Dane INFORMACYJNE Gimnazjum nr 1 w Szczecinie

Dane INFORMACYJNE Gimnazjum nr 1 w Szczecinie
Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 41 w Poznaniu, Gimnazjum nr 1 w Szczecinie ID grupy: 98/14 G2, 98/91 G1 Opiekun: Elżbieta Fietz, Halina Opala Kompetencja: matematyczno -fizyczna Temat projektowy: Tajemnice tabliczki mnożenia Semestr/rok szkolny: drugi semestr 2010/2011

I. Tablice matematyczne
Tablice matematyczne to zbiory wartości różnych funkcji matematycznych dla różnych wartości ich argumentów. Najprostszym przykładem tablicy matematycznej jest tabliczka mnożenia. Tablice matematyczne służyły ułatwianiu obliczeń matematycznych, astronomicznych, fizycznych, statystycznych itp. Obecnie, na skutek upowszechnienia się elektronicznych technik obliczeniowych, tablice matematyczne wychodzą z użytku.

II.TABLICZKA MNOŻENIA Tabliczka mnożenia - tabelaryczny sposób zestawienia wyników mnożenia przez siebie liczb naturalnych. Najczęściej w formie kwadratowej tablicy (macierzy), w której kolejne wiersze i kolejne kolumny odpowiadają kolejnym liczbom mnożonym przez siebie, a gdzie na skrzyżowaniu wierszy i kolumn znajdują się wyniki mnożenia. Najczęściej spotykana jest tabliczka "do stu", o dziesięciu kolumnach i dziesięciu wierszach, w której na skrzyżowaniu dziesiątego wiersza i dziesiątej kolumny znajduje się wynik mnożenia 10×10=100.

TABLICZKI MNOŻENIA O RÓŻNYCH ZAKRESACH

Tabliczka mnożenia 10×10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100

Tabliczka mnożenia w pierścieniu Z3
Spotykane są także tabliczki o wymiarach większych (np. 12× lub 20×20), a także zestawienia wyników mnożeń liczb całkowitych w formie innej, niż kwadratowa macierz, ale na przykład w formie zestawienia. Za pomocą tabliczki mnożenia można przedstawiać wyniki działań w dowolnych skończonych strukturach algebraicznych, np. tabliczka mnożenia w pierścieniu (patrz Z modulo n): Tabliczka mnożenia w pierścieniu Z3 1 2

TABLICZKA MNOŻENIA 20 X 20 × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 21 27 33 39 42 45 48 51 54 57 60 44 52 56 64 68 72 76 80 25 35 50 55 65 70 75 85 90 95 100 66 78 84 96 102 108 114 120 49 63 77 91 98 105 112 119 126 133 140 88 104 128 136 144 152 160 81 99 117 135 153 162 171 180 110 130 150 170 190 200 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220 156 168 192 204 216 228 240 169 182 195 208 221 234 247 260 196 210 224 238 252 266 280 225 255 270 285 300 256 272 288 304 320 289 306 323 340 324 342 360 361 380 400

Tabliczki mnożenia liczb otrzymane za pomocą arkusza kalkulacyjnego
* 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220 144 156 168 180 192 204 216 228 240 169 182 195 208 221 234 247 260 196 210 224 238 252 266 280 225 255 270 285 300 256 272 288 304 320 289 306 323 340 324 342 360 361 380 400 * 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 441 462 483 504 525 546 567 588 609 630 484 506 528 550 572 594 616 638 660 529 552 575 598 621 644 667 690 576 600 624 648 672 696 720 625 650 675 700 725 750 676 702 728 754 780 729 756 783 810 784 812 840 841 870 900

* 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 961 992 1023 1054 1085 1116 1147 1178 1209 1240 1024 1056 1088 1120 1152 1184 1216 1248 1280 1089 1122 1155 1188 1221 1254 1287 1320 1156 1190 1224 1258 1292 1326 1360 1225 1260 1295 1330 1365 1400 1296 1332 1368 1404 1440 1369 1406 1443 1480 1444 1482 1520 1521 1560 1600 * 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 1681 1722 1763 1804 1845 1886 1927 1968 2009 2050 1764 1806 1848 1890 1932 1974 2016 2058 2100 1849 1892 1935 1978 2021 2064 2107 2150 1936 1980 2024 2068 2112 2156 2200 2025 2070 2115 2160 2205 2250 2116 2162 2208 2254 2300 2209 2256 2303 2350 2304 2352 2400 2401 2450 2500

* 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 2601 2652 2703 2754 2805 2856 2907 2958 3009 3060 2704 2756 2808 2860 2912 2964 3016 3068 3120 2809 2862 2915 2968 3021 3074 3127 3180 2916 2970 3024 3078 3132 3186 3240 3025 3080 3135 3190 3245 3300 3136 3192 3248 3304 3360 3249 3306 3363 3420 3364 3422 3480 3481 3540 3600 * 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 3721 3782 3843 3904 3965 4026 4087 4148 4209 4270 3844 3906 3968 4030 4092 4154 4216 4278 4340 3969 4032 4095 4158 4221 4284 4347 4410 4096 4160 4224 4288 4352 4416 4480 4225 4290 4355 4420 4485 4550 4356 4422 4488 4554 4620 4489 4556 4623 4690 4624 4692 4760 4761 4830 4900

* 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 5041 5112 5183 5254 5325 5396 5467 5538 5609 5680 5184 5256 5328 5400 5472 5544 5616 5688 5760 5329 5402 5475 5548 5621 5694 5767 5840 5476 5550 5624 5698 5772 5846 5920 5625 5700 5775 5850 5925 6000 5776 5852 5928 6004 6080 5929 6006 6083 6160 6084 6162 6240 6241 6320 6400 * 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 6561 6642 6723 6804 6885 6966 7047 7128 7209 7290 6724 6806 6888 6970 7052 7134 7216 7298 7380 6889 6972 7055 7138 7221 7304 7387 7470 7056 7140 7224 7308 7392 7476 7560 7225 7310 7395 7480 7565 7650 7396 7482 7568 7654 7740 7569 7656 7743 7830 7744 7832 7920 7921 8010 8100

* 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 8281 8372 8463 8554 8645 8736 8827 8918 9009 9100 8464 8556 8648 8740 8832 8924 9016 9108 9200 8649 8742 8835 8928 9021 9114 9207 9300 8836 8930 9024 9118 9212 9306 9400 9025 9120 9215 9310 9405 9500 9216 9312 9408 9504 9600 9409 9506 9603 9700 9604 9702 9800 9801 9900 10000 * 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 10201 10302 10403 10504 10605 10706 10807 10908 11009 11110 10404 10506 10608 10710 10812 10914 11016 11118 11220 10609 10712 10815 10918 11021 11124 11227 11330 10816 10920 11024 11128 11232 11336 11440 11025 11130 11235 11340 11445 11550 11236 11342 11448 11554 11660 11449 11556 11663 11770 11664 11772 11880 11881 11990 12100

WŁASNOŚCI TABLICZKI NNOŻENIA

III. Własności tabliczki mnożenia w zakresie od 1 do 100
1.Tabelaryczny układ tabliczki mnożenia w zakresie od 1 do 100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100

1.1. Układ kolejnych liczb w danym wierszu jest taki sam jak układ kolejnych liczb w odpowiedniej kolumnie. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100

Układ kolejnych liczb w danym wierszu jest taki sam jak układ kolejnych liczb w odpowiedniej kolumnie. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100

1.2. Suma liczb danego wiersza jest równa sumie liczb odpowiedniej kolumny
∑220 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100

Suma liczb danego wiersza jest równa sumie liczb odpowiedniej kolumny
∑385 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100

1.3 Sumy liczb kolejnych wierszy są kolejnymi wielokrotnościami sumy liczb pierwszego wiersza ( liczby 55 ). Przykłady: 1 wiersz: = 55 (1 x 55 = 55 ) 2 wiersz: = 110 ( 2 x 55 = 110 ) 3 wiersz: = 165 ( 3 x 55 = 165 ) 8 wiersz: = 440 ( 8 x 55 = 440 ) 9 wiersz: = 495 ( 9 x 55 = 495 )

1.4 Suma liczb kolejnych 10 wierszy równa jest liczbie 3025, która jest kwadratem liczby 55, będącej sumą kolejnych liczb pierwszego wiersza. Przykład: 1 wiersz = 55 2 wiersz = wiersz = wiersz = wiersz = wiersz = wiersz = wiersz = wiersz = wiersz = 55 Razem 10 wierszy = 3025 = ( 55 )2

1.5 Sumy liczb kolejnych kolumn są kolejnymi wielokrotnościami sumy liczb pierwszej kolumny ( liczby 55 ). Przykłady: 1 kolumna: = 55 ( 1 x 55 = 55 ) 2 kolumna: = 110 ( 2 x 55 = 110 ) 3 kolumna: = 165 ( 3 x 55 = 165 ) 8 kolumna: = 440 ( 8 x 55 = 440 ) 9 kolumna: = 495 ( 9 x 55 = 495 )

1.6 Suma liczb kolejnych 10 kolumn równa jest liczbie 3025, która jest kwadratem liczby 55, będącej sumą kolejnych liczb pierwszej kolumny. Przykład: 1 kolumna = 55 2 kolumna = kolumna = kolumna = kolumna = kolumna = kolumna = kolumna = kolumna = kolumna = Razem 10 kolumn = 3025 = ( 55 )2

2. Własności przekątnych tabliczki mnożenia.
A. Własności przekątnej będącej osią symetrii tabliczki mnożenia i równoległych do niej. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100 zielona przekątna tabliczki mnożenia

2.1 Zielona przekątna” tabliczki mnożenia ( poprowadzona od liczby 1 do 100 – od górnego lewego rogu tabliczki do jej dolnego prawego rogu ) jest jej osią symetrii 2.2 „Zieloną przekątną” tabliczki mnożenia tworzą kolejne liczby będące kwadratami odpowiednich liczb ( n-tego wiersza lub n-tej kolumny ). Kolejne liczby tej przekątnej tworzą ciąg liczb o wzorze an = n2 , dla n ≥ 1 Przykłady: a1 = 12 = 1 a6 = 62 = 36 a2 = 22 = 4 a7 = 72 = 49 a3 = 32 = 9 a8 = 82 = 64 a4 = 42 = 16 a9 = 92 = 81 a5 = 52 = 25 a10 = 102 = 100

2.3 Własności I-szych równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się z liczbami osi symetrii: dolnymi lewymi narożnikami ( oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz górnymi prawymi narożnikami ( oś równoległa - położona pod osią symetrii ). Kolejne liczby – stykające się ( narożnikami ) bezpośrednio z liczbami tworzącymi oś symetrii – tworzą równoległe do niej i są o 1 mniejsze od odpowiednich liczb osi symetrii tabliczki mnożenia. Tworzą one szereg liczbowy o wzorze an = n2 - 1 dla n ≥ 2 Przykłady: 4 – 1 =3, 9 –1 = 8, 16 –1 = 15, 49 – 1 = 48, 22 – 1= 3, 32 – 1= 8, 42 – 1= 15, 72 – 1 = 48,

żółta przekątna – pierwsza równoległa do osii symetrii
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100 żółta przekątna – pierwsza równoległa do osii symetrii zielona przekątna - oś symetrii

2.4 Własności II-gich równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się z liczbami I – szych równoległych do osi symetrii: dolnymi lewymi narożnikami ( II-ga oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz górnymi prawymi narożnikami ( II-ga oś równoległa - położona pod osią symetrii ). Kolejne liczby – stykające się ( narożnikami ) bezpośrednio z liczbami tworzącymi I-szą równoległą do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są o 4 mniejsze od odpowiednich liczb osi symetrii tabliczki mnożenia. Tworzą one szereg liczbowy o wzorze an = n dla n ≥ 3 an = n dla n ≥ 3 Przykłady: 9 – 4 =5, – 4 = 12, – 4 = 21, 32 – 4= 5, – 4 = 12, – 4 = 21, ,

pomarańczowa przekątna – druga równoległa do osi symetrii żółta przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100 zielona przekątna - oś symetrii

2.5 Własności III-cich równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się z liczbami II – gich równoległych do osi symetrii: dolnymi lewymi narożnikami ( III - cia oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz górnymi prawymi narożnikami ( III - cia oś równoległa - położona pod osią symetrii ). Kolejne liczby – stykające się ( narożnikami ) bezpośrednio z liczbami tworzącymi II-gie równoległe do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są o 9 mniejsze od odpowiednich liczb osi symetrii tabliczki mnożenia. Tworzą one szereg liczbowy o wzorze an = n dla n ≥ 4 an = n dla n ≥ 4 Przykłady: 16 – 9 =7, – 9 = 16, – 9 = 27, 42 – 9= 7, – 9 = 16, – 9 = 27,

żółta przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii
brązowa przekątna – trzecia równoległa do osi symetrii pomarańczowa przekątna – druga równoległa do osi symetrii żółta przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100 zielona przekątna - oś symetrii

2.6 Własności IV-tych równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się z liczbami III – cich równoległych do osi symetrii: dolnymi lewymi narożnikami ( IV - ta oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz górnymi prawymi narożnikami ( IV - ta oś równoległa - położona pod osią symetrii ). Kolejne liczby – stykające się ( narożnikami ) bezpośrednio z liczbami tworzącymi III-cie równoległe do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są o 16 mniejsze od odpowiednich liczb osi symetrii tabliczki mnożenia. Tworzą one szereg liczbowy o wzorze an = n dla n ≥ 5 an = n dla n ≥ 5 Przykłady: – 16 = 9, – 16 = 20, 52 – 16 = 9, – 16 = 20,

żółta przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii
niebieska przekątna-czwarta równoległa do osi symetrii brązowa przekątna – trzecia równoległa do osi symetrii pomarańczowa przekątna – druga równoległa do osi symetrii żółta przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100 zielona przekątna - oś symetrii

2.7 Własności I-szych równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się bokami z liczbami osi symetrii - przylegających do dwóch kolejnych liczb osi symetrii - (I-sza oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz (I-sza oś równoległa - położona pod osią symetrii ). Kolejne liczby – przylegające bezpośrednio do liczb tworzących oś symetrii – tworzą równoległe do niej i są równe połowie z sumy kolejnych dwóch liczb osi symetrii ( do których przylegają ) pomniejszonej o 1 . Tworzą one szereg liczbowy o wzorze an= (( n2+( n+1)2)-1/)2 dla n ≥ 1 dla n ≥ 1 Przykłady: a1= (( 12+( 1+1)2)-1/)2 =(( 1+4)-1)/2=2 a2= (( 22+( 2+1)2)-1/)2 = ((4+9)-1)/2=6 a3= (( 32+( 3+1)2)-1/)2=((9+16)-1)/2=12

szara przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100 zielona przekątna - oś symetrii

2.8 Własności II-gich równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się wierzchołkami z liczbami I-szych osi równoległych do osi symetrii - (II-ga oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz (II-ga oś równoległa - położona pod osią symetrii ). Kolejne liczby – stykające się wierzchołkami z liczbami I-szych osi równoległych do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są: równe pomniejszonej o dwa połowie z sumy kolejnych dwóch liczb osi symetrii ( do których przylegają ) pomniejszonej o 1; o 2 mniejsze od odpowiednich ( stykających się wierzchołkami ) liczb I-szych osi równoległych do osi symetrii Tworzą one szereg liczbowy o wzorze an= (( n2+( n+1)2)-1/) dla n ≥ 2 Przykłady: a1= (( 22+( 2+1)2)-1/)2 -2 = ((4+9)-1)/2-2=4 a2= (( 32+( 3+1)2)-1/)2-2=((9+16)-1)/2-2=10

stalowa przekątna – druga równoległa do osi symetrii szara przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100 zielona przekątna - oś symetrii

2.9 Własności III-cich równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się wierzchołkami z liczbami II-gich osi równoległych do osi symetrii - (III-cia oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz (III-cia oś równoległa - położona pod osią symetrii ). Kolejne liczby – stykające się wierzchołkami z liczbami II –gich osi równoległych do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są: równe pomniejszonej o sześć połowie z sumy kolejnych dwóch liczb osi symetrii ( do których przylegają ) pomniejszonej o 1; o 4 mniejsze od odpowiednich ( stykających się wierzchołkami ) liczb II-gich osi równoległych do osi symetrii Tworzą one szereg liczbowy o wzorze an= (( n2+( n+1)2)-1/) dla n ≥ 3 Przykłady: a1= (( 32+( 3+1)2)-1/)2 -6= ((9+16)-1)/2-6=6 a2= (( 42+( 4+1)2)-1/)2-6=((16+25)-1)/2-6=14

fioletowa przekątna trzecia równoległa do osi symetrii stalowa przekątna – druga równoległa do osi symetrii szara przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100 zielona przekątna - oś symetrii

2.10 Własności IV-tych równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się wierzchołkami z liczbami III-cich osi równoległych do osi symetrii - (IV-ta oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz (IV-ta oś równoległa - położona pod osią symetrii ). Kolejne liczby – stykające się wierzchołkami z liczbami III-cich osi równoległych do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są: równe pomniejszonej o dwanaście połowie z sumy kolejnych dwóch liczb osi symetrii ( do których przylegają ) pomniejszonej o 1; o sześć mniejsze od odpowiednich ( stykających się wierzchołkami ) liczb III-cich osi równoległych do osi symetrii Tworzą one szereg liczbowy o wzorze an= ((( n2+( n+1)2)-1))/ dla n ≥ 4 Przykłady: a1= (( 42+( 4+1)2)-1/)2 -12= ((16+25)-1)/2-12=8 a2= (( 52+( 5+1)2)-1/)2-12=((25+36)-1)/2-12=18

fioletowa przekątna trzecia równoległa do osi symetrii stalowa przekątna – druga równoległa do osi symetrii szara przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii niebieska przekątna – czwarta równoległa do osi symetrii 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100 zielona przekątna - oś symetrii

B. Własności przekątnej tabliczki mnożenia ( od 1 do 100 ) poprowadzonej z dolnego lewego narożnika w kierunku górnego prawego narożnika ( od liczby 10 do liczby 10 ) czerwonej przekątnej czerwona przekątna tabliczki mnożenia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100 zielona przekątna tabliczki mnożenia

2.11 Kolejne liczby czerwonej przekątnej rozłożone są symetrycznie względem osi symetrii tabliczki mnożenia – zielonej przekątnej. Przykład: , , 28, 30, \, 30, 28, 24, 18, 10 - 2.12 Suma kolejnych liczb tej przekątnej tabliczki mnożenia równa jest 4-krotności sumy I-szego wiersza lub I-szej kolumny i wynosi 220. Przykład: = 220 4 x 55 ( suma liczb I-szego wiersza lub I-szej kolumny ) = 220

3.1 Iloczyny liczb ułożonych po przekątnych są sobie równe równe.
3. Zależności występujące między 4 liczbami w tabliczce mnożenia – w utworzonych z tych liczb kwadratach ( z dwóch kolejnych wierszy i odpowiednio dwóch kolejnych kolumn ). 3.1 Iloczyny liczb ułożonych po przekątnych są sobie równe równe. 4*9=6*6=36 24*35=28*30 =840 40*54=48*45=2160 4 6 9 24 28 30 35 40 48 45 54

3. 2. Odpowiednie ilorazy liczb są sobie równe.
a) w kolumnach 4/6=6/9≈0,67 6/4=9/6=1,5 24/30=28/35=0,8 30/24=35/28=1,25 40*54=48*45=2160 45/40=54/48=1,125 4 6 9 24 28 30 35 40 48 45 54

3. 2. Odpowiednie ilorazy liczb są sobie równe.
b) W wierszach 4/6=6/9≈0,67 6/4=9/6=1,5 24/28=30/35≈0,86 28/24=35/30≈1,17 40*48=45*54≈0,83 48/40=54/45=1,2 4 6 9 24 28 30 35 40 48 45 54

4. Zależności występujące między 9 liczbami w tabliczce mnożenia – w utworzonych z tych liczb kwadratach ( z trzech kolejnych wierszy i odpowiednio trzech kolejnych kolumn ). 4.1 Iloczyny trzech kolejnych liczb wziętych po przekątnych są sobie równe. 4*9*16=8*9*8=576 24*36*50=30*36*40=43200 4 6 8 9 12 16 24 32 40 27 36 45 30 50

4.2 Liczba środkowa jest średnią arytmetyczną liczb przyległych do niej ( liczby o jeden od niej mniejszej i o jeden od niej większej ) a) W kolumnie (4+8)/2=12/2=6 (6+12)/2=18/2=9 (8+16)/2=24/2=12 (24+30)/2=54/2=27 (32+40)/2=72/2=36 (40+50)/2=90/2=45 4 6 8 9 12 16 24 32 40 27 36 45 30 50

4.2 Liczba środkowa jest średnią arytmetyczną liczb przyległych do niej ( liczby o jeden od niej mniejszej i o jeden od niej większej ) b) W wierszu (4+8)/2=12/2=6 (6+12)/2=18/2=9 (8+16)/2=24/2=12 (24+40)/2=64/2=32 (27+45)/2=72/2=36 (30+50)/2=80/2=40 4 6 8 9 12 16 24 32 40 27 36 45 30 50

4.3 Suma kolejnych 3 liczb środkowej kolumny równa jest sumie kolejnych 3 liczb środkowego wiersza.
6+9+12=6+9+12=27 = =108 4 6 8 9 12 16 24 32 40 27 36 45 30 50

4.4. Suma 4 kolejnych liczb skrajnych równa jest sumie 4 kolejnych liczb środkowych.
skrajne : =36 środkowe: =36 skrajne: =144 środkowe: =144 4 6 8 9 12 16 24 32 40 27 36 45 30 50

4.5 Iloczyn trzech kolejnych liczb leżących na przekątnej ( danego układu 9 liczb ) podzielony przez liczbę skrajną położoną naprzeciw danej przekątnej równy jest iloczynowi dwóch kolejnych liczb środkowych – leżących po przeciwnej stronie w stosunku do danej liczby skrajnej, przez którą dzielimy. 4*9*16/8=6*12+=72 30*36*40/50=27*32=864 = 4 6 8 9 12 16 24 32 40 27 36 45 30 50

4.6 Liczba środkowa leżąca na przecięciu się przekątnych jest średnią arytmetyczną liczoną jako:
a)sumę liczb środkowych podzieloną przez ich ilość czyli liczbę 4 ( )/4=36/4=9 ( )/4=144/4=36 4 6 8 9 12 16 24 32 40 27 36 45 30 50

b) sumę liczb skrajnych podzieloną przez ich ilość czyli liczbę 4 ( )/4=36/4=9 ( )/4=144/4=36 4 6 8 9 12 16 24 32 40 27 36 45 30 50

5.Zależności występujące między 16 liczbami w tabliczce mnożenia – w utworzonych z tych liczb kwadratach ( z czterech kolejnych wierszy i odpowiednio z czterech kolejnych kolumn ). 5.1 W wierszu suma liczb skrajnych równa jest sumie liczb środkowych =12+14= =18+21= =24+28=53 25+40=30+35=65 35+56=42+49= =48+56= =54+63= =60+70=130 10 12 14 16 15 18 21 24 20 28 32 25 30 35 40 35 42 49 56 40 48 64 45 54 63 72 50 60 70 80

INNE WŁASNOŚCI 5.2 Własność z punktu 5.1 występuje również w przypadku kolumn – w kolumnie suma liczb skrajnych równa jest sumie liczb środkowych. 5.3 Suma liczb dwóch kolumn środkowych równa jest sumie liczb dwóch wierszy środkowych. 5.4 Suma liczb dwóch kolumn skrajnych równa jest sumie liczb dwóch wierszy skrajnych. 5.5 Sumy liczb wskazane w punkcie 5.3 i 5.4 są sobie równe.

Własności tabliczki mnożenia-cd

IV.Trójkątna tabliczka mnożenia
1 2 4 3 6 9 8 12 16 5 10 15 20 25 18 24 30 36 7 14 21 28 35 42 49 32 40 48 56 64 27 45 54 63 72 81 50 60 70 80 90 100 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 84 96 108 120 132 144

V. Tablica liczb ( N N ) zwana tablicą Pitagorasa
Suma wszystkich liczb tej tablicy jest kwadratem liczby naturalnej

VI. Kwadrat magiczny S=n(n2+1)/2
Kwadrat magiczny – tablica składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n2 różnych dodatnich liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym. Kwadraty magiczne nie mają żadnego zastosowania naukowego, ich układanie jest rodzajem rozrywki matematycznej. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele. Najpopularniejsze są kwadraty zbudowane z kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: 1, 2, ... n2. Suma magiczna takiego kwadratu wynosi S=n(n2+1)/2

Kwadrat magiczny Przykład kwadratu magicznego o sumie 15

Inne kwadraty magiczne
S = 15 n = 4, S = 74 n = 9, S = 369

VII. Tablica liczb losowych
Tablica liczb losowych – tablica wypełniona liczbami losowymi. Obecnie wychodzą z użycia na rzecz komputerowych generatorów liczb losowych Pierwszą tablicę liczb losowych wydał w roku 1927 L. H. Tippett pod tytułem „Random Sampling Numbers". Zawierała ona cyfr (od 0 do 9) pobranych z danych ze spisu powszechnego w Wielkiej Brytanii. Cyfry te uzyskano z liczb wyrażających powierzchnie parafii, po odrzuceniu dwóch pierwszych i dwóch ostatnich cyfr z każdej liczby. W 1939 R. A. Fisher i F. Yates podali tablicę cyfr losowych, uzyskaną przez wypisanie cyfr od 15. do 19. z pewnych 20-cyfrowych tablic logarytmicznych. W tym samym roku Kendall, Babington i Smith przedstawili tablicę cyfr losowo uzyskanych za pomocą „elektrycznej ruletki", czyli wirującego dysku z oznaczeniami cyfr , obserwując w przypadkowych chwilach wybrany sektor ruletki. Tablice liczb losowych miały ograniczoną długość i zawierały tylko jeden ciąg takich liczb. W celu przedłużenia ich żywotności (nie można było stale wykorzystywać tych samych liczb, bo to przeczyłoby idei losowości) opracowywano algorytmy wytwarzania ciągów losowych na podstawie tablic.

VIII. Tablica liczb pierwszych
Sito Eratostenesa - metoda znajdowania liczb pierwszych

Tablica liczb pierwszych i rozkładów na czynniki pierwsze
76 =2×2×19 77 =7×11 78 =2×3×13 79 Liczba pierwsza nr 22 80 =2×2×2×2×5 81 =3×3×3×3 82 =2×41 83 Liczba pierwsza nr 23 84 =2×2×3×7 85 =5×17 86 =2×43 87 =3×29 88 =2×2×2×11 89 Liczba pierwsza nr 24 90 =2×3×3×5 91 =7×13 92 =2×2×23 93 =3×31 94 =2×47 95 =5×19 96 =2×2×2×2×2×3 97 Liczba pierwsza nr 25 98 =2×7×7 99 =3×3×11 51 =3×17 52 =2×2×13 53 Liczba pierwsza nr 16 54 =2×3×3×3 55 =5×11 56 =2×2×2×7 57 =3×19 58 =2×29 59 Liczba pierwsza nr 17 60 =2×2×3×5 61 Liczba pierwsza nr 18 62 =2×31 63 =3×3×7 64 =2×2×2×2×2×2 65 =5×13 66 =2×3×11 67 Liczba pierwsza nr 19 68 =2×2×17 69 =3×23 70 =2×5×7 71 Liczba pierwsza nr 20 72 =2×2×2×3×3 73 Liczba pierwsza nr 21 74 =2×37 75 =3×5×5 Liczba Czynniki pierwsze 2 Liczba pierwsza nr 1 3 Liczba pierwsza nr 2 4 =2×2 5 Liczba pierwsza nr 3 6 =2×3 7 Liczba pierwsza nr 4 8 =2×2×2 9 =3×3 10 =2×5 11 Liczba pierwsza nr 5 12 =2×2×3 13 Liczba pierwsza nr 6 14 =2×7 15 =3×5 16 =2×2×2×2 17 Liczba pierwsza nr 7 18 =2×3×3 19 Liczba pierwsza nr 8 20 =2×2×5 21 =3×7 22 =2×11 23 Liczba pierwsza nr 9 24 =2×2×2×3 25 =5×5 26 =2×13 27 =3×3×3 28 =2×2×7 29 Liczba pierwsza nr 10 30 =2×3×5 31 Liczba pierwsza nr 11 32 =2×2×2×2×2 33 =3×11 34 =2×17 35 =5×7 36 =2×2×3×3 37 Liczba pierwsza nr 12 38 =2×19 39 =3×13 40 =2×2×2×5 41 Liczba pierwsza nr 13 42 =2×3×7 43 Liczba pierwsza nr 14 44 =2×2×11 45 =3×3×5 46 =2×23 47 Liczba pierwsza nr 15 48 =2×2×2×2×3 49 =7×7 50 =2×5×5 100 =2×2×5×5

IX.RÓŻNE SPOSOBY MNOŻENIA LICZB DZIEWIĄTKA I TABLICZKA MNOŻENIA
Dziewiątka jest bardzo miłą cyfrą, zwłaszcza dla tych, którym z trudnością przychodzi zdobycie tej najważniejszej ze wszystkich „zdobyczy" matematycznych - tabliczki mnożenia. Otóż można zupełnie nie uczyć się mnożenia przez 9. Po co sobie obciążać pamięć? Wystarczy mieć 10 palców u rąk, obie ręce położyć na stole i unosić odpowiedni palec, a mnożenie samo się dopełni i trzeba będzie tylko odczytać rezultat. Jeśli np. chcemy pomnożyć 9 przez 3, podnosimy trzeci palec od lewej strony i czytamy: liczba palców w lewo od podniesionego będzie oznaczała dziesiątki iloczynu (2), a liczba palców w prawo - jedności (7). Jeśli chcemy 7 pomnożyć przez 9, unosimy siódmy palec od lewej strony i czytamy: 63.

INNE SPOSOBY NA MNOŻENIE
Pewien autor syryjski z XVII w., nazwiskiem B e h a-E d d i n ( ), w dziełku swym bardzo rozpowszechnionym w Persji i Indiach pod tytułem Khelasat as hissab (O istocie rachunków) podaje odmienny nieco, ale równie pomysłowy sposób palcowego mnożenia przez inne liczby, niezbędny dla tych, co nie chcą lub nie mogą sięgać w nauce tabliczki mnożenia powyżej 5. Kto zdobył tajemnicę, ile jest 2*2, 2*3 i tak dalej aż do 5*5, ten wyżej iść już w tej trudnej nauce nie potrzebuje, wystarczą mu bowiem do bardziej skomplikowanych mnożeń palce.

MNOŻYMY NA PALCACH 9 RAZY 8
Przypuśćmy, że trzeba wykonać mnożenie 9*8. Ale 9 = 5 + 4, a 8 = 5 + 3, to znaczy 9*8=(5+4)*(5+3). Należy tedy podnieść 4 palce u jednej ręki i 3 palce u drugiej ręki. Suma palców podniesionych (4 + 3) wskaże liczbę dziesiątek iloczynu (7), a jedności iloczynu osiągniemy mnożąc liczbę zgiętych palców jednej ręki przez liczbę takich że palców drugiej ręki: 1* 2 = 2. A więc ostatecznie 9*8 = 72. A jednak,... jednak chyba lepiej wyuczyć się po prostu tabliczki mnożenia.

Przy mnożeniu 8*7, co daje (5 + 3)*(5 + 2), należy zgiąć u jednej ręki 3 palce, a u drugiej 2 i pozostałe palce wyprostować. Suma zgiętych palców = 5 będzie to liczba dziesiątek, a iloczyn wyprostowanych palców 2*3=6 będzie to liczba jedności poszukiwanego wyniku. Razem będzie 56. Taki to jest trudny przypadek mnożenia. A jednak,... jednak chyba lepiej wyuczyć się po prostu tabliczki mnożenia.

Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden palec, a cztery pozostałe są zgięte. Na prawej dłoni trzy palce są wyprostowane, a dwa zgięte. 6 = (1 palec - dłoń lewa) 8 = (3 palce - dłoń prawa). Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni, dodajemy do sumy palców wyprostowanych, pomnożonej przez 10, iloczyn palców zgiętych, tzn.: (1 + 3)×10 + 4×2 = = 48.

5×6 = (0+1)×10 + 5×4 = = 30

x. GEOMETRYCZNA TABLICZKA MNOŻENIA
Spójrzmy teraz na pewną geometryczną ciekawostkę. Nazwijmy ją geometryczną tabliczką mnożenia. Dlaczego geometryczną? Sam(a) odpowiedz sobie na to pytanie przyglądając się poniższym rysunkom. Powiem tylko, że przedstawiona poniżej geometria figur w kole redukuje się de facto do czterech cyfr: 1,2,3,4 ponieważ pozostałe cyfry: 5,6,7,8 tworzą identyczną geometrię jak 1,2,3,4. Można powiedzieć, że 0 i 9 symbolizują w tym przykładzie "nieskończoność", w której pojawiają się różne kształty

GEOMETRYCZNA TABLICZKA MNOŻENIA

Geometryczna tabliczka mnożenia CD

Tetraktys i geometryczna tabliczka mnożenia
Grecy uważali liczbę dziesięć za równą jedności i jednocześnie za związaną z liczbą cztery, gdyż =10 . Suma pierwszych czterech liczb tworzyła wspomniany TETRAKTYS zapisywany graficznie w formie piramidy na płaszczyźnie z podstawą składającą się z czterech kul, na której ułożone były trzy kule, następnie dwie i na czubku jedna.

SNY I TABLICZKA MNOŻENIA
A jeśli przyśni ci się tabliczka mnożenia? U dzieci są to dobre stopnie z arytmetyki. U dorosłych symbolizuje nabytą wiedze, że zawsze właściwie zastosowaną na co dzień, przez co mają opinię mędrków.

xi. TRÓJKĄT PASCALA W poniższej tabeli zostały przedstawione początkowe liczby występujące w trójkącie Pascala. Trójkąt Pascala nie jest figurą geometryczną. Został on tak nazwany, ponieważ liczby, które w nim występują układają się w trójkąt. W wierzchołku trójkąta oraz wzdłuż boków wychodzących z tego wierzchołka są jedynki. Reszta liczb powstaje w ten sposób, że liczba będąca w kolejnym rzędzie jest sumą dwóch liczb, które są bezpośrednio nad nią.

Trójkąt Pascala jest to trójkątna tablica liczb.

Własności trójkąta Pascala
Na bocznych rzędach trójkąta są jedynki. W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4, ...). W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi (są to liczby trójkątne). Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta (1, 3, 6, 10, ...). W trzecim liczby piramidalne, podają liczbę kulek ułożonych czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35) W czwartej liczbę kul w "czworościanie" w przestrzeni czterowymiarowej.

przekątne Pierwsza przekątna to oczywiście same „jedynki”, następna przekątna ma liczby naturalne, trzecia przekątna utworzona została z liczb trójkątnych, tj.: kolejność stanowi wzór punktów tworzących trójkąt. Dodając kolejny wiersz z kropkami i sumując wszystkie punkty, można znaleźć następną liczbę w sekwencji

Uogólniając, w n tym rzędzie bocznym znajdują się liczby n- komórkowe
Uogólniając, w n tym rzędzie bocznym znajdują się liczby n- komórkowe. Wracając do rzędu zerowego i uogólniając możemy policzyć liczbę elementów trójkącie w przestrzeni jedno- i zerowymiarowej. Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2. Każdy element trójkąta zawiera liczbę różnych dróg, jakimi można do niego dotrzeć z wierzchołka poruszając się do sąsiednich elementów w lewo w dół oraz w prawo w dół. Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego.

I jeszcze trójkąt pascala
Co można zauważyć w sumach poziomych: Czy jest jakiś wzór? Niewiarygodne! Suma podwaja się w kolejnych wierszach!

xIi NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZENIA i tabliczka mnożenia.
Czy prawdą jest popularne powiedzenie : ,, ... to jest oczywiste jak 2 x 2 jest 4 ’’. To powiedzenie pokazuje jak bardzo system dziesiętny zakorzenił się w rzeczywistości. Istnieją różne niedziesiątkowe systemy zapisywania liczb. Liczba 7 wyrażona kolejno w tych systemach ma postać : (7)10=(111)2 =(21)3 =(13)4 =(12)5= (11)6=(10)7= (7)8 =(7)9 =(7)11=(7)12 a liczba 10 w tych systemach : (10)10=(1010)2 =(101)3 =(22)4 =(20)5 =(14)6 =(13)7 =(12)8 =(11)9= (D)11 =(D)12

Zasady zapisywania liczb w systemach niedziesiątkowych
Zapis liczb w różnych systemach opiera się na tych samych zasadach co w systemie dziesiętnym a różni się ilością używanych cyfr. W systemie dwójkowym używamy dwóch cyfr , w trójkowym trzech itd. W systemach jedenastkowym , dwunastkowym itd. trzeba wprowadzić dodatkowe symbole na oznaczenia liczb : 10 , 11 itd. , które w tych systemach są cyframi ( ja oznaczyłam : 10 – D, 11 – J ).

\ TABLICZKA MNOŻENIA W SYSTEMIE SIÓDEMKOWYM
Wyniki mnożenia w systemach np. siódemkowym lub piątkowym można zapisać w tabelkach (5342)7 x ( 6)7=(45045)7 Obliczenia cząstkowe : (6x2)7=(15)7 (6x4)7+(1)7=(33)7+(1)7=(34) 7 (6x3)7+(3)7=(24)7+(3)7=(30)7 (6x5)7+(3)7=(45)7 Można ten wynik sprawdzić : (5342)7 =1892, (6)7=6, (45045)7= x 6=11352 1 2 3 4 5 6 11 13 15 12 21 24 22 26 33 34 42 51

TABLICZKA MNOŻENIA W SYSTEMIE PIĄTKOWYM
(3214)5 x ( 3)5 =(20202)5 Obliczenia cząstkowe : (3x4)5=(22)5 (3x1)5+(2)5=(3)5+(2)5=(10)5 (3x2)5+(1)5=(11)5+(1)5=(12)5 (3x3)5+(1)5=(14)5+(1)5=(20)5 Sprawdzenie : (3214)5 = 434 (3)5 = 3 434x3=1302 (20202)5 = 1302 1 2 3 4 11 13 14 22 31

Czy dwa razy dwa zawsze daje cztery?
Mnożąc liczby w systemach niedziesiątkowych otrzymujemy np.: (2)3 x (2)3 = (11)3 (2)4 x (2)4 = (10)4

Wynik mnożenia przez 9 obliczamy następująco:
Mnożenie przez 9 Wynik mnożenia przez 9 obliczamy następująco: ilość dziesiątek (wyniku) otrzymujemy odejmując 1 od liczby mnożonej przez 9; zastanawiamy się ile trzeba do otrzymanej liczby dodać aby otrzymać 9 - to nasza liczba jedności Przykłady: zamiast mnożyć liczbę (np.5) przez 9, mnożymy ją przez 10 i odejmujemy od wyniku tą liczbę (5)

Przykłady: 6x9=54, bo 6x10=60, a 60-6=54 3x9=27, bo 3x10=30, a 30-3=27
Te wyliczenia początkowo mogą wydawać się skomplikowane, ale gdy się zrozumie zasadę i dobrze dodaje i odejmuje w pamięci, to czasem lepsze jest wyliczanie od zapamiętywania wyników.

xIii Suwak logarytmiczny
Suwak logarytmiczny (suwak rachunkowy) – prosty przyrząd ułatwiający obliczenia, powszechnie używany przez inżynierów do końca lat 80. XX wieku. Wynaleziony w 1632 roku przez Williama Oughtreda, zainspirowany linijką logarytmiczną Edmunda Guntera. Suwak logarytmiczny umożliwia mnożenie, dzielenie i wiele innych działań np. logarytmowanie, potęgowanie, pierwiastkowanie. Spełnia rolę tablic trygonometrycznych. Niekiedy posiada dodatkowe znaczniki lub skale pozwalające szybko obliczać powierzchnię koła, ciężar i wytrzymałość prętów itp.

Mnożenie za pomocą suwaka
Przykład: Mnożenie 2x3. Jedynka przesuwki ustawiona nad pierwszym czynnikiem (2). Wynik (6) odczytujemy pod drugim czynnikiem (3). Zauważmy, że w takim ustawieniu możemy odczytać wszystkie inne mnożenia przez 2. Na podziałce (A) znaleźć pierwszy czynnik iloczynu (tu: 2,0) i ustawić nad nim "1" lub "10" podziałki (B). Na podziałce (B) odnaleźć drugi czynnik iloczynu (tu: 3,0) i ustawić na nim kresę okienka. Położenie drugiego czynnika wskazuje na podziałce (A) wynik mnożenia (tu: 6,0). Ustalić położenie miejsca dziesiętnego ustalić rząd wielkości czynników, tu: +1 (dla 2,0) oraz +1 (dla 3,0), ponieważ wynik (liczba 6,0) znajduje się na prawo od pierwszego czynnika (liczba 2,0), zapisać korektę -1 (gdyby wynik znajdował się na lewo od pierwszego czynnika, zapisać korektę zero), zsumować wielkości czynników oraz korektę: ( − 1) = 1, wynik posiada jedną cyfrę przed znakiem dziesiętnym więc 6,0 (czyli 2x3 = 6).

xIv Liczby wielokątne Liczby wielokątne są liczbami prezentowanymi jako kropki lub kulki ułożone na kształt wielokąta foremnego, np. liczba 6 może zostać przedstawiona jako trójkąt, liczba 9 jako kwadrat. Istnieją także liczby, które mogą zostać ułożone w więcej niż 1 wielokąt foremny, np. liczba 36 jest liczbą trójkątną i kwadratową. Pojęcie liczb wielokątnych zawdzięczamy pitagorejczykom. Następnie zajmowali się nimi m.in. J. L. Lagrange, L. Euler, J. C. F. Gauss i A. Cauchy. Liczba trójkątna to każda taka liczba o numerze n, będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z n kół. Graficznie liczby trójkątne można przedstawić następująco:

Zależność na n-tą liczbę trójkątną można przedstawić według wzoru:
Liczby trójkątne gdzie n jest liczbą naturalną. Liczba trójkątna o n-tym numerze jest sumą kolejnych liczb naturalnych.

Liczba kwadratowa Liczba kwadratowa natomiast to każda taka liczba o numerze n, będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół. Graficznie liczby kwadratowe można przedstawić następująco: Zależność na n-tą liczbę kwadratową można przedstawić według wzoru: gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc kwadratami kolejnych liczb ciągu naturalnego.

Inne liczby wielokątne
Na podobnej zasadzie jak liczby trójkątne i kwadratowe tworzone są inne liczby wielokątne. Przykłady liczb trójkątnych, kwadratowych i innych wielokątnych przedstawia tabela:

Wzór na liczbę wielokątną

XV. liczby wielościenne
Gdy weźmiemy pod uwagę przykłady: liczby pierwszego wiersza tworzą postęp arytmetyczny, drugiego wiersza są sumami liczb pierwszego, liczby trzeciego wiersza są sumami liczb drugiego wiersza. Liczby drugiego wiersza zwą się liczbami w i e l o b o c z n e m i , trzeciego wiersza p i r a m i d o w e m i . Zależnie od różnicy postępu arytmetycznego, liczby wieloboczne zwą się trójkątnemi, czworobocznemi, pięciobocznemi i t. d., podobnie liczby trzeciego wiersza.

Strony, z których czerpaliśmy informacje
Tabliczka mnożenia inaczej – Grażyna Jabłońska

Dziękujemy za obejrzenie
naszej prezentacji

Dane INFORMACYJNE Gimnazjum nr 1 w Szczecinie

Podobne prezentacje

Prezentacja na temat: "Dane INFORMACYJNE Gimnazjum nr 1 w Szczecinie"— Zapis prezentacji:

Podobne prezentacje

О projekcie

Zwrotny adres

Wejść

Zaloguj się poprzez sieć społeczną:

Dane INFORMACYJNE Gimnazjum nr 1 w Szczecinie

Podobne prezentacje

Prezentacja na temat: "Dane INFORMACYJNE Gimnazjum nr 1 w Szczecinie"— Zapis prezentacji:

Podobne prezentacje

О projekcie

Zwrotny adres