Problem obiadu Przykład. Pan domu został słomianym wdowcem i postanowił sam ugotować sobie obiad. Porównamy je-go działanie z organizacją pracy jego żony.

Prezentacja na temat: "Problem obiadu Przykład. Pan domu został słomianym wdowcem i postanowił sam ugotować sobie obiad. Porównamy je-go działanie z organizacją pracy jego żony."— Zapis prezentacji:

1 Problem obiadu Przykład. Pan domu został słomianym wdowcem i postanowił sam ugotować sobie obiad. Porównamy je-go działanie z organizacją pracy jego żony. Czynności tworzące przedsięwzięcie „gotowanie obiadu” A — gotowanie zupy: 15 min B — obranie ziemniaków: 5 min C — gotowanie ziemniaków: 25 min D — usmażenie kotleta: 15 min E — zrobienie sałatki: 10 min  ZŁA ORGANIZACJA: czas gotowania obiadu 70 minut Ile wynosi czas gotowania obiadu? 30 minut

2 METODA SIMPLEKS

3 Idea metody simpleks Metoda simpleks została opracowana ok. 40 lat temu przez G.B.Dantziga. Polega ona na poszukiwaniu rozwiązań wśród wierzchołków ZRD prowadzonym w uporządkowany, racjonalny sposób. W metodzie simpleks konstruuje się ciąg sąsiednich bazowych RD w taki sposób, by każde następne rozwiązanie było nie gorsze (w sensie przyjętej funkcji celu).

4

5 Problem piekarza Piekarnia produkuje 3 rodzaje bułek (B1, B2, B3), które odpowiednio kosztują 1, 3 i 2 złote. Na wypiek bułki pierwszej (B1) potrzeba: 1 dkg mąki, 1 dkg cukru. Na wypiek bułki drugiej (B2) potrzeba: 2 dkg mąki, 1 dkg cukru i 1 dkg rodzynek. Bułka trzecia (B3) wymaga: 1 dkg mąki, 1 dkg cukru i 2 dkg rodzynek. W magazynie piekarni dostępne jest tylko 5 dkg mąki, 4 dkg cukru i 1 dkg rodzynek. Ile i jakich bułek powinniśmy upiec, aby otrzymać największy zysk, biorąc pod uwagę ograniczone zapasy składników?

6 B1 B2 B3 mąka 1 2 5 cukier 4 rodzynki 3 bułki składniki zapasy
3 zapasy ilość składnika na bułkę ceny Funkcja celu: 1x1 + 3x2 + 2x3    →   MAX

7 Krok 1. Zapisanie modelu w postaci standardowej
1x1 + 2x2 + 1x3 ≤ 5 1x1 + 1x2 + 1x3 ≤ 4 0x1 + 1x2 + 2x3 ≤ 1 Ograniczenia: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 Krok 2. Zapisanie modelu w postaci kanonicznej By sprowadzić układ do postaci kanonicznej należy zlikwidować wszelkie nierówności w warunkach ograniczających, jeśli takowe występują. Jeśli warunek występuje w postaci mniejszościowej ≤, dodajemy zmienną swobodną, natomiast jeśli warunek występuje w postaci większościowej ≥ odejmujemy zmienną swobodną. Dodane w ten sposób zmienne swobodne nie wpływają na zmianę kryterium opłacalności, bowiem do funkcji celu zmienne te są dodawane ze współczynnikiem równym zeru.

8 Postać standardowa 1x1 + 2x2 + 1x3 ≤ 5 1x1 + 1x2 + 1x3 ≤ 4 0x1 + 1x2 + 2x3 ≤ 1 Postać kanoniczna 1x1 + 3x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6    →   MAX 1x1 + 2x2 + 1x3 + x4 = 5 1x1 + 1x2 + 1x3 + x5 = 4 0x1 + 1x2 + 2x3 + x6 = 1 Bazowa postać kanoniczna układu 1x1 + 3x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6    →   MAX 1x1 + 2x2 + 1x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 5 1x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 4 0x1 + 1x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 1

9 ceny Tabelka simpleks 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 4 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5
x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 4 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 4  0  1 wskaźniki pomocnicze wskaźniki optymalności wskaźnik funkcji celu

10 Wskaźniki optymalności pozwalają określić czy dane rozwiązanie jest optymalne.
Przy maksymalizacji funkcji celu – jeśli wszystkie wskaźniki są niedodatnie, to rozwiązanie jest optymalne. Przy minimalizacji funkcji celu – jeśli wszystkie wskaźniki są nieujemne, to rozwiązanie jest optymalne.

11 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 4  0  1 kryterium wejścia 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 2,5  4  4  1  0 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 4 kryterium wyjścia

12 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 4 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 4

13 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 4 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 -1

14 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 -3 -2 -1 6 -4

15 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 -3 -2 -1 - 6 -4 kryterium wejścia 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 -3 -2 -1 - 6 -4 kryterium wyjścia

16 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 -3 -2 -1 - 6 -4 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 -3 -2 -1 -

17 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 -3 -2 -1 - 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 -3 -2 -1 - 6

18 Funkcja celu: 1x1 + 3x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 → MAX
x1 x2 x3 x4 x5 x6 -3 -2 -1 - 6 Wreszcie koniec  Wskaźniki optymalności są niedodatnie  rozwiązanie: X1=3 X5=0 X2=1 x3=x4=x6=0 Funkcja celu: 1x1 + 3x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 → MAX Czyli 1*3 + 3*1 + 2*0 + 0*0 + 0*0 + 0*0 = 6 Najlepiej byłoby, gdyby piekarnia upiekła trzy bułki B1 i jedną bułkę B3, a zrezygnowałaby z bułki B2.