Trysekcja Maclaurina 1/3 Sylwetka Maclaurina Szereg, zwany powszechnie szeregiem Maclaurina, nie był obiektem jego dociekliwości, choć pisał o nim np.

Prezentacja na temat: "Trysekcja Maclaurina 1/3 Sylwetka Maclaurina Szereg, zwany powszechnie szeregiem Maclaurina, nie był obiektem jego dociekliwości, choć pisał o nim np."— Zapis prezentacji:

1 Trysekcja Maclaurina 1/3 Sylwetka Maclaurina Szereg, zwany powszechnie szeregiem Maclaurina, nie był obiektem jego dociekliwości, choć pisał o nim np. w r.1742 w Treatise of Fluxions. Pierwsze wyrażenia, które obecnie nazywane są rozwinięciami Maclaurina i Taylora, podał w swej książce Methodus incrementorum directa et inversa James Gregory (1638-75), z którym Brook Taylor (1685-1731) współpracował. Colin Maclaurin (1698-1746) studia uniwersyteckie podjął w Glasgow mając 11 lat. W wieku 19 lat został profesorem Uniwersytetu w Aberdeen, a od r.1725 piastował na Uniwersytecie Edynburskim stanowisko szefa katedry, rekomendowany nań przez Izaaka Newtona (1642-1727). W roku 1740 uhonorowany został w Paryżu nagrodą tamtejszej Academie des Sciences, wraz z nim takie same wyróżnienie otrzymali Leonhard Euler (1707-83) i Daniel Bernoulli (1700-82, syn Johanna, autor Hydrodynamica). Już w Glasgow jego nauczyciel, Robert Simson (1687-1768, redaktor wydania ksiąg 1-6, 11 i 12 Elementów Euklidesa), zaraził go entuzjazmem do problemów geometrycznych postawionych w starożytnej Grecji. W opublikowanej w r.1719 Geometria organica sive descriptio linearum curvarum universalis podejmuje Maclaurin ważne problemy dotyczące m.in. stożkowych i krzywych kubicznych. Próbując rozwiązać problemy starożytnych Greków zdefiniował, w roku 1742, krzywą, dziś zwana krzywą Maclaurina albo trysektrysą Maclaurina, i za jej pomocą przeprowadził trysekcję kąta.

2 Trysekcja Maclaurina 2/3 Równania krzywej Maclaurina Krzywa Maclaurina zdefiniowana jest w układzie Oxy współrzędnych prostokątnych (x,y) wzorem x = 1–4cos 2 (t) y = {1–4cos 2 (t)}·tg(t), t (– /2, /2). Na rysunku obok widzimy tę krzywą i jej łuk prowadzący przez III ćwiartkę układu współrzędnych od punktu A do punktu O (a więc gdy t biegnie od 0 do /3). Linią kropkowaną wkreślony jest okrąg o środku w (–3/2,0). Ponieważ cos(t) = {1–x} 1/2 /2, więc sin(t) = {1–cos 2 (t)} 1/2 = {3+x} 1/2 /2 i dlatego Otrzymamy równanie bezpośrednio wiążące odciętą x i rzędną y dowolnego punktu na krzywej Maclaurina. Promień r i kąt wiążą się z odciętą x i rzędną y równaniami x = r·cos, y = r·sin. Dlatego równanie (1–x)·y 2 = (3+x)·x 2 przyjmuje postać Uzyskamy teraz równanie krzywej Maclaurina w układzie Or współrzędnych biegunowych. y = {1–4cos 2 (t)}·tg(t) = {1–4·(1–x)/4}·{1–x} 1/2 /{3+x} 1/2, czyli r = 1/cos – 4·cos, (– /2, /2). {1–r·cos }·r 2 sin 2 = (3+r·cos }·r 2 cos 2. Po podzieleniu przez r 2 cos 2 ( ) i skorzystaniu ze wzoru jedynkowego mamy (1–x)·y 2 = (3+x)·x 2. Podstawiając u = tg(t) możemy równaniu krzywej Maclaurina nadać postać x = (u 2 –3)/(u 2 +1), y = u·(u 2 –3)/(u 2 +1).

3 Trysekcja Maclaurina 3/3 Konstrukcja 1/3 kąta k1. W III ćwiartce układu współrzędnych kreślimy łuk krzywej Maclaurina i zaznaczamy punkt B = (–2, 0). k2. Przez punkt B prowadzimy prostą nachyloną do osi Ox pod danym kątem (0, ). k3. Prosta ta przecina łuk w punkcie C. k4. Łączymy punkt C z początkiem O. Kąt nachylenia tego odcinka do osi Ox oznaczamy przez. Jest = /3. Uzasadnienie konstrukcji u1. Prosta BC przechodzi przez punkt B i jest nachylona do Osi Ox pod kątem, ma więc równanie y = tg( )·(x+2). u2. Prosta BC przechodzi przez punkty B i C = (1–4cos 2, {1–4cos 2 }·tg ), ma więc równanie {y–0}/{(1–4cos 2 )·tg –0} ={x–(–2)}/{(1–4cos 2 )–(–2))}, tzn. y = k·(x+2), gdzie k = tg ·(1–4cos 2 )/(3–4cos 2 ). u3. Ponieważ 4cos 2 –1 = cos(2 )+2cos 2 oraz 4cos 2 –3 = cos(2 )–2sin 2, więc u4. A że, na mocy u1, k = tg, więc tg = tg(3 ), skąd (przy założonym zakresie zmienności kąta ) wynika, iż = /3.