Pobierz prezentację
Pobieranie prezentacji. Proszę czekać
OpublikowałJakub Antczak Został zmieniony 8 lat temu
1
Wykład 3,4 i 5: Przegląd podstawowych transformacji sygnałowych
Dyskretny szereg Fouriera Dyskretna Transformacja Fouriera (DFT) i jej numeryczna aplikacja (FFT) Przykład zastosowania Transformacja Fouriera PTS 2015
2
Dyskretny szereg Fouriera
Wyprowadzenie DFS gdzie oraz . PTS 2015
3
Dyskretny szereg Fouriera cd
Podzielmy okres T na N równych podprzedziałów: Dyskretny szereg Fouriera cd . PTS 2015
4
Dyskretny szereg Fouriera cd
Oznaczając: Powyższe równanie daje możliwość obliczenia próbki (dyskretnej wartości) funkcji f(t) dla , . PTS 2015
5
Dyskretny szereg Fouriera cd
Biorąc pod uwagę, że dla dowolnych liczb naturalnych m i n zachodzi: i wprowadzając tzw. współczynniki aliasingowe: . PTS 2015
6
Dyskretny szereg Fouriera cd
Otrzymamy równanie: PTS 2015
7
Równanie: stanowi okresowy szereg Fouriera funkcji f(t) w dyskretnych chwilach czasu, a współczynniki aliasingowe (nałożeniowe) określone są wzorem: PTS 2015
8
Dyskretny szereg Fouriera cd
Przykład Wyznaczyć dyskretny szereg Fouriera funkcji podanej na rysunku (N=4): PTS 2015
9
Rozwiązanie Stosując wzór dla współczynników z „daszkiem”: otrzymujemy
Dyskretny szereg Fouriera cd Rozwiązanie Stosując wzór dla współczynników z „daszkiem”: otrzymujemy gdzie . PTS 2015
10
Dla n=0, 1, 2, 3, mamy: Czyli ostatecznie: . PTS 2015
11
Dyskretna Transformata Fouriera
DEFINICJA Dany jest ciąg o N liczbach rzeczywistych lub zespolonych. Dyskretną transformatą Fouriera ciągu jest ciąg o N liczbach określony równaniem PTS 2015
12
Transformata odwrotna:
UWAGA: Ciąg nie musi być okresowy a jego elementy mogą być liczbami zespolonymi PTS 2015
13
Przykład obliczania DFT
Dany jest ciąg wyznaczyć jego transformatę DFT PTS 2015
14
Z wzoru definicyjnego :
dla N=4 PTS 2015
15
Skąd ostatecznie Spektrum amplitudowe PTS 2015
16
Spektrum fazowe PTS 2015
17
Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT)
PTS 2015
18
Szkic uzasadnienia PTS 2015
19
Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (2) Przesunięcie
PTS 2015
20
Uzasadnienie prawdziwości właściwości transformaty DFT Przesunięcie
PTS 2015
21
Cd uzasadnienia: PTS 2015
22
Przykład (przesunięcie)
PTS 2015
23
Przykład (przesunięcie) cd
PTS 2015
24
Przykład (przesunięcie) cd
PTS 2015
25
Przykład (przesunięcie) cd
PTS 2015
26
Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (3) Splot okresowy
PTS 2015
27
Przykład 1 PTS 2015
28
Przykład 1 (cd) odbicie PTS 2015
29
Przykład 1 (cd) PTS 2015
30
Dla analogicznie PTS 2015
31
Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (4)
PTS 2015
32
Szkic dowodu PTS 2015
33
Przykład 2 PTS 2015
34
Obliczenia transformaty pierwszego sygnału
PTS 2015
35
Obliczenia transformaty drugiego sygnału
PTS 2015
36
Obliczenia transformaty drugiego sygnału
PTS 2015
37
Sprawdzenie metodą klasyczną
PTS 2015
38
Porównanie DFS i DFT PTS 2015
39
Porównanie DFS i DFT (2) PTS 2015
40
PTS 2015
41
Algorytm FFT wstęp Stosując wzór: “koszt” znalezienia
dla ustalonej wartości n, wynosi: mnożeń sumowań. PTS 2015
42
Dla n od 0 do N-1 potrzeba (N-1)2 mnożeń i N(N-1) dodawań
Czyli przykładowo, dla N=212 potrzeba mnożeń Proponowana w tej części wykładu “szybka” procedura zwana FFT (STF) zapewnia redukcję mnożeń z poprzedniego przykładu do 24576. PTS 2015
43
Szkic algorytmu DFT ciągu 2-elementowego gdzie . PTS 2015
44
Graf sygnałowy (motylkowy)
. W tej transformacie wymagane jest jedynie jedno mnożenie: przez PTS 2015
45
Przypadek N=4 . PTS 2015
46
Przypadek N=4 Wyprowadzenie . PTS 2015
47
Podane podejście uogólnić można na
N-punktowy algorytm pozwalający na znaczne przyspieszenie obliczeń. Dla użycie FFT daje 223 razy mniej mnożeń niż standardowe DFT . Niestety, algorytm wymaga określonej liczby próbek funkcji dyskretnej 2n PTS 2015
48
Zastosowanie DFT (FFT)
Wyznaczanie widma okresowych funkcji analogowych PTS 2015
49
Przykład DFT i wyznaczyć 8-punktową DFT
Chcemy spróbkować ciągły sygnał wejściowy zawierający dwie składowe: 135o i wyznaczyć 8-punktową DFT PTS 2015
50
ms PTS 2015
51
Przykład DFT cd Liczba próbek N=8
Szybkość próbkowania: Liczba próbek N=8 8-elementowy ciąg x(n) jest równy xin(nts): PTS 2015
52
Przykład DFT cd Wartości częstotliwości N kolejnych punktów na osi częstotliwości, w których wyznaczane są prążki DFT (widmo a-f transformaty), są określane jako: Czyli dla wybranej częstotliwości fs= 8000 próbek/s wyniki DFT określają składowe sygnału x(n) w punktach osi częstotliwości: PTS 2015
53
Rezultaty DFT dla N=8: PTS 2015
54
Widmo amplitudowe okresowego przebiegu x(n)
PTS 2015
55
Widmo fazowe x(n) PTS 2015
56
Wnioski dla DFT funkcji x(n) przy całkowitej liczbie okresów w przedziale N próbek.
Aby otrzymać widmo amplitudowe funkcji xin(n) z widma transformaty DFT należy uwzględnić, że: Wartości DFT dla m>=N/2 są nadmiarowe (uwzględniamy m=0,1,2,3,4) Widmo fazowe podlega twierdzeniu o przesunięciu (w naszym przypadku nie trzeba go stosować) PTS 2015
57
ms PTS 2015
58
widmo przebiegu x(n) ze składową stałą
PTS 2015
59
Co to jest „przeciek widma”?
Chcemy ponownie spróbkować ciągły sygnał wejściowy zawierający dwie składowe: i wyznaczyć 8-punktową DFT przy szybkości próbkowania i N=8: PTS 2015
60
PTS 2015
61
Widmo amplitudowe okresowego przebiegu x(n)
PTS 2015
62
Widmo fazowe okresowego przebiegu x(n)
PTS 2015
63
Co to jest “przeciek” DFT
DFT próbkowanych sygnałów rzeczywistych prowadzi do wyników w dziedzinie częstotliwości, które mogą być mylące =>jedynie kiedy próbkowany przedział (N próbek) stanowi wielokrotność okresu badanego przebiegu nie ma problemu Jeśli sygnał wejściowy zawiera składową o pewnej częstotliwości pośredniej (np.1.5fs/N) to ta składowa sygnału ujawni się w pewnym stopniu we wszystkich N wyjściowych wartościach częstotliwości DFT PTS 2015
64
Podstawy transformacji Fouriera
Sygnał x(t) PTS 2015
65
W tym celu tworzymy okresowy sygnał : o okresie pokrywający się z
Ponieważ x(t) nie jest sygnałem okresowym, nie może być przedstawiony w postaci szeregu Fouriera. Jednakże, metoda szeregu Fouriera może być zastosowana do przedstawienia x(t) w dowolnym przedziale: W tym celu tworzymy okresowy sygnał : o okresie pokrywający się z dla każdego t należącego do PTS 2015
66
gdzie PTS 2015
67
Oznaczmy: otrzymamy PTS 2015
68
Dla PTS 2015
69
Wyznaczamy ze wzoru: PTS 2015
70
stanowią parę przekształceń Fouriera.
Równania: stanowią parę przekształceń Fouriera. to transformata Fourier funkcji czasu jest odwrotną transformatą Fouriera nazywana jest całką Fouriera PTS 2015
71
Warunki wystarczające istnienia przekształcenia Fouriera
musi być bezwzględnie całkowalna W skończonym przedziale ma conajwyżej skończoną liczbę punktów ekstremalnych. W skończonym przedziale ma conajwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości i w każdym z tych punktów owe nieciągłości mają wartości skończone. PTS 2015
72
PTS 2015
73
Przykład Przykładowy impuls prostokątny PTS 2015
74
PTS 2015
75
PTS 2015
76
Wyjaśnienie istoty transformacji Fouriera:
PTS 2015
77
Transformata Fouriera pojedynczego impulsu prostokątnego
Wniosek: Moduł stanowi obwiednię dla PTS 2015
78
Moduł stanowi obwiednię dla PTS 2015
79
PTS 2015
80
PTS 2015
81
PTS 2015
82
W konsekwencji, dyskretne widmo łąńcucha impulsów
prostokątnych staje się ciągłym widmem określonym obwiednią czyli Współczynniki wykładniczego szeregu Fouriera spełniają zależność Podczas gdy transformata Fouriera poj. prostokąta wyraża się zależnością Ciągłe widmo amplitudowe, ciągłe widmo fazowe, nieokresowego sygnału x(t) PTS 2015
83
Niektóre właściwości przekształcenia Fouriera
Liniowość Transformata sumy: Jest postaci: Skalowanie PTS 2015
84
Widmo amplitudowe jest parzyste a fazowe nieparzyste:
Przesunięcie w dziedzinie czasu Jeśli: to Wniosek: WIDMO AMPLITUDOWE NIE ULEGA ZMIANIE natomiast fazowe jest przesunięte o PTS 2015
85
Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości:
Transformata pochodnej: Splot Twierdzenie o splocie PTS 2015
86
Przykład PTS 2015
87
To samo graficznie: PTS 2015
88
Transformaty Fouriera wybranych sygnałów:
impuls jednostkowy (Diraca) . impuls przesunięty: PTS 2015
89
Czyli lub PTS 2015
90
Transformata Fouriera funkcji
Ponieważ: PTS 2015
91
Transformata Fouriera funkcji cosinus
PTS 2015
92
Transformata Fouriera funkcji
Ponieważ: PTS 2015
93
Transformata Fouriera funkcji sinus
PTS 2015
94
Szybka transformacja Fouriera (FFT) uzasadnienie schematu
PTS 2015
95
DFT dwupunktowa PTS 2015
96
Graficzna interpretacja
PTS 2015
97
(e) (f) (g) (h) PTS 2015
98
Uwzględniając relacje (i):
Przedstawiamy współczynniki DFT w funkcji w2 oraz w4 PTS 2015
99
(j) (k) (l) (m) PTS 2015
100
(n) (o) PTS 2015
101
(p) (r) (s) (t) PTS 2015
102
(u) (v) (w) (x) PTS 2015
103
Graf motylkowy dla N=4 PTS 2015
104
N=8 PTS 2015
105
(a) (b) (c) (d) PTS 2015
Podobne prezentacje
© 2024 SlidePlayer.pl Inc.
All rights reserved.