Wykład drugi Szereg Fouriera Warunki istnienia

Prezentacja na temat: "Wykład drugi Szereg Fouriera Warunki istnienia"— Zapis prezentacji:

1 Wykład drugi Szereg Fouriera Warunki istnienia
Podstawowe postacie i zależności Widmo amplitudowo-fazowe PTS 2015/6 PŁ

2 Postacie trygonometryczne szeregu Fouriera funkcji okresowych:
gdzie: PTS 2015/6 PŁ

3 Wzory podstawowe dla współczynników:
Składowa stała PTS 2015/6 PŁ

4 Wykładnicza postać szeregu Fouriera:
Wykorzystując wzory: w definicyjnej postaci trygonometrycznej: PTS 2015/6 PŁ

5 I wprowadzając następujące oznaczenia:
Otrzymamy wykładniczą postać szeregu Fouriera: Gdzie współczynniki Zespolone są postaci: A dla n=0: PTS 2015/6 PŁ

6 Wsp. postaci trygonometrycznych
Związki między współczynnikami postaci trygonometrycznej i wykładniczej: Wsp.zespolony Wsp. postaci trygonometrycznych PTS 2015/6 PŁ

7 Szeregi FOURIERA -warunki
Jeżeli dla funkcji okresowej spełnione są warunki: Bezwzględnej całkowalności Skończonej liczby punktów ekstremalnych Skończonej liczby nieciągłości (o skończonej wartości) PTS 2015/6 PŁ

8 to szereg Fouriera jest zbieżny do funkcji oryginalnej
we wszystkich punktach gdzie jest ona ciągła, a we wszystkich punktach nieciągłości ti zbiega się do wartości: PTS 2015/6 PŁ

9 Niespełniony warunek 2):
PTS 2015/6 PŁ

10 Niespełniony warunek 3):
PTS 2015/6 PŁ

11 Funkcja okresowa nie musi być ciągła:
dla t1: dla T: PTS 2015/6 PŁ

12 ZADANIE 1)            1)   Okresową funkcję przedstawioną na rysunku opisz za pomocą trygonometrycznego szeregu Fouriera oraz wykładniczego szeregu Fouriera. Korzystając z otrzymanych zależności narysuj widmo amplitudowe i fazowe tej funkcji. Am1 Am2 x(t) t T T/2 PTS 2015/6 PŁ

13 Rozwiązanie: Tabela 1 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ak bk Amk 1.621 -0.18 -0.065 -0.033 0.02 Φk -90 90 PTS 2015/6 PŁ

14 WIDMO AMPLITUDOWE WIDMO FAZOWE PTS 2015/6 PŁ

15 SYNTEZA PRZEBIEGU: DLA N=50 HARMONICZNYCH PTS 2015/6 PŁ

16 DLA N=3 DLA N=10 PTS 2015/6 PŁ

17 PRZYKŁAD 2 1)            Okresową funkcję przedstawioną na rysunku opisz za pomocą trygonometrycznego szeregu Fouriera. Korzystając z otrzymanych zależności narysuj widmo amplitudowe i fazowe tej funkcji. PTS 2015/6 PŁ

18 Rozwiązanie: PTS 2015/6 PŁ

19 PTS 2015/6 PŁ

20 WIDMO AMPLITUDOWE WIDMO FAZOWE PTS 2015/6 PŁ

21 n=10 n=50 Synteza sygnału n=200 Efekt Gibbsa PTS 2015/6 PŁ

22 Widmo sygnału okresowego
Widmem zespolonym sygnału okresowego nazywamy ciąg współczynników rozwinięcia funkcji okresowej f(t) w zespolony szereg Fouriera. PTS 2015/6 PŁ

23 Widmo sygnału okresowego (cd)
Widmem amplitudowym nazywamy ciąg liczb rzeczywistych : Widmem fazowym nazywamy ciąg liczb rzeczywistych : PTS 2015/6 PŁ

24 Widmo sygnału okresowego (cd)
Z zależności Wynika, że widmo amplitudowe jest funkcją parzystą, a fazowe nieparzystą PTS 2015/6 PŁ

25 Aproksymacja sygnału  reprezentacja sygnału
okresowego skończoną liczbą wyrazów szeregu Fouriera (sumą częściową) Stąd definiuje się pojęcie błędu aproksymacji: PTS 2015/6 PŁ

26 Za miarę tego błędu przyjmuje się wartość skuteczną sygnału błędu:
Można wykazać, że PTS 2015/6 PŁ

27 Kryterium dokładności aproksymacji sygnału okresowego f(t) jego sumą częściową jest zazwyczaj błąd względny Na jego podstawie można wyliczyć liczbę wyrazów sumy częściowej zapewniającą aproksymację sygnału f(t) o założonej dokładności. PTS 2015/6 PŁ

28 Efekt Gibbsa N=7 PTS 2015/6 PŁ

29 N=11 N=15 PTS 2015/6 PŁ

30 N=25 PTS 2015/6 PŁ

31 Zjawisko Gibbsa (cd) Zwiększenie liczby wyrazów w sumie częściowej zmniejsza błąd aproksymacji Ale w sygnałach o skokowych zmianach wartości w otoczeniu punktów nieciągłości występują niekorzystne oscylacje funkcji (sygnału)  efekt Gibbsa PTS 2015/6 PŁ

32 Zjawisko Gibbsa (cd) Można wykazać, że w otoczeniu punktu nieciągłości (w którym funkcja okresowa zmienia wartość skokowo) skończony szereg aproksymujący posiada oscylacje, z których największa przyjmuje wartość ~9% wartości skoku w punkcie nieciągłości PTS 2015/6 PŁ

33 9% 100% PTS 2015/6 PŁ

34 Podsumowanie: Funkcję okresową f(t) o okresie T można przedstawić w postaci szeregu utworzonego ze składowej stałej oraz funkcji sinusoidalnych o częstotliwościach kf (k) Istnieją trzy postacie szeregu Fouriera Suma składowej stałej i harmonicznych o postaci gdzie PTS 2015/6 PŁ

35 Podsumowanie (cd) Istnieją trzy postacie szeregu Fouriera (cd)
Suma składowej stałej i funkcji cosinusoidalnych i sinusoidalnych Suma składników zespolonych (zespolony szereg Fouriera) PTS 2015/6 PŁ

36 Podsumowanie (cd) Podstawowe wzory umożliwiające obliczenie współczynników drugiej postaci: PTS 2015/6 PŁ

37 Podsumowanie (cd) Podstawowe relacje między postaciami szeregu (I i II) PTS 2015/6 PŁ

38 Podsumowanie (cd) Wsp.zespolony Wsp. postaci trygonometrycznych
Związki między współczynnikami postaci trygonometrycznej i wykładniczej: Wsp.zespolony Wsp. postaci trygonometrycznych PTS 2015/6 PŁ