Analiza stanu naprężenia

Prezentacja na temat: "Analiza stanu naprężenia"— Zapis prezentacji:

1 Analiza stanu naprężenia

2 średnia gęstość sił wewnętrznych na powierzchni DF
naprężenie w punkcie A : - funkcja wektorowa zbiór wektorów naprężenia w ustalonym punkcie przy dowolnej płaszczyźnie przekroju

3 STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE
wybieramy 3 szczególne płaszczyzny przekroju - prostopadłe do osi układu współrzędnych 11, 22, 33 - naprężenia normalne, pozostałe to naprężenia styczne

4 KONWENCJA ZNAKOWANIA NAPRĘŻEŃ
naprężenie normalne jest dodatnie, jeżeli jest zgodnie skierowane z normalną zewnętrzną płaszczyzny

5 KONWENCJA ZNAKOWANIA NAPRĘŻEŃ
naprężenie styczne jest dodatnie, jeżeli: 1) normalna zewnętrzna płaszczyzny jest zgodnie skierowana z osią układu, do której jest ona równoległa 2) naprężenie styczne jest zgodnie skierowane z osią układu, do której jest ono równoległe, lub gdy oba warunki są jednocześnie niespełnione.

6 Transformacja tensora naprężenia
x’2 x’1 x’3 x2 x1 x3 e’1 e’2 e’3 e2 e1 e3 Prawo transformacji tensorów drugiego rzędu

7 Macierz przejścia Pierwszy wiersz x3 x’3 x’2 e3 e’2 e’3 x2 e2 e1 e’1

8 Naprężenia główne Poszukujemy takiej płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt, aby odpowiadający jej wektor naprężenia miał taki sam kierunek jak wersor normalny płaszczyzny. warunek kolinearności zagadnienie wartości i wektorów własnych

9 Zagadnienie wartości i wektorów własnych

10 Zagadnienie wartości i wektorów własnych

11 Zagadnienie wartości i wektorów własnych
Jest to układ jednorodny Równanie charakterystyczne

12 Zagadnienie wartości i wektorów własnych
Równanie charakterystyczne Niezmienniki

13 Zagadnienie wartości i wektorów własnych
równanie charakterystyczne ma zawsze 3 pierwiastki rzeczywiste, które można uporządkować s1 > s2 > s3 W układzie własnym naprężenia normalne (wartości własne) przyjmują wartości ekstremalne. Nazywać je będziemy naprężeniami głównymi każdej z wartości głównych odpowiada płaszczyzna główna, określona wersorem normalnym

14 Zagadnienie wartości i wektorów własnych
wersory określające płaszczyzny główne są ortonormalne, tzn. dla dowolnego tensora naprężenia zawsze istnieją 3 wzajemnie prostopadłe naprężenia i kierunki (płaszczyzny) główne.

15 Płaski stan naprężenia
stan naprężenia, dla którego wszystkie składowe leżą w jednej płaszczyźnie, np. (x1, x2). x1 x2 11 22 12 21 macierz przejścia

16 Płaski stan naprężenia
naprężenia główne Kierunki naprężeń głównych

17 EKSTREMALNE NAPRĘŻENIA STYCZNE
Problem : W punkcie A znany jest tensor naprężenia w osiach głównych. Jaką płaszczyzną należy przekroić ciało w pkt. A, aby miara rzutu wektora naprężenia odpowiadającego tej płaszczyźnie na nią samą była maksymalna? wektor naprężenia wersor normalny  - miara rzutu wektora naprężenia na normalną  - miara rzutu wektora naprężenia

18 EKSTREMALNE NAPRĘŻENIA STYCZNE

19 EKSTREMALNE NAPRĘŻENIA STYCZNE
+ warunek Zadanie sprowadza się do znalezienia ekstremum funkcji z warunkiem pobocznym

20 EKSTREMALNE NAPRĘŻENIA STYCZNE
warunki konieczne istnienia ekstremum Naprężenia styczne osiągają swoje ekstrema na płaszczyznach nachylonych pod kątem 45º do płaszczyzn głównych