 53 kwinty odpowiadają w przybliżeniu 31 oktawom. Doprowadziło to później do odkrycia skali temperowanej, i zostało precyzyjnie wyprowadzone dopiero w XVII wieku przez Nicholasa Mercatora. Chińczycy stworzyli złożone kombinatoryczne diagramy zwane kwadratami magicznymi i kołami magicznymi, opisane w czasach starożytnych, a następnie dopracowane przez Yang Hui (1238–1398). Zu Chongzhi (V wiek, okres Dynastii Południowych i Północnych) obliczył wartość π z dokładnością do siedmiu miejsc dziesiętnych, co pozostało przez prawie tysiąc lat najlepszym oszacowaniem tej liczby. W tysiąc lat po upadku dynastii Han, w okresie dynastii Tang i Song, chińska matematyka świetnie prosperowała, podczas gdy europejska nie istniała. Dokonania Chińczyków, dużo później ponownie odkryte na Zachodzie, obejmowały liczby ujemne, dwumian Newtona, macierze, metody rozwiązywania układów równań liniowych, chińskie twierdzenie o resztach, trójkąt Pascala, i regułę trzech. Oprócz Zu Chongzhi, istotny wkład do chińskiej matematyki tego okresu wnieśli m.in. Yi Xing, Shen Kuo, Qin Jiushao, i Zhu Shijie. Uczony Shen Kuo stosował m.in. rachunek różniczkowy, trygonometrię, metrologię, permutacje, obliczył także konieczny rozmiar wolnej przestrzeni niezbędny do rozwinięcia określonych formacji bitewnych, oraz najdłuższą możliwą kampanię militarną przy określonych zasobach żywności. Nawet, gdy europejska nauka rozkwitła w dobie renesansu, chińska i europejska matematyka pozostawały odrębnymi tradycjami, przy czym postępy Chińczyków były coraz wolniejsze. Wzajemne odkrycie tych dwóch kultur naukowych nastąpiło za sprawą jezuickich misjonarzy, takich jak Matteo Ricci, którzy przenosili idee matematyczne w obydwie strony w okresie od XVI do XVIII wieku. Zhang Heng

8 Starożytny Wschód ~Mezopotamia~
W Mezopotamii rolę ośrodka naukowego grał Babilon. Po nastaniu panowania Greków utrzymał tę funkcję, a sumeryjska matematyka połączyła się z grecką. W przeciwieństwie do rzadkości źródeł na temat matematyki Egiptu, w przypadku Mezopotamii od połowy XIX wieku odnaleziono ponad 400 glinianych tabliczek zapisanych pismem klinowym, gdy glina była miękka i następnie utwardzonych w piecu lub na słońcu. Niektóre z nich wyglądają na ocenione prace domowe z matematyki. Najstarsze pisane źródła matematyczne pochodzą od Sumerów, którzy zbudowali pierwszą cywilizację Mezopotamii. Stworzyli oni 3000 lat przed naszą erą złożony system miar. Ok p.n.e. zapisali pismem klinowym tabliczkę mnożenia, zmagali się z zadaniami geometrycznymi, umieli dzielić, dodawać i odejmować. Na ten okres datują się także najstarsze ślady babilońskiego systemu liczbowego. Większość znalezionych glinianych tabliczek pochodzi z okresu między 1800 a 1600 p.n.e., i dotyczy tematów takich jak ułamki, algebra, równania liniowe, kwadratowe, sześcienne, oraz trójki pitagorejskie. W glinie wypisano także tablice trygonometryczne. Babilońska tabliczka oznaczona przez archeologów symbolem YBC 7289 podaje oszacowanie wartości \sqrt{2} z dokładnością do pięciu miejsc dziesiętnych. Babilońscy matematycy używali systemu sześćdziesiątkowego. Jego ślady pozostały do dziś w podziale godziny na 60 minut, minuty na 60 sekund i kąta pełnego na 360 (60 x 6) stopni, a następnie stopnia na 60 minut i minuty na 60 sekund kątowych. System sześćdziesiątkowy jest o tyle wygodny, że liczba 60 ma wiele dzielników (1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60). Ułatwia to dzielenie przez niewielkie liczby. Ponadto postępom matematyki sprzyjał fakt, że w odróżnieniu od zapisów Egipcjan, Greków i Rzymian, system Babilończyków był prawdziwym systemem pozycyjnym, w którym te same znaki (cyfry) z lewej strony reprezentowały większe wartości, niż z prawej. Nie miał on zatem ograniczeń, jeśli chodzi o maksymalną możliwą do zapisania liczbę. Nie posiadał jednak separatora dziesiętnego, którego trzeba było domyślać się z kontekstu.

9 Starożytny Wschód ~Egipt~
O odrębnej matematyce egipskiej można mówić do nastania panowania Greków, kiedy język egipski został zastąpiony greckim i wraz z matematyką babilońską została ona wchłonięta przez myśl grecką. Niektóre egipskie koncepcje były później rozwijane przez matematyków arabskich, kiedy Egipcjanie zaczęli pisać ich alfabetem. Najstarszym odkrytym egipskim tekstem matematycznym jest tzw. papirus moskiewski, pochodzący ze starożytnego Egiptu z okresu Średniego Państwa, datowany 2000 p.n.e.–1800 p.n.e.. Jak wiele starożytnych tekstów matematycznych skupia się na czymś, co dziś nazwalibyśmy "zadaniami z treścią" i miał zapewne służyć rozrywce. Jedno z zadań ukazuje metodę obliczania objętości ściętego ostrosłupa o kwadratowej podstawie: „ Jeśli ci powiedzą: ścięta piramida o wysokości 6, z 4 w podstawie i 2 na szczycie. Powinieneś podnieść to 4 do kwadratu, uzyskując 16. Masz podwoić 4, uzyskując 8. Podnieś 2 do kwadratu, uzyskując 4. Dodaj 16, 8 i 4, uzyskując 28. Weź trzecią część 6, czyli 2. Weź dwukrotnie 28, dostaniesz 56. Zobacz, ma być 56. Prawidłowo. ” Papirus Matematyczny Rhinda (ok p.n.e.) to kolejny ważny egipski tekst matematyczny, podręcznik arytmetyki i geometrii. Oprócz metod przeprowadzania mnożenia, dzielenia i działań na ułamkach, zawiera również dowody posiadania przez Egipcjan szerszej wiedzy matematycznej, w szczególności znajomość liczb pierwszych, liczb złożonych, średnich arytmetycznej, geometrycznej i harmonicznej, uproszczonej wersji sita Eratostenesa i liczb doskonałych (w szczególności dla liczby 6). Pokazuje również metodę rozwiązywania równań liniowych oraz szeregów arytmetycznych i geometrycznych. Papirus Rhinda sugeruje również znajomość pierwocin geometrii analitycznej. Znajdują się w nim bowiem: * metoda obliczenia liczby π z dokładnością lepszą niż 1%, * próba kwadratury koła * najstarsze znane użycie kotangensa. Z papirusu berlińskiego (ok p.n.e.) wynika, że starożytni Egipcjanie potrafili rozwiązywać równania kwadratowe.

10 Starożytny Wschód ~Indie~
Najstarsze ślady matematyki w Indiach to Shatapatha Brahmana (IX wiek p.n.e.), gdzie obliczono wartość liczby π z dokładnością do dwóch miejsc dziesiętnych[22], oraz Sulba Sutras (ok p.n.e.) gdzie użyto liczb niewymiernych, pierwszych, reguły trzech (rozwiązywanie proporcji), pierwiastka sześciennego, pierwiastków kwadratowych obliczonych z dokładnością do 5 miejsc po przecinku, przybliżonej kwadratury koła, trójek pitagorejskich, rozwiązywano równania liniowe i kwadratowe, oraz udowodniono twierdzenie Pitagorasa. Pāṇini (ok. V wieku p.n.e.) skodyfikował reguły gramatyczne sanskrytu. Jego notacja była zbliżona do współczesnego zapisu matematycznego, z metaregułami, przekształceniami i rekursją. Rozwinął swój formalizm do tego stopnia, że jego gramatyka może być dziś przetwarzana metodami komputerowymi. Pingala (żył gdzieś w przedziale III–I wiek p.n.e.) w swoim traktacie o prozodii używał konstrukcji zbliżonej do dwójkowego systemu liczbowego. Jego kombinatoryczna dyskusja metrum muzycznego, przypomina dwumian Newtona. Praca Pingali zawiera też ideę liczb Fibonacciego (zwanych mātrāmeru). Pomiędzy 400 p.n.e. a 200 n.e., matematycy dźinijscy zaczęli studiować matematykę dla samej przyjemności badań. Odkryli nieskończone liczby kardynalne, teorię mnogości, logarytmy, prawa potęgowania, równania sześcienne, czwartego stopnia, ciągi, szeregi, permutacje, kombinacje, oraz pierwiastek kwadratowy. Manuskrypt z Bakhshali, napisany między 200 p.n.e. a 200 n.e. zawierał rozwiązania układów równań liniowych z pięcioma niewiadomymi, rozwiązania równania kwadratowego, szeregi arytmetyczny i geometryczny, kwadratowe równania nieoznaczone, układy równań, zastosowanie zera oraz liczb ujemnych. Rozwinięcia liczb niewymiernych, w szczególności pierwiastków kwadratowych liczb rzędu miliona, sięgały 11 miejsc dziesiętnych.

11 Klasyczna matematyka indyjska (ok. 400–1600)
W tekście Surja Siddhanta (ok. 400) podano funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus i cosecans, wyprowadzono też wzory na pozycję ciał niebieskich. Kosmiczne cykle opisane w tekście, skopiowane z wcześniejszych prac, odpowiadają średniemu roku gwiazdowemu równemu 365, dni, co stanowi oszacowanie tylko o 1,4 sekundy większe od przyjmowanej dziś wartości 365, dni. Ta praca została przetłumaczona w średniowieczu na arabski i łacinę. Aryabhata w 499 wprowadził funkcję trygonometryczną sinus versus (1-cos x), stworzył pierwsze tablice trygonometryczne sinusów, rozwinął algebrę, wielkości nieskończenie małe, równania różnicowe i uzyskiwał rozwiązania równań liniowych w liczbach całkowitych, używając metody zbliżonej do dzisiejszej, dokonywał także obliczeń astronomicznych opartych o system heliocentryczny. Arabskie tłumaczenie jego Aryabhatiya było dostępne od VIII wieku, a tłumaczenie łacińskie od XIII wieku. Oszacował on także wartość liczby π jako 3,1416. Madhawa później w XIV wieku obliczył π z dokładnością do 11 miejsc po przecinku: 3, W VII wieku Brahmagupta sformułował twierdzenie Brahmagupty, tożsamość Brahmagupty oraz wzór Brahmagupty, i po raz pierwszy w historii w Brahma-sphuta-siddhanta, jasno wytłumaczył użycie zera, jako cyfry dziesiętnej, objaśnił też cyfry arabskie. To z tłumaczenia tego tekstu (około 770 roku) arabscy matematycy przyjęli ideę systemu liczbowego, który później został zaadaptowany jako cyfry arabskie. Arabowie zanieśli ten system do Europy w XII wieku, a obecnie jest powszechnie używany na całym świecie. W X wieku komentarze Halayudhy do pracy Pingali zawierały studium ciągu Fibonacciego i trójkąta Pascala, opisywały też podstawy rachunku macierzy. W XII wieku Bhaskara pierwszy rozważał rachunek różnicowy, a także ideę pochodnej funkcji. Sformułował też twierdzenie Rolle'a (szczególny przypadek twierdzenia Lagrange'a), badał równanie Pella, i pochodną funkcji sinus. W XIV wieku i później, Madhawa i inni matematycy ze szkoły Kerala rozwinęli jego idee. Stworzyli koncepcje analizy matematycznej, liczby zmiennoprzecinkowej, a także fundamentalne idee rachunku różniczkowego, włącznie z twierdzeniem Lagrange'a, całkowaniem wyraz po wyrazie, związkiem pomiędzy polem powierzchni pod wykresem funkcji a funkcją pierwotną ( podstawowe twierdzenie rachunku całkowego), kryterium całkowym, oraz iteracyjne metody rozwiązywania równań nieliniowych, szeregi nieskończone, szeregi potęgowe, szereg Taylora i szeregi trygonometryczne. W XVI wieku, Jyeshtadeva zebrał wiele osiągnięć i twierdzeń Szkoły Kerala w Yuktibhasa, pierwszym w historii opracowaniu rachunku różnicowego, w którym wprowadził także idee rachunku całkowego. Postęp matematyczny w Indiach został skutecznie zahamowany w końcu XVI wieku w związku z zawieruchami politycznymi. Aryabhata

12 Starożytny Wschód ~Grecja~
Termin "matematyka grecka" odnosi się do tekstów napisanych po grecku w okresie od ok. 600 p.n.e. do 450 n.e. Matematycy greccy żyli w miastach rozsianych od półwyspu Apenińskiego po północną Afrykę, lecz jednoczyła ich kultura i język. Matematyka grecka była bardziej wyrafinowana od osiągnięć wcześniejszych kultur. Świadectwa, które przetrwały do naszych czasów, wskazują na umiejętność rozumowania indukcyjnego, to znaczy konstruowania reguł na podstawie obserwacji. Grecy używali logiki do wyprowadzania wniosków z definicji i aksjomatów. Uważa się, że podwaliny matematyki greckiej położyli Tales z Miletu (ok. 624 p.n.e.–ok. 546 p.n.e.) i Pitagoras (ok. 582 p.n.e.–ok. 507 p.n.e.). Jakkolwiek rozmiar wpływu jest dyskusyjny, byli oni zapewne zainspirowani ideami egipskimi, babilońskimi i prawdopodobnie indyjskimi. Zgodnie z legendą Pitagoras podróżował do Egiptu, aby uczyć się matematyki, geometrii i astronomii od kapłanów egipskich. Tales używał geometrii, aby rozwiązywać problemy takie jak obliczanie wysokości piramid lub odległości statków od brzegu. Pitagorasowi przypisywany jest pierwszy dowód twierdzenia nazwanego jego imieniem, choć sformułowanie tego twierdzenia jest dużo starsze. W swoich komentarzach do Euklidesa, Prokul twierdził jednak, że Pitagoras sformułował swoje twierdzenie i skonstruował trójki pitagorejskie. Akademia Platońska miała motto Niech nie wchodzi tu nikt, kto nie zna geometrii. Pitagorejczycy odkryli istnienie liczb niewymiernych. Eudoksos z Knidos (408 p.n.e.–ok. 355 p.n.e.) wymyślił metodę wyczerpywania, pierwowzór całkowania numerycznego. Arystoteles (384 p.n.e.–ok. 322 p.n.e.) jako pierwszy opisał prawa logiki. Euklides (ok. 300 p.n.e.) jako pierwszy użył schematu, do dziś popularnego w pracach matematycznych: definicja, aksjomat, twierdzenie, dowód. Badał także krzywe stożkowe. Jego dzieło, Elementy, jest jednym z najważniejszych tekstów naukowych w historii. Oprócz podsumowania ówczesnej wiedzy geometrycznej, Elementy zawierają także dowód niewymierności pierwiastka z dwóch i dowód, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Do znajdowania liczb pierwszych używane było sito Eratostenesa (ok. 230 p.n.e.). Jednym z największych greckich matematyków był Archimedes (287–212 p.n.e.) z Syrakuz. Według Plutarcha zginął, gdy rozważając pewien problem geometryczny ośmielił się zwrócić uwagę rzymskiemu żołnierzowi, który przeszedł po wykreślonych na piasku figurach.

13 Tales z Miletu Pitagoras z Samos

14 Matematyka arabska i islamska
Kalifat, utworzony na terenach Bliskiego Wschodu, Azji Środkowej, Północnej Afryki, Półwyspu Iberyjskiego i części Półwyspu Indyjskiego w VIII wieku dokonało znaczących postępów w dziedzinie matematyki. Chociaż większość matematycznych tekstów świata islamskiego było napisanych po arabsku, jednak nie wszystkie były pisane przez Arabów, wielu ważnych islamskich matematyków było Persami. Arabski wówczas służył jako wspólny język pisany uczonych islamskich, tak jak w świecie hellenistycznym grecki, w średniowieczu łacina a obecnie język angielski. Pierwszy znany dowód z użyciem indukcji matematycznej pojawił się w dziele autorstwa Al-Karaji ok. roku 1000 n.e., gdzie została ona zastosowana do dwumianu Newtona, trójkąta Pascala, i sumy sześcianów początkowych liczb naturalnych. Ibn al-Hajsam był pierwszym matematykiem, który wyprowadził wzór na sumę czwartych potęg, a następnie używając indukcji podał metodę uogólnienia tego wzoru na sumę dowolnych potęg naturalnych, co miało fundamentalne znaczenie dla rozwoju rachunku całkowego. Kolejnymi osiągnięciami islamskiej matematyki tego okresu było dodanie separatora dziesiętnego do cyfr arabskich, wprowadzenie wszystkich używanych dzisiaj funkcji trygonometrycznych, wprowadzenie przez al-Kindi elementów kryptoanalizy (w tym ataku statystycznego), rozwój geometrii analitycznej, pierwszy ogólny wzór rachunku całkowego autorstwa Ibn al-Hajsam, zapoczątkowanie geometrii algebraicznej przez Omara Chajjam, pierwsze próby odrzucenia geometrii euklidesowej i postulatu równoległości przez Nasīr al-Dīn al-Tūsī, rozwój geometrii nieeuklidesowej przez Sadr al-Din, i wiele innych osiągnięć w algebrze, arytmetyce, kryptografii, geometrii, teorii liczb i trygonometrii

15 Matematyka w średniowieczu
Zainteresowanie matematyką w średniowiecznej Europie miało inne przyczyny niż dziś. Wierzono, że matematyka dostarcza klucza do zrozumienia porządku Stworzenia, zgodnie z platońskim dialogiem Timajos i biblijnym wersetem głoszącym, iż Bóg "wszystko urządził według miary i liczby, i wagi" Boethius znalazł miejsce dla matematyki wśród siedmiu sztuk wyzwolonych, gdzie tzw. "quadrivium" obejmowało arytmetykę, geometrię, astronomię i muzykę. Napisał też De institutione arithmetica, wolne tłumaczenie Wprowadzenia do arytmetyki Greka Nikomachusa, De institutione musica, także wyprowadzone z dzieł greckich, oraz serię fragmentów Elementów Euklidesa. Jego prace były raczej teoretyczne niż praktyczne i stanowiły bazę dla badań matematycznych aż do odkrycia oryginalnych dzieł Greków i ArabówW XII wieku europejscy szkolarze podróżowali do Hiszpanii i na Sycylię poszukując naukowych tekstów arabskich. Wśród nich były: * dzieło al-Chuwarizmiego al-Jabr wa-al-Muqabilah przetłumaczone na łacinę przez Roberta z Chester, * kompletny tekst Elementów Euklidesa, przetłumaczony w wielu wersjach przez Adelarda z Bath, Herman z Karyntii, i Gerard z Cremony Nowe źródła zapoczątkowały odnowę w matematyce. Fibonacci, pisząc Liber Abaci (1202, rozszerzona w 1254), dokonał pierwszych znaczących postępów matematyki europejskiej od wcześniejszych o ponad tysiąc lat czasów Eratostenesa. Praca wprowadziła do Europy cyfry arabskie, i omawiała wiele innych problemów matematycznych. Czternaste stulecie przyniosło rozwój nowych idei w wielu dziedzinach matematyki. Fibonacci używał do oznaczania pierwiastka symbolu przypominającego literę R. Znak pierwiastka którego dziś używamy pochodzi dopiero z XVI wieku. Po raz pierwszy zaczął go używać niemiecki matematyk Christoff Rudolff. Jednym z istotnych problemów, które stymulowały rozwój matematyki w średniowieczu, była analiza ruchu ciała pod wpływem siły. Thomas Bradwardine twierdził, że prędkość (v) rośnie liniowo, gdy stosunek siły do oporu rośnie wykładniczo. Bradwardine wyraził to w formie serii przykładów, a logarytm nie był jeszcze wymyślony. Dzisiaj jego (błędny) wniosek zapisalibyśmy:

16 Analiza Bradwardine'a, choć doprowadziła (jak wiemy dzisiaj) do błędnej konkluzji, jest przykładem użycia techniki, którą al-Kindi i Arnold de Villanova stosowali do zupełnie innego problemu fizycznego Jeden z czternastowiecznych tzw. Rachmistrzów Oksfordzkich, William Heytesbury, z braku rachunku różniczkowego i koncepcji granicy, zaproponował określenie prędkości chwilowej jako drogi, którą przebyłoby ciało gdyby dalej poruszało się ruchem jednostajnym. Heytesbury i inni obliczyli odległość pokonaną przez ciało poruszające się ruchem jednostajnie przyspieszonym (co dziś rozwiązuje się przez całkowanie), zauważając, że "ciało poruszające się, jednostajnie zwiększając lub zmniejszając swą prędkość pokona w ciągu określonego czasu odległość dokładnie równą tej, którą pokonałoby poruszając się w tym samym czasie ze stałą średnią prędkością." Nicole Oresme z Uniwersytetu Paryskiego i Włoch Giovanni di Casali niezależnie przedstawili graficzną demonstrację tej zależności, prawidłowo zakładając, że powierzchnia pod wykresem prędkości reprezentuje całkowitą drogę. W późniejszym matematycznym komentarzu do Euklidesa, Oresme zauważył, że w ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość ciała w kolejnych chwilach czasowych można opisać kolejnymi liczbami nieparzystymi, a ponieważ już Euklides udowodnił, że suma n początkowych liczb nieparzystych wynosi n2, więc całkowita droga pokonana przez ciało rośnie z kwadratem czasu Mikołaj z Oresme

17 XV i XVI wiek W Europie w początkach renesansu matematyka ciągle ograniczona była przez rzymski system liczbowy i użycie nieścisłego i przydługiego języka zamiast krótkich i ścisłych wzorów. Nie było znaku plus, minus czy x na oznaczenie niewiadomej. Powszechne używane symbole działań matematycznych, takie jak + i - pojawiły się w matematyce w XV wieku. Po raz pierwszy zaczęto używać ich w handlu. Matematycy przyjęli je od handlarzy, aby tymi znakami zastąpić używane wcześniej litery "p" i "m" dla oznaczenia dodawania i odejmowania. W opublikowanej w 1489 roku książce, Johannes Widman po raz pierwszy używał znaków "+" i "-" do oznaczania działań matematycznych. Widman nie używał jednak tych symboli systematycznie, znaku "+" używał czasem jako symbolu dodawania, a czasem ogólnie w zdaniu zamiast litery "i". Systematycznie znaków "+" i "-" do oznaczania dodawania i odejmowania zaczęto używać w XVI wieku. Symbol mnożenia "×" wymyślił angielski matematyk William Oughtred na przełomie XVI i XVII wieku. W 1557 roku Robert Recorde wprowadził symbol "=" jako znak równości. W XVI wieku europejska matematyka poczyniła postępy bez precedensu w historii świata. Scipione del Ferro znalazł ok ogólne rozwiązanie równania sześciennego. Po raz pierwszy jego wynik opublikował jednak Johannes Petreius w Norymberdze w Ars magna Gerolamo Cardano, wraz z rozwiązaniem równania czwartego stopnia ucznia Cardano, Lodovico Ferrari. Od tej chwili badania matematyczne nabrały rozpędu, stymulując i będąc stymulowane przez potrzeby nauk przyrodniczych. Dodatkowo rozwój był wspomagany przez wynalazek druku. Pierwszą wydrukowaną książką matematyczną była Theoricae nova planetarum austriaka Georga von Peurbacha (1472) a drugą wydana w 1478 książka o arytmetyce w handlu Treviso Arithmetic. W 1482 Erhard Ratdolt wydrukował Elementy Euklidesa. Napędzana potrzebami nawigacji i kartografii, trygonometria stała się prężną gałęzią matematyki. Bartholomaeus Pitiscus w 1595 użył tego słowa jako pierwszy, w tytule swego dzieła Trygonometrii. Tablice sinusów i cosinusów Regiomontanusa zostały opublikowane w 1533. Pod koniec wieku, dzięki m.in. Regiomontanusowi (1436–1476) i François Viète (1540–1603), matematyka używała cyfr arabskich i zapisu w formie bliskiej dzisiejszej notacji.

18 XVII wiek XVII wiek przyniósł niespotykaną eksplozję myśli naukowej w całej Europie. Włoch Galileusz zaobserwował satelity Jowisza, używając teleskopu bazującego na zabawce importowanej z Holandii. Duńczyk Tycho Brahe zebrał imponujący materiał obserwacji pozycji planet na niebie. Jego uczeń, Niemiec Jan Kepler, na ich podstawie stworzył matematyczną teorię ruchu planet (prawa Keplera). Szkot John Napier (1550–1617) wprowadził do matematyki ułamki dziesiętne, dopracowane później przez Simona Stevina. Za pomocą tych ułamków i koncepcji antycypujących granicę ciągu, Napier badał także stałą, którą później Euler nazwał liczbą e. Napier odkrył logarytm naturalny. Geometria analityczna, zapoczątkowana przez Kartezjusza ( ), francuskiego matematyka i filozofa, wprowadziła rewolucyjne pojęcie kartezjańskiego układu współrzędnych. Dzięki pracom wcześniejszych badaczy, Anglik Isaac Newton odkrył podstawowe zasady dynamiki, wyprowadził z nich prawa Keplera i stworzył przy tej okazji podstawy teorii, którą dziś znamy jako rachunek różniczkowy. Niezależnie od niego, Niemiec Gottfried Wilhelm Leibniz, stworzył rachunek różniczkowy wraz z zapisem stosowanym do dziś. Nauka (w tym matematyka) stała się przedsięwzięciem międzynarodowym, które ostatecznie ogarnęło cały cywilizowany świat . Zaczęły też powstawać nowe dziedziny matematyki. Pierre de Fermat i Blaise Pascal stworzyli podstawy rachunku prawdopodobieńśtwa i kombinatoryki, początkowo stosując je do gier hazardowych. Szwajcarski matematyk Johann Rahn w roku 1659 jako pierwszy zaczął używać znaku "÷" do oznaczania dzielenia. Uproszczona forma tego znaku to po prostu ":".

19 XVIII wiek Leonhard Euler
Leonhard Euler (1707 – 1783) dokonał licznych odkryć w tak różnych gałęziach matematyki jak rachunek różniczkowy i całkowy i teoria grafów. Wniósł duży wkład do terminologii i notacji matematycznej obowiązujących do dzisiaj, szczególnie w dziedzinie analizy matematycznej. Na przykład jako pierwszy w historii użył pojęcia i oznaczenia funkcji. Znany jest z prac w dziedzinach mechaniki, optyki i astronomii. Euler jest uważany za czołowego matematyka XVIII wieku i co więcej – jednego z najwybitniejszych w całej historii. Oto przypisywane Laplace'owi zdanie wyrażające wpływ Eulera na matematykę:Czytajcie Eulera, czytajcie go – jest mistrzem nas wszystkich. Uczony ten należy do grona najbardziej twórczych – jego dzieła zapełniłyby tomów kwarto. Euler stworzył też tzw. wzór Eulera uważany niekiedy za najpiękniejszą formułę matematyczną, łączącą pięć najważniejszych matematycznych stałych: Leonhard Euler

20 XIX wiek W XIX stuleciu matematyka stawała się coraz bardziej abstrakcyjna. Jednym z najważniejszych przedstawicieli tego okresu był Carl Friedrich Gauss ( ). Pomijając jego wkład w inne dziedziny nauki, jego prace wniosły rewolucyjne idee do teorii funkcji zmiennych zespolonych, geometrii, zbieżności szeregów. Dał pierwsze poprawne dowody podstawowego twierdzenia algebry i prawa wzajmności reszt kwadratowych. Położył podwaliny pod późniejszy rozwój statystyki. W XIX wieku rozwijano dwie formy geometrii nieeuklidesowej, w których postulat równoległości nie zachodzi. Rosyjski matematyk Nikołaj Łobaczewski i jego rywal, węgierski matematyk Janos Bolyai, niezależnie odkryli geometrię hiperboliczną. W tej geometrii do każdej prostej istnieje nieskończona liczba równoległych przechodzących przez ten sam punkt, a suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest zawsze mniejsza od 180°. Geometria eliptyczna została odkryta później w XIX wieku przez niemieckiego matematyka Bernhard Riemann. Nie ma w niej prostych równoległych, a suma kątów wewnętrznych jest większa od 180°. Szczególnym jej przypadkiem jest geometria powierzchni kuli, rozwijana na potrzeby żeglarzy i astronomów już w starożytności. Riemann uogólnił też wszystkie trzy rodzaje geometrii (eliptyczną, hiperboliczną i euklidesową) w jedną przestrzeń Riemanna i zdefiniował rozmaitość topologiczną, która uogólniła pojęcia krzywej i powierzchni. Także w XIX wieku William Rowan Hamilton wprowadził algebrę nieprzemienną, w tym uogólnienie liczb zespolonych – kwaterniony. Oprócz otwarcia nowych dziedzin rozwoju matematyki, istniejące gałęzie uzyskały mocniejsze podstawy logiczne, szczególnie rachunek różniczkowy, dzięki Cauchy'emu i Weierstrassowi. Brytyjski matematyk George Boole stworzył nowy rodzaj algebry, zwany algebrą Boole'a. System ten zunifikował rachunek zdań oraz algebrę zbiorów. Dziś jest podstawą pracy komputerów. Po raz pierwszy matematyka poznała granice własnych możliwości. Norweg Niels Henrik Abel, i Francuz Évariste Galois, udowodnili, że nie ma ogólnej metody algebraicznej rozwiązywania równań stopnia większego niż 4. Pozwoliło to przy okazji innym dziewiętnastowiecznym matematykom udowodnić, że linijka i cyrkiel nie są wystarczające do przeprowadzenia dokładnego: * podziału kąta na trzy równe części (trysekcja kąta), * konstrukcji boku sześcianu o dwa razy większej objętości (podwojenie sześcianu) * konstrukcji kwadratu o powierzchni takiej, jak dane koło (kwadratura koła) W ten sposób rozstrzygnięto trzy największe matematyczne problemy starożytności. Badania Abela i Galois pozwoliły na dalszy rozwój teorii grup i zbliżonych działów algebry abstrakcyjnej. W XX wieku fizycy i chemicy uznali teorię grup za idealną metodę badania symetrii.

21 W 1874 roku Georg Cantor (1845–1919) stworzył podstawy teorii mnogości, która stała się wspólnym językiem różnych gałęzi matematyki. W XIX wieku powstały także pierwsze towarzystwa matematyczne London Mathematical Society w 1865, Société Mathématique de France w 1872, Edinburgh Mathematical Society w 1883, Circolo Mathematico di Palermo w 1884, i Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne w 1888. Przed XX wiekiem na całym świecie w tym samym czasie żyło tylko kilku kreatywnych matematyków. Trudno było się utrzymać z tej profesji, więc matematycy albo byli bogaci z urodzenia, jak Napier, albo wspomagani przez bogatych patronów, jak Gauss. Kilku udawało się nędznie wyżyć nauczając na uniwersytecie (np. Fourier). Niels Henrik Abel, po utracie stanowiska zmarł w biedzie z niedożywienia i gruźlicy w wieku 26 lat. Zachowanie prostych równoległych w każdym z trzech typów geometrii absolutnej

22 XX wiek Zawód matematyka nabrał większego znaczenia w XX wieku. Co rok promowane są setki doktorów matematyki, a w USA są dla nich oferty pracy zarówno w nauce, jak i w przemyśle. Matematyka rozwija się w tempie wykładniczym, a liczba istotnych odkryć jest zbyt duża, aby wspomnieć o wszystkich, stąd tylko kilka będzie wymienionych. W 1900 David Hilbert zaprezentował listę 23 nierozwiązanych problemów matematyki na Międzynarodowym Kongresie Matematyków. Problemy te, z wielu odległych dziedzin, nadały kierunek większości działów dwudziestowiecznej matematyki. Dziś dziesięć z nich zostało rozwiązanych, siedem rozwiązanych częściowo, dwa są ciągle otwarte. Pozostałe cztery były sformułowane zbyt ogólnie, aby jednoznacznie ocenić, czy są rozwiązane. Początkowo teoria mnogości Cantora nie była dostatecznie ściśle sformalizowana. Bertrand Russell (1872–1970) odkrył jednak, że zbyt szerokie ich rozumienie prowadzi do wewnętrznej sprzeczności w podstawach matematyki (antynomia Russella). Po okresie kryzysu w matematyce, powstały ścisłe aksjomatyczne definicje teorii mnogości, nie prowadzące już do sprzeczności. W latach drugim dziesięcioleciu XX wieku, Srinivasa Aiyangar Ramanujan ( ) stworzył ponad 3000 twierdzeń, dotyczących takich dziedzin, jak właściwości liczb wysoce złożonych (highly composite numbers), czy funkcja theta Ramanujana. Dokonał także przełomów i odkryć w dziedzinie funkcji gamma, form modularnych, zbieżności szeregów, szeregów hipergeometrycznych i teorii liczb pierwszych. W 1931 Kurt Gödel opublikował dwa swoje twierdzenia o niezupełności, które pokazały granice logiki matematycznej. Zakończyły one marzenie Davida Hilberta o kompletnym i spójnym systemie matematycznym. Okazało się, że jeśli taki system obejmuje arytmetykę i ma skończoną liczbę aksjomatów, to zawsze da się w nim pokazać twierdzenie prawdziwe, które nie daje się wyprowadzić z tych aksjomatów. W 1964 Paul Cohen dzięki nowatorskiej metodzie forsingu udowodnił niezależność hipotezy continuum od standardowych aksjomatów teorii mnogości.

23 Mapa ilustrująca zagadnienie czterech barw
Wolfgang Haken i Kenneth Appel wykorzystali komputer do udowodnienia twierdzenia o czterech barwach w Andrew Wiles, pracując samotnie przez wiele lat w swoim gabinecie, udowodnił wielkie twierdzenie Fermata w Współpraca matematyków osiągnęła skalę niespotykaną wcześniej. Klasyfikacja skończonych grup prostych (zwana też "twierdzeniem olbrzymim", ang. enormous theorem) zajmuje dziesięć tysięcy stron rozrzuconych po 500 artykułach z różnych pism naukowych z lat głównie , autorstwa ponad 100 osób. Nowe gałęzie matematyki, takie jak logika matematyczna, topologia, teoria złożoności, czy teoria gier poszerzyły zakres pytań, na które można znaleźć odpowiedź metodami matematycznymi. Grupa francuskich matematyków próbowała zebrać całość matematyki w spójny ścisły system, publikując pod pseudonimem Nicolas Bourbaki. Ich praca miała, obok niewątpliwych walorów naukowych, także kontrowersyjny wpływ na nauczanie matematyki. W XX wieku odkryto także obiekty zwane fraktalami, które wykazują własność samopodobieństwa: cały fraktal jest często podobny do swojej części. Okazało się, że geometria fraktalna pozwala często lepiej opisać złożoność kształtów spotykanych w przyrodzie, takich jak skały, czy rośliny, od geometrii klasycznej. Fraktale pozwalają tworzyć realistyczne krajobrazy, które można z dowolną dokładnością powiększać. Mapa ilustrująca zagadnienie czterech barw

24 Suwak logarytmiczny Suwak logarytmiczny (suwak rachunkowy) – prosty przyrząd ułatwiający obliczenia, powszechnie używany przez inżynierów do końca lat 80. XX wieku. Wynaleziony w 1632 roku przez Williama Oughtreda, zainspirowany linijką logarytmiczną Edmunda Guntera. Suwak logarytmiczny działa na zasadzie dodawania logarytmów poprzez dodawanie różnej długości odcinków zaznaczonych na skali. Jest to praktyczne wykorzystanie równości: Tym samym mnożenie sprowadza się do dodawania (w przypadku suwaka dodawania odcinków na skalach). Suwak logarytmiczny umożliwia mnożenie, dzielenie i wiele innych działań np. logarytmowanie, potęgowanie, pierwiastkowanie. Spełnia rolę tablic trygonometrycznych. Niekiedy posiada dodatkowe znaczniki lub skale pozwalające szybko obliczać powierzchnię koła, ciężar i wytrzymałość prętów itp. Suwak logarytmiczny z sumatorem (addatorem) do dodawania i odejmowania liczb 6-cyfrowych. Najczęściej wykonany jest w postaci linijki o długości skali 25 lub 12,5 cm z przesuwką i okienkiem, ale bywają także suwaki okrągłe. Wykonywane są także suwaki do specjalnych zadań np. na tej zasadzie działa tabela naświetlań w fotografii czy "komputer samochodowy" z lat 60. Do wad należy brak możliwości dodawania i odejmowania w większości modeli (niektóre suwaki mają wbudowany sumator do dodawania i odejmowania jak np. suwaki przedsiębiorstwa Castell), oraz ograniczona dokładność (2–3 cyfry znaczące dla typowego suwaka). Wiele wzorów wymagających dodawania lub odejmowania można przekształcić do postaci zawierającej tylko zwiększenie albo zmniejszenie zawartości o jeden. Dodanie 1 jest łatwe w pamięci. Zegarek naręczny z obrotowym suwakiem logarytmicznym. Na zdjęciu pokazano przykład przeliczenia mil morskich (znacznik NAUT) na kilometry (znacznik KM) - 10 mil morskich to ok. 18,5 km. W Polsce suwaki produkowane były seryjnie przez przedsiębiorstwo Skala ze skalą o długości 25 i 12,5 cm.

25 Podstawowe skale Zegarek naręczny z obrotowym suwakiem logarytmicznym
# na linijce * log(x) (F) * x³ (E) * x² (D) # na przesuwce * x² (C) * 1/x (G) * x (B) * x (A) * sin(x) (S) * tg(x) (T) * s-t(x) – sinus i tangens małych kątów (S,T) # niektóre suwaki zawierały dodatkową podziałkę funkcji ułatwiającą np. rozwiązywanie trójkątów. Zegarek naręczny z obrotowym suwakiem logarytmicznym

26 Dokładność Suwaki precyzyjne
Dokładność obliczeń wykonywanych przy pomocy suwaka jest zależna od precyzji wykonania suwaka i umiejętności operatora. Zakładając poprawne wykonanie suwaka, oraz że operator potrafi odróżnić na podziałce odległość 0,25mm, wówczas dokładność odczytu można wyliczyć ze wzoru: gdzie l jest długością skali suwaka podaną w milimetrach. Stąd wniosek, że im dłuższa skala, tym większa dokładność odczytu. Dla standardowego suwaka o długości 250mm, błąd wynosi 0,1% odczytywanej liczby. Suwaki precyzyjne Istnieją także suwaki precyzyjne, gdzie podziałkę liczb naturalnych podzielono na dwie części. * Pierwszą, zawierającą liczby od 1 do \sqrt {10} umieszczono w miejscu podziałek (C) i (D) * Drugą, zawierającą liczby od \sqrt {10} do 10 umieszczono w miejscu podziałek (A) i (B) Pozwala to uzyskać dokładność, jak na zwykłym suwaku, o dwukrotnie dłuższej skali.

27 Mnożenie Na podziałce (A) znaleźć pierwszy czynnik iloczynu i ustawić nad nim "1" lub "10" podziałki (B). Na podziałce (B) odnaleźć drugi czynnik i ustawić na nim kresę okienka. Kresa wskazuje na podziałce (A) wynik mnożenia (pamiętać o ustaleniu ilości miejsc dziesiętnych). Przykład: Mnożenie 2x3. Jedynka przesuwki ustawiona nad pierwszym czynnikiem . Wynik odczytujemy pod drugim czynnikiem . Zauważmy, że w takim ustawieniu możemy odczytać wszystkie inne mnożenia przez 2.

28 Dzielenie * Na podziałce (A) ustawić kresę okienka na dzielnej.
* Podziałkę (B) ustawić tak, aby dzielnik znalazł się pod kresą okienka. * Wynik ilorazu znajduje się pod "1" lub pod "10" przesuwki. Przykład: Dzielenie 1/2. Dzielna na przesuwce ustawiona nad dzielnikiem. Wynik odczytujemy nad jedynką dolnej skali. Przesuwka została przesunięta w lewo, więc wynik należy podzielić przez 10 co daje 0,5. Zauważmy, że równie dobrze mogłoby to być dzielenie 10/2.

29 Odczyt liczb, podnoszenie do kwadratu, logarytmowanie
Odczyt liczby Podstawowa skala suwaka (A),(B) zawiera liczby z zakresu od 1 do 10. Można jednak na niej zaznaczyć dowolną liczbę, ponieważ podczas obliczeń liczby traktuje się jako szereg cyfr bez przecinka i bez początkowych zer. Tak więc liczby 0,01234; 1234; 12,34; 1,234 itp. zajmują na podziałce A to samo miejsce. Podczas wykonywania obliczeń położenie przecinka należy obliczać w pamięci. Podnoszenie do kwadratu Ustawić kresę okienka na skali (A) na podstawie potęgi. Odczytać wynik potęgowania ze skali (D) Analogicznie (przez wykorzystanie skali (E) wykonuje się podnoszenie do sześcianu. Obliczanie odpowiednich pierwiastków wykonuje się w sposób odwrotny. Logarytmowanie Ustawić kresę okienka na liczbie logarytmowanej na podziałce (A) Odczytać mantysę logarytmu z podziałki (F)

30 Historia liczb Liczby naturalne Dzieje zera
Uważa się, że po raz pierwszy liczb zaczęto używać ok lat p.n.e. Z tego okresu pochodzą kości i inne artefakty, na których znaleziono ślady nacięć, uważane za próbę liczenia. Nie wiadomo, czy zliczano dobra, dni, czy może np. ludzi w konkurencyjnej grupie. Najstarszy znany przykład malowidła z kreskami, sugerującymi liczenie, pochodzi z jaskini w południowej Afryce. Taki system zapisu liczbnie nadaje się do zapisu dużych liczb. Pierwszy znany pozycyjny system zapisu liczb pochodzi ze starożytnej Mezopotamii (ok p.n.e.), i bazuje na liczbie 60. Najstarszy dziesiątkowy system pozycyjny pochodzi z Egiptu (ok p.n.e.). W XIX wieku Russell zdefiniował po raz pierwszy ściśle liczby naturalne jako moce zbiorów skończonych. Peano w 1889 zaksjomatyzował liczby naturalne . Na początku XX wieku von Neumann stworzył swoją konstrukcję liczb naturalnych. Dzieje zera Użycie zera jako liczby powinno zostać odróżnione od użycia jako cyfry. Wiele starożytnych indyjskich tekstów używało sanskryckiego słowa shunya w znaczeniu pustki. W tekstach matematycznych używano go jako liczbę zero. W podobny sposób hinduski gramatyk Pāṇini (V wiek p.n.e.) używał zera w dziele Ashtadhyayi, jego formalnej gramatyce sanskrytu. Zapiski pokazują, że starożytni Grecy nie byli pewni co do statusu zera jako liczby: pytali się "jak nic może być czymś?", co doprowadziło do interesujących filozoficznych argumentów na temat natury i istnienia zera i próżni. Paradoksy Zenona z Elei w części pochodzą z dwuznacznej interpretacji zera. Starożytni Grecy kwestionowali zresztą także jedynkę jako liczbę. Późni Olmekowie w południowo-centralnym Meksyku zaczęli używać prawdziwego zera (znak muszli) prawdopodobnie około IV wieku p.n.e. a na pewno w 40 roku p.n.e., kiedy stały się integralną częścią zapisu liczb u Majów, ale nie miało to wpływu na matematykę europejską. Około 130 roku Klaudiusz Ptolemeusz pod wpływem Hipparcha i Babilończyków używał symbolu zera (małego kółka z długą kreską powyżej) w pozycyjnym systemie używającym alfabetu greckiego jako cyfr. Zero było u niego po raz pierwszy w historii Zachodu używane samodzielnie, nie tylko jako cyfra, ale także jako liczba. W późnym bizantyjskim manuskrypcie jego Syntaxis Mathematica (Almagest), jego znak zera przekształcił się w grecką literę omikron (oznaczającą oryginalnie 70). Kolejne prawdziwe zero było używane na tablicach liczebników rzymskich ok. 525, ale jako słowo nulla oznaczające nic, a nie jako oddzielny symbol. Kiedy dzielenie dawało resztę zero, używano słowa nihil, także oznaczającego nic. Te średniowieczne zera były potem używane przez wszystkie średniowieczne algorytmy wyznaczania daty Wielkanocy. W 725 św. Beda Czcigodny używał litery N jako symbolu zera, w czym jednak był osamotniony. Wczesne udokumentowane użycie zera przez Brahmaguptę w tekście Brahmasphutasiddhanta datuje się na rok 628. Używał on zera jako liczby i rozważał działania na nim, włącznie z dzieleniem przez nie. W tym czasie (VII wiek) idea zera dotarła do Kambodży, a później do Chin i świata islamskiego. Do Europy hinduski system zapisu liczb dotarł w XI wieku za pośrednictwem hiszpańskich Maurów, stąd jego cyfry zostały nazwane cyframi arabskimi. Fibonacci używał w XIII wieku zera ale tylko jako cyfry. Dopiero w XVII wieku zero było powszechnie rozpoznawane jako liczba w Europie.

31 Liczby wymierne Liczby ujemne
Abstrakcyjna koncepcja liczb ujemnych powstała w pierwszej połowie I wieku p.n.e.. Chińska praca Jiu-zhang Suanshu (Dziewięć tekstów o sztuce matematyki) zawierała metody znajdowania powierzchni figur. Czerwone znaki były używane do oznaczania dodatnich współczynników, a czarne - ujemnych. To najwcześniejsza znana wzmianka o liczbach ujemnych na świecie. W kulturze zachodniej pierwsze użycie liczb ujemnych pochodzi z III wieku, kiedy grek Diofantos rozważał zadanie, sprowadzające się do równania 4x + 20 = 0 w dziele Arithmetica, twierdząc, że to równanie daje absurdalne rozwiązanie. Na początku VII wieku liczby ujemne były używane w Indiach w celu księgowania długów. Praca Diofantesa była znana i rozważana przez indyjskiego matematyka Brahmaguptę, który w pracy Brahma-Sphuta-Siddhanta 628 używał liczb ujemnych w celu stworzenia ogólnej postaci funkcji kwadratowej. Jednak kiedy w XII wieku w Indiach Bhaskara uzyskał ujemne pierwiastki równania kwadratowego, stwierdził że ujemne wartości "w tym przypadku nie powinny być brane, gdyż są nieadekwatne. Ludzie ich nie aprobują." Większość europejskich matematyków odrzucała koncepcję liczb ujemnych aż do XVII wieku, chociaż Fibonacci akceptował ujemne rozwiązania w zagadnieniach finansowych, gdzie reprezentowały ujemne salda (rozdział 13 Liber Abaci, rok 1202) oraz straty (w pracy Flos). W tym samym czasie, Chińczycy oznaczali liczby ujemne przez przekreślenie ostatniej niezerowej cyfry liczby. W Europie liczb ujemnych użył Chuquet w XV wieku. Używał ich jako wykładników, nazywając "liczbami absurdalnymi". Aż do XVIII wieku powszechnie nie uznawano liczb ujemnych i odrzucano ujemne rozwiązania równań jako nie posiadające interpretacji. Liczby wymierne Prawdopodobnie idea ułamków pojawiła się już w czasach prehistorycznych. Nawet starożytni Egipcjanie pisali teksty matematyczne z użyciem ułamków.Klasyczni Grecy i matematycy indyjscy opracowali teorię liczb wymiernych. Najbardziej znanym przykładem ich użycia są Elementy Euklidesa (ok. 300 p.n.e.). Z tekstów indyjskich najbardziej godna wzmianki jest Sthananga Sutra. Koncepcja ułamków jest blisko związana z ich zapisem dziesiętnym. Obydwie idee powstawały równolegle. Na przykład w tekstach indyjskich stosowano zapis dziesiętny ułamków do przybliżonego podawania wartości π, czy pierwiastka z dwóch. Podobnie babilońskie teksty matematyczne często używały ułamków o mianowniku będącym potęgą sześćdziesiątki. Do dziś pozostały ślady tego w przyjmowanym podziale jednego stopnia kątowego na 60 minut kątowych, a następnie 60 sekund oraz w tzw. systemie kopowym, z którego pochodzą takie pojęcia jak kopa (60 jednostek), mendel (15 jednostek – czwarta część kopy), czy tuzin (12 jednostek – piąta część kopy). W Europie jednak zapis dziesiętny ułamków długo nie był popularny, dopiero XVII wieku upowszechnił się wśród matematyków.

32 Historia liczb niewymiernych
Po raz pierwszy liczby niewymierne użyte zostały w indyjskich tekstach Shulba Sutras, napisanych między 800 a 500 rokiem p.n.e.. Pierwszy dowód istnienia liczb niewymiernych jest zwykle przypisywany Hippasusowi z Mezopotamii, pitagorejczykowi, który udowodnił niewymierność pierwiastka z dwóch. Związana jest z tym pewna opowieść, nie wiadomo czy prawdziwa: Pitagoras wierzył w absolutną naturę liczb, i nie potrafił zaakceptować odkrycia swego ucznia. Intelektualnie nie potrafił wprawdzie obalić dowodu, jednak podważało to fundamenty jego wiary, skazał więc Hippasusa na śmierć przez utopienie. Liczby algebraiczne, przestępne i rzeczywiste Ułamki łańcuchowe, blisko związane z liczbami niewymiernymi, wprowadził[9] Cataldi w 1613, następnie zajmował się nimi Euler, a na początku XIX wieku ich teorię rozwinął Joseph Louis Lagrange. W 1618 roku Napier w pracy o logarytmach wprowadził liczbę e (tzw. podstawa logarytmu naturalnego). Pierwsze wyniki dotyczące liczb przestępnych uzyskał Lambert, dowodząc w 1761, że π nie jest liczbą wymierną, oraz że ex, gdzie x jest niezerową liczbą wymierną jest niewymierne. Legendre rozszerzył ten dowód, pokazując że π nie jest pierwiastkiem kwadratowym żadnej liczby wymiernej. Poszukiwanie rozwiązań równań piątego stopnia doprowadziło do dalszego postępu, kiedy okazało się, iż ogólna postać rozwiązania nie daje się zapisać w postaci wzoru z użyciem czterech działań arytmetycznych i pierwiastkowania. (tzw. twierdzenie Abela-Ruffiniego, Ruffini 1799, Abel 1824). W ten sposób wydzielono liczby algebraiczne, będące pierwiastkami wielomianów. Galois (1832) połączył teorię tych równań z utworzoną przez siebie teorią grup. Liouville (1844, 1851) odkrył, że istnieją liczby rzeczywiste nie będące algebraicznymi, tzw. liczby przestępne. Hermite udowodnił w 1873 że e jest liczbą przestępną, a Lindemann wykazał w 1882, że π jest przestępne. W końcu Cantor pokazał, że zbiór liczb rzeczywistych ma większą moc, niż zbiór liczb algebraicznych, co potocznie oznacza, że liczb przestępnych jest nieskończenie razy więcej. W XIX wieku ściśle zdefiniowano zbiór liczb rzeczywistych. Opublikowano prace Weierstrassa (1872), Heinego, Cantora i Dedekinda. Metoda Weierstrassa została rozwinięta przez Pincherle (1880), a Dedekinda przez jego własną pracę z 1888 oraz pracę Tannery'ego z Weierstrass, Cantor, i Heine konstruując liczby rzeczywiste bazowali na szeregach nieskończonych, a Dedekind stworzył tzw. przekroje nazwane jego nazwiskiem. Idea została rozwinięta przez Weierstrassa, Kroneckera, i Méray.

33 Liczby zespolone Liczby pierwsze
Najwcześniejsze odniesienia do pierwiastków kwadratowych liczb ujemnych znalazły się w pracy Herona z Aleksandrii z I wieku n.e.. Dopiero jednak w XVI wieku pierwiastki takie stały się naprawdę istotne, kiedy odkryto, że ogólne wzory na rozwiązania równań trzeciego i czwartego stopnia dają się łatwo wyprowadzić, tylko jeśli po drodze dopuścimy pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych, nawet jeśli jesteśmy zainteresowani jedynie wynikami w liczbach rzeczywistych. (Tartaglia, Cardano). Było to dosyć zaskakujące dla ówczesnych matematyków, szczególnie biorąc pod uwagę, że nie w pełni zaakceptowano nawet liczby ujemne. Termin liczby urojone (łac. imaginaris) zawdzięczamy Kartezjuszowi (1637), który chciał w ten sposób zaakcentować ich "nierzeczywistość" i absurdalność w odróżnieniu od dobrze znanych liczb „istniejących w rzeczywistości” (rzeczywistych, łac. realis). Kolejne zamieszanie wprowadziło równanie \sqrt{-1}^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1, które zaprzecza zależności \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}, prawdziwej dla dodatnich liczb rzeczywistych. Nieprawdziwość tego równania (i związanego z nim {1 \over \sqrt a} = \sqrt\tfrac{1}{a}) w przypadku, gdy a i b są ujemne zaskoczyła nawet Eulera. W końcu wprowadził on symbol i zamiast \sqrt{-1}, aby ustrzec się podobnych pomyłek. XVIII wiek ujrzał prace de Moivre'a i Eulera. Temu pierwszemu zawdzięczamy wzór de Moivre'a: (cosθ + isinθ)n = cosnθ + isinnθ, a drugiemu wzór Eulera (1748): cosθ + isinθ = eiθ Istnienie liczb zespolonych nie zostało powszechnie zaakceptowane aż do powstania ich geometrycznej interpretacji jako płaszczyzny zespolonej. Idea ta pojawiła się już w 1685, w De Algebra tractatus Wallisa, potem została zapomniana, ponownie odkryta przez Wessela w 1799, i kolejny raz niezależnie odkryta i spopularyzowana przez Gaussa. Także w 1799 Gauss przedstawił pierwszy ogólnie zaakceptowany dowód podstawowego twierdzenia algebry, pokazując że każdy wielomian nad ciałem liczb zespolonych ma pełny zestaw rozwiązań w tym ciele. Do zaakceptowania liczb zespolonych przyczyniły się też prace Cauchy'ego oraz Abela. Liczby pierwsze Liczby pierwsze były badane od czasów starożytnych. Euklides poświęcił im księgę w Elementach. Zaprezentował w nich m.in. algorytm znajdowania największego wspólnego dzielnika oraz udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. W 240 p.n.e. Eratostenes użył algorytmu nazwanego sitem Eratostenesa do szybkiego znajdowania liczb pierwszych. Dalszy postęp w dziedzinie teorii liczb nastąpił w epoce Renesansu. W 1796 Legendre podał wzór na gęstość rozmieszczenia liczb pierwszych. Wzór został ostatecznie udowodniony przez Hadamarda i de la Vallée-Poussina w W 1859 Riemann stworzył słynną hipotezę, do dziś nieudowodnioną, dotyczącą pierwiastków funkcji dzeta. Inną dotąd nieudowodnioną hipotezą dotyczącą liczb pierwszych jest hipoteza Goldbacha mówiąca, że dowolną liczbę parzystą większą od 2 można przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych.

34 Historia funkcji trygonometrycznych
Funkcje trygonometryczne, choć wywodzą się z pojęć geometrycznych, są rozpatrywane także w oderwaniu od geometrii. W analizie matematycznej są one definiowane m.in. za pomocą szeregów potęgowych lub jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych. Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans), z czego dwóch ostatnich obecnie rzadko się używa. Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach matematyki, innych naukach ścisłych i technice; działem matematyki badającym te funkcje jest trygonometria, lub ściślej: goniometria. sinus – stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ostrego i długości przeciwprostokątnej ; cosinus – stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego i przeciwprostokątnej ; tangens – stosunek długości przyprostokątnej naprzeciw kąta ostrego i przyprostokątnej długości przyległej do kąta ostrego; cotangens – stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego i długości przyprostokątnej naprzeciw kąta ostrego; secans – stosunek długości przeciwprostokątnej i długości przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego ; odwrotność cosinusa; cosecans – stosunek długości przeciwprostokątnej i długości przyprostokątnej naprzeciw kąta ostrego ; odwrotność sinusa.

35 Wielcy matematycy ~polscy~
Stefan Banach Ur. 1892r, zm. 1945r. Matematyk, samouk, od 1924r profesor uniwersytetu we Lwowie, członek Polskiej Akademii Umiejętności, członej Akademii Nauk Ukrainy. Współzałożyciel czasopisma "Studia Mathematica" i jeden z inicjatorów "Monografii Matematycznych". Banach był jednym z twórców analizy funkcjonalnej, wraz ze swymi uczniami (S.Mazurem, W.Orliczem, J.Schauderem) stworzył szkołę lwowską, która wraz ze szkołą warszawską wydźwignęła matematykę polską na jedno z czołowych miejsc w świecie. Autor monografii "Theorie des operations lineaires" (1932), pierwszej na świecie książki poświęconej ogólnej teorii przestrzeni liniowo-metrycznych. Nazwiskiem Banacha nazwano pewne przestrzenie i algebry. Zasadnicze pojęcia i definicje analizy funkcjonalnej rozwijały się stopniowo już wczesniej, ale dopiero Banach zbudował jednolitą teorię, która obejmowała, oprócz jego własnych, również wyniki badań jego poprzedników i współpracowników. Do spopularyzowania osiągnięć Banacha w zakresie analizy funkcjonalnej przyczyniło się dzieło "Teorja operacyj" t.1 "Operacje linjowe", przełożone na język francuski. Z nazwiskiem Banacha wiąże się paradoks Banacha-Tarskiego, wg którego kulę można rozbić na kilka niemierzalnych części, z których daje się złożyć dwie takie same kule.

36 Kazimierz Kuratowski Ur. 1896r, zm. 1980r. Matematyk, od 1927r profesor Politechniki Lwowskiej, a od 1934r Politechniki Warszawskiej. Od 1945r członek Polskiej Akademii Umiejętności, od 1952r członek Polskiej Akademii Nauk (w latach wiceprezes). Od 1948r dyrektor Instytutu Matematycznego (jeden z jego założycieli), wieloletni prezes Polskiego Towarzystwa Matematycznego oraz wiceprezes Międzynarodowej Unii Matematycznej. Doktor honoris causa wielu uniwersytetów, Autor licznych prac z dziedziny topologii (m.in. podstawowa monografia "Topologie" 1934), teorii mnogości i logiki matematycznej. W 1951r nagroda państwowa. Stanisław Mazur Ur. 1905r, zm. 1981r. Matematyk, od 1939r profesor Uniwersytetu Lwowskiego, w latach Uniwersytetu Łódzkiego, a od 1948r Uniwersytetu Warszawskiego. Od 1947r członek Polskiej Akademii Umiejętności, a od 1952r Polskiej Akademii Nauk. Najbliższy współpracownik S.Banacha i jeden z głównych współtwórców lwowskiej szkoły analizy funkcjonalnej. Wprowadził i rozwinął metody geometryczne w analizie funkcjonalnej oraz w 1938r zapoczątkował ogólną teorię przestrzeni liniowych topologicznych. Jeden z czołowych specjalistów w zakresie teorii sumowalności, autor "Computable Analysis" (1963).

37 Hugo Dionizy Steinhaus
Ur. 1887r, zm. 1972r. Matematyk, w latach profeosr Uniwersytetu Lwowskiego, od 1945r Uniwersytetu Wrocławskiego, w latach University of Notre Dame (Indiana USA), w 1966r University of Susex. Od 1945r członek Polskiej Akademii Umiejętności, a od 1952r Polskiej Akademii Nauk, członek także wielu zagranicznych towarzystw i akademii naukowych. Jeden z twórców tzw. lwowskiej szkoły matematycznej. Liczne prace (ponad 170 pozycji) dotyczą szeregów Fouriera, rozwinięć ortogonalnych, operacji liniowych, teorii prawdopodobieństwa, teorii gier, a także zastosowań matematyki do biologii, medycyny, elektrotechniki, prawa, statystyki matematycznej. Szczególne duże zasługi ma w dziedzinie zastosowań matematyki, jak też działalności pisarskiej w zakresie popularyzacji matematyki ("Czym jest a czym nie jest matematyka" 1923, "Kalejdoskop matematyczny" 1938, "Sto zadań" 1958, "Orzeł czy reszka" 1961). W 1929r wraz z S.Banachem założył czasopismo matematyczne "Studia Mathematica". W 1953r zaincjował również wydawanie czasopisma "Zastosowania Matematyki". W 1961r nagroda państwowa I stopnia. Zygmunt Janiszewski Ur. 1888r, zm. 1920r. Matematyk, współtwórca warszawskiej szkoły matematycznej, inicjator i współzałożyciel czasopisma "Fundamenta Mathematicae", poświęconego teorii mnogości, topologii i podstawom matematyki, wybitny organizator matematyki w Polsce. Janiszewski studiował w Zurychu i Getyndze oraz w Paryżu, gdzie otrzymał stopień doktora nauk matematycznych. Wykłdał na Kursach Naukowych (instytucja naukowa w latach skupiająca polską elitę intelektualną zaboru rosyjskiego), a także na uniwersytecie we Lwowie. W 1915r powołany został na stanowisko wykłądowcy odradzającego się Uniwersytetu Warszawskiego. Zainteresowania naukowe Janiszewskiego dotyczyły głównie topologii. W pracach z tego zakresu podał twierdzenia, które do dzisiaj zachowały podstawowe znaczenie i są znane w literaturze matematycznej jako twierdzenia Janiszewskiego. W 1915r opublikował "Poradnik samouków", zbiór artykułów wielu uczonych polskich, będący ciekawą syntezą ówczesnej wiedzy matematycznej, w którym zamieścił własny cykl rozpraw o matematyce. W 1918r na Uniwersytecie Warszawskim pod kierunkiem Janiszewskiego oraz Mazurkiewicza i Sieprińskiego pracowała grupa polskich matematyków, która koncentrowała swą działalność w dziedzinie topologii, teorii mnogości i ich zastosowań. Konsekwentna realizacja koncepcji Janiszewskiego doprowadziła do powstania liczącej się w świecie warszawskiej szkoły matematycznej. Imieniem Janiszewskiego nazwano jedną z nagród Polskiego Towarzystwa Matematycznego.

38 Wielcy matematycy ~zagraniczni~
Archimedes Ur. ok. 287r, zm. ok. 212r p.n.e. Grecki fizyk i matematyk, wynalazca, jeden z największych uczonych starożytności. W czasie II wojny punickiej kierował obroną Syrakuz, po zdobyciu miasta przez Rzymian - zabity. Uważany za twórcę statyki i hydrostatyki (zasada dźwigni, prawo Archimedesa - "na każde ciało zanurzone w płynie działa siła skierowana pionowo do góry równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało i przyłożona w jego środku geometrycznym"), prekursora rachunku całkowego (oblicznie powierzchni i objętości metodą exhaustii). Pierwszy podał przybliżoną wartość liczby , wynalazł wielokrążek, machiny obronne, przenośnik ślimakowy, śrubę bez końca. Przypisuje mu się również budowę planetarium, zwierciadeł kulistych oraz konstrukcję zegara wodnego i organów wodnych.

39 Diofantos (2 poł. III w.?) Matematyk grecki działający w Aleksandrii. W ocalałych 6 księgach jego dzieła "Arithmetika" znajdują się zagadnienia dotyczące równań algebraicznych, głównie poświęcone problemowi znajdowania dodatnich wymiernych rozwiązań nieoznaczonych. Euklides Ur. ok. 365r, zm. ok. 300r p.n.e. Grecki matematyk i fizyk. W dziele "Stoicheia geometrias", składającym się z 13 ksiąg, usystematyzował całość ówczesnej wiedzy matematycznej w postaci aksjomatycznego wykładu. Dzieło to wywarło olbrzymi wpływ na dalszy rozwój matematyki. Napisał poza tym dwa dzieła z zakresu optyki: "Catoptrica" i "Optica" (w którym sformułował prawo załamania światła oraz zasadę prostoliniowego rozchodzenia się promieni świetlnych), jedno z astronomii: "Phanomena" i jedno z zakresu teorii muzyki: "Sectio canonis".

40 Leonhard Euler Ur. 1707r, zm. 1783r. Szwajcarski matematyk, fizyk i astronom. W latach profesor uniwersytetu w Petersburgu, w latach profesor akademii nauk w Berlinie. Członek wielu akademii nauk i towarzystw naukowych. W 1766r powrócił do Petersburga, gdzie przebywał do końca życia. Opublikował blisko 900 prac naukowych, z czego ponad 500 dotyczy prawie wszystkich znanych wówczas dziedzin matematyki. Dużo uwagi poświęcił zastosowaniom matematyki. Uważany za jednego z twórców nowoczesnej matematyki. Pierre de Fermat Ur. 1601r, zm. 1665r. Matematyk francuski, z zawodu prawnik, długoletni radca parlamentu w Tuluzie, prekursor rachunku prawdopodobieństwa teorii liczb oraz rachunku różniczkowego (m.in. podał regułę znajdowania ekstremów) i całkowego. W geometrii zapoczątkował metodę współrzędnych (m.in. wyprowadził równanie stożkowych), w optyce sformułował słynną zasadę Fermata - ruch �wiatła pomiędzy dwoma punktami A i B odbywa się po linii, dla której droga optyczna jest najkrótsza. Twórca twierdzeń Fermata (patrz: Podstawowe wiadomości-twierdzenia, twierdzenia nr 114 i 115).

41 Carl Friedrich Gauss Ur. 1777r, zm. 1855r. Matematyk niemiecki, zwany przez współczesnym "księciem matematyków. Zajmował się również astronomią, geodezją i fizyką. Od 1807r profesor uniwersytetu w Getyndze i dyrektor obserwatorium astronomicznego w tym mieście. Jego prace badawcze dotyczą prawie wszystkich dziedzin matematyki, a także jej zastosowań w fizyce i astronomii. Gauss jest jednym z twórców geometrii nieeuklidesowej (z obawy przed krytyką nie opublikował jednak swych prac na ten temat). Gauss jest uważany za jednego z trzech, obok Archimedesa i Newtona, największych matematyków świata. David Hilbert Ur. 1862r, zm. 1943r. Matematyk niemiecki, od 1859r profesor uniwersytetu w Getyndze. Jego badania nad podstawami geometrii ( ) zapoczątkowały nowoczesną aksjomatyczną budowę teorii matematycznych, a badania w dziedzinie teorii równań całkowych ( ) doprowadziły w konsekwencji do powstania pojęcia analizy funkcjonalnej. Pracował też nad podstawami fizyki matematycznej ( ), podstawami matematyki ( ) oraz w dziedzinie logiki. Prace Hilberta wywarły ogromny wpływ na rozwój nowoczesnej matematyki.

42 Rene Descartes, Kartezjusz
Ur. 1596r, zm. 1650r. Francuski filozof i matematyk, czołowy przedstawiciel francuskiego racjonalizmu XVIIw, uważany za prekursora nowożytnej kultury umysłowej, zwolennik sceptyzmu metodologicznego, postulował metodę myślenia opartą na wzorach rozumowania matematycznego, jako uniwersalną i całkowicie pewną. Twórca koncepcji tzw. kogitacjonizmu ("cogito ergo sum" - my�lę więc jestem), uznawał pewność własnego myślenia człowieka za podstawę wiedzy. W teorii poznania głosił wiarę w rozum ludzki, a poczucie oczywistości intelektualnej przyjmował za główne kryterium prawdy, głosił mechanistyczną i deterministyczną koncepcję świata fizycznego oraz tezę o dualizmie "substancji myślącej i cielesnej" (duszy i ciała). W matematyce odkrył metodę geometrii analitycznej, zajmował się badaniem krzywych i stycznych, równań algebraicznych, wprowadził pojęcie wielkości zmiennej i funkcji. W badaniach fizycznych zajmował się głównie optyką geometryczną, sformułował m.in. prawa odbicia i załamania oraz zasadę zachowania pędu.

43 Joseph Louis de Lagrange
Ur. 1736r, zm. 1813r. Francuski matematyk i mechanik-teoretyk (samouk). Od 1754r profesor geometrii w szkole artylerii w Turynie, jeden z inicjatorów powstania Akademii Królewskiej tamże. Od 1795r profesor Ecole Normale, a od 1797r Ecole Polytechnique, od 1759r członek Królewskiej Akademii Nauk w Berlinie i od 1772r francuskiej Akademii Nauk. Najważniejsze prace Lagrange'a dotyczą rachunku wariacyjnego i mechaniki teoretycznej. W głównym swym dziele "Mecanique analityque" (1788r) zawarł wszystkie najważniejsze osiągnięcia swych poprzedników w dziedzinie mechaniki teoretycznej, wzbogacając ją nowymi pojęciami i metodami, m.in. rozwiązał problem libracji Księżyca. Istotne wyniki uzyskał także w algebrze, teorii liczb, teorii równań różniczkowych, teorii funkcji eliptycznych. Jako przewodniczący francuskiej Akademii Nauk brał udział w pracach komisji nad wprowadzeniem systemu dziesiętnego. W uznaniu jego zasług Napoleona nadał mu tytuł "Comte de l'Empire".

44 Pierre Simon de Laplace
Ur. 1749r, zm. 1827r. Francuski astronom, matematyk i fizyk. Od 1817r markiz i par Francji, od 1785r członek francuskiej Akademii Nauk, od 1799r minister spraw wewnętrznych, od 1803r wiceprzewodniczący senatu. Prace Laplace'a w dziedzinie astronomii stały się podstawą rozwoju nowożytnej mechaniki nieba. W 1796r ogłosił pierwszą naukowš hipotezę kosmogeniczną, wg której Układ Słoneczny miał powstać z pierwotnej mgławicy. Laplace jest autorem bogatej w nowe idee pracy o teorii prawdopodobieństwa ("Theorie analytique des probabilites" 1812), jak też szeregu ważnych prac z innych dziedzin matematyki, m.in. równań różniczkowych, cząstkowych, teorii funkcji kulistych, teorii wyznaczników. W dziedzinie fizyki podał m.in. metodę obliczania prędkości dźwięku w powietrzu. W swych poglądach filozoficznych zbliżał się do materializmu mechanistycznego.

45 Gottfried Wilhelm Leibnitz
Ur. 1646r, zm. 1716r. Niemiecki filozof i matematyk, organizator życia naukowego w Niemczech. Założyciel w 1700r Akademii Nauk w Berlinie, od 1673r członek Royal Society, a od 1700r francuskiej Akademii Nauk. Twórca idealistycznej koncepcji filozoficznej tzw. monadologii, wg której rzeczywistość jest zespołem monad, tj. elementarnych substancji o charakterze niematerialnym i nieprzestrzennym, indywidualnych, niepodzielnych i niezniszczalnych, obdarzonych spontaniczną aktywnoscią. Monady są hierarchicznie uporządkowane, a ich działanie jest zdeterminowane przez "harmonię wprzód ustanowioną", założoną przez Stwórcę w budowie świata. W zakresie badań logicznych Leibnitz wysunął pomysł matematyzacji logiki, pojmowanej przezeń jako pewien rachunek i postulował stworzenie uniwersalnego języka symbolicznego (ideograficznego) oraz sformułował zasadę racji dostatecznej. W matematyce odkrył (niezależnie od Newtona) rachunek całkowy i różniczkowy, zapoczątkował teorię styczności krzywych i teorię obwiedni. Sformułował wiele pojęć matematycznych.

46 Nikołaj Łobaczewski Ur. 1792r, zm. 1856r. Matematyk rosyjski, współtwórca geonmetrii nieeuklidesowej. Od 1816r profesor uniwersytetu w Kazaniu. Autor prac z analizy matematycznej i metod numerycznych. Wskazywał na potrzebę doświadczalnego potwierdzenia zgodności geometrii z realnymi stosunkami w przestrzeni fizycznej. Pitagoras Ur. ok. 572r, zm. ok. 497r p.n.e. Grecki matematyk i filozof z Samos, półlegendarny założyciel słynnej szkoły pitagorejczyków w Krotonie, twórca pitagoreizmu - kierunku filozoficzno-religijnego i teoretycznonaukowego, głoszącego, że głównym celem filozofii jest doskonalenie człowieka przez samoopanowanie i wiedzę, a najlepszym sposobem poznania rzeczywistości i wewnętrznego oczyszczenia jest uprawianie matematyki. Inicjator nurtu o orientacji mistycznej, a zarazem racjonalistycznej, w filozofii greckiej, uważany za twórcę początków teorii liczb, autora tzw. Twierdzenia Pitagorasa (patrz: Podstawowe wiadomości-twierdzenia, twierdzenie nr 84), koncepcji harmonijności kosmosu i innych.

47 Isaac Newton Ur. 1643r, zm. 1727r. Angielski fizyk, astronom i matematyk. W latach profesor uniwersytetu w Cambridge, od 1672r członek Royal Society w Londynie, od 1703r jego prezes, od 1699r członek francuskiej Akademii Nauk, jednocześnie dyrektor mennicy królewskiej. W 1705r otrzymał szlachectwo. Prace Newtona dotyczyły prawie wszystkich działów fizyki. W najważniejszym swoim dziele "Philosophiae naturalis principia mathematica" (1687r) rozwinął naukę o przestrzeni, czasie, masach i siłach, podajšc ogólny schemat rozwiązywania konkretnych problemów mechaniki, fizyki i astronomii. W dziele tym podał trzy zasady dynamiki oraz sformułował prawo powszechnego ciążenia. Na ich podstawie opracował m.in. teorię ruchu planet, uzasadnił trzy prawa Keplera, wyjaśnił zjawisko precesji oraz przypływu i odpływu. W dziedzinie matematyki Newton, obok G.W.Leibnitza, jest współodkrywcą rachunku różniczkowego i całkowego. W 1699r przedstawił metodę numerycznego rozwiązywania równań, podał klasyfikację krzywych 3-go stopnia na 72 rodzaje.

48 Blaise Pascal Ur. 1623r, zm. 1662r. Francuski matematyk, fizyk, filozof i pisarz. Głosił autonomię racjonalnego myślenia w granicach nauki i zasadę rozdziału między rozumem i wiarš. Sformułował zasadę indukcji matematycznej oraz część podstaw rachunku prawdopodobieństwa. W 1642r skonstruował jedną z pierwszych maszyn matematycznych, odkrył ogólne kryterium podzielności dowolnej liczby całkowitej przez dowolną inną liczbę całkowitą oraz sposób obliczania współczynników w rozwinięciu dwumianu (a+b)n. Prekursor rachunku różniczkowego, badacz zjawisk ci�nienia atmosferycznego i zjawisk z zakresu hydrostatyki. W 1653r podał jedno z podstawowych praw hydrostatyki (tzw.Prawo Pascala) - jeżeli na ciecz nieści�liwą działają tylko siły powierzchniowe, to w każdym punkcie cieczy panuje jednakowe ciśnienie równe ciśnieniu zewnętrznemu.

49 Gerg Fridrich Bernhard Riemann
Ur. 1826r, zm. 1866r. Niemiecki matematyk i fizyk. Od 1857r profesor w Getyndze, od 1866r członek Royal Society oraz francuskiej Akademii Nauk. Podstawowe prace z równań różniczkowych cząstkowych i teorii funkcji. Riemann jest twórcą wielowymiarowej geometrii metrycznej, zwanej geometrią Riemanna, która znalazła zastosowanie w fizyce (min. Einstein zastosował geometrię Riemanna w swej ogólnej teorii względności). Zajmował się również szeregami trygonometrycznymi i teorią całki (wprowadził tzw. całkę Riemanna), jego prace wywarły olbrzymi wpływ na rozwój matematyki, niemal każda z nich dała początek jakiejś teorii matematycznej. Tales z Miletu Ur. ok. 620r, zm. ok. 540r p.n.e. Grecki filozof i matematyk, jeden z głównych twórców jońskiej filozofii przyrody. W matematyce zajmował się głównie geometrią, w której sformułował m.in. twierdzenie o prostych równoległych przecinających ramiona kąta płaskiego, nazwane od jego imienia twierdzeniem Talesa (patrz: Podstawowe wiadomości-twierdzenia, twierdzenia nr 76, 77 i 78).

50 Dylematy matematyczne
Znajdź błędy w poniższych dowodach Niech a = Wtedy 2a = 2 ( ) = = ( ) - 1 = a-1. Zatem 2a = a - 1. Stąd a = -1. Czyli -1 = Jeżeli a=b i b<>0 to ab=a2 ab-b2=a2-b2 b(a-b)=(a+b)(a-b) b=a+b b=2b 1=2

51 (-1)2=1 ln((-1)2)=ln1=0 2ln(-1)=0 ln(-1)=0 -1=e0 -1=1
Niech a>b zatem dla c>0 a=b+c a(a-b)=(b+c)(a-b) aa-ab=ab+ac-bb-bc aa-ab-ac=ab-bb-bc a(a-b-c)=b(a-b-c) a=b (-1)2=1 ln((-1)2)=ln1=0 2ln(-1)=0 ln(-1)=0 -1=e0 -1=1

52 Bibliografia http://hjkgfg.fm.interia.pl/historia.htm
Internet: Anna Osipowicz, „Lingua latina lingua nostra”, Warszawa: wydawnictwo MAG. Marek Kordos, „Wykłady z historii matematyki”, wydawnictwo SCRIPT.

53 Wykonały: Marlena Stalica Magdalena Łudzik, kl. 2 ”a”

54 "Matematyka jest alfabetem, przy pomocy którego Bóg opisał wszechświat". (Galileusz)