PULSACJE GWIAZDOWE Jadwiga Daszyńska-Daszkiewicz, semestr zimowy 2009/2010 1.

Prezentacja na temat: "PULSACJE GWIAZDOWE Jadwiga Daszyńska-Daszkiewicz, semestr zimowy 2009/2010 1."— Zapis prezentacji:

1 PULSACJE GWIAZDOWE Jadwiga Daszyńska-Daszkiewicz, semestr zimowy 2009/2010 1

2  Zależności czasowe i kątowe  liniowe równania nieadiabatyczne
RÓWNANIA PULSACYJNE  Analiza zaburzeń liniowych  Zależności czasowe i kątowe  liniowe równania nieadiabatyczne  Przybliżenie adiabatyczne  liniowe równania adiabatyczne

3 Pulsacje – małe zaburzenia wokół stanu równowagowego
p(r,t) = p0(r)+ p’(r,t) p(r,t) = p0(r0)+p(r,t)  =  r = r - r0 LINEARYZACJA

4 Reguły komutacji

5 równanie ciągłości w zmiennych Eulera lub w zmiennych Lagrange’a

6 równanie ruchu gdzie g’= ’
zaburzenie potencjału spełnia zaburzone równanie Poissona

7 równanie energii korzystając z następującej własności dostaniemy

8  = f(,T,{Xi})  Zaburzenie strumienia promienistego: F’ = -K0T’- K’T0

9 ZALEŻNOŚCI CZASOWE I KĄTOWE
Zakładamy symetrię sferyczną i czasową niezależność dla modelu równowagowego. Wówczas rozwiązanie możemy rozdzielić w czasie oraz we współrzędnych kątowych p’(r,,,t)= p’(r) f(,) exp(-it) f(, ) – funkcja opisująca zależności kątowe, którą wyznaczymy p’(r) - amplituda zmian danej wielkości fizycznej zależność czasową zakładamy w postaci exp(-it)

10 Wówczas równanie ruchu ma postać
i ma charakter liniowego zagadnienia na wartości własne do wartości własnej 2 . Prawa strona - liniowy operator , L( ).

11 Aby otrzymać f(, ) wyrażamy  jako
=r =r ar + h

12 f(, ) = NmPm(cos ) eim =Ym( , )

13 Czyli zmienne zapisujemy w postaci
p’(r,,,t)= p’(r) Ym(,) exp(-it)

14 r, h- średnie przesunięcie radialne i horyzontalne
- horyzontalna składowa składowa tangencjalna liczby falowej w lokalnym przybliżeniu oscylacji jako fali płaskiej, kh horyzontalna długość fali na powierzchni

15 propagacja fali dźwiękowej
kropkowane kółka- wewnętrzne punkty odbicia

16 równania pulsacyjne przekształcamy do następującej postaci

17 Mając separacje zmiennych równania pulsacyjne
redukują się do zwyczajnych równań różniczkowych na funkcje amplitudy danych wielkości fizycznych.

18 p’(r,,,t)= p’(r) Ym(,) exp(-it)
Zakładając perturbacje r , p’, T’, Q , ’, Fr’ w postaci p’(r,,,t)= p’(r) Ym(,) exp(-it) dostaniemy

19 otrzymamy równania na p’(r), …

20

21 Równania te są podstawowymi równaniami dla
liniowych nieradialnych pulsacji nieadiabatycznych z sześcioma zmiennymi: r , p’, T’, Q , ’, Fr’ .

22 Równanie te wraz z warunkami brzegowymi
pozwalają na znalezienie wszystkich wartości własnych i odpowiadających im funkcji własnych. Rząd azymutalny, m, nie występuje w równaniach pulsacyjnych. Zaniedbanie rotacji, pola magnetycznego etc. prowadzi do (2+1)-krotnej degeneracji częstotliwości, 2, i radialnych funkcji własnych.

23 WARUNKI BRZEGOWE W CENTRUM
dla r0 współczynniki w równaniach pulsacyjnych zachowują się następująco: g~0 , ~const , c2~const , L2 ~1/r2 , N2~0 , N2/g~0 szukamy rozwiązań typu r , r –( +1) , r-1

24 WARUNKI BRZEGOWE NA POWIERZCHNI
r=R

25 PRZYBLIŻENIE ADIABATYCZNE
W wielu przypadkach wyraz grzania Q/t możemy zaniedbać. Takie przybliżenie znacznie upraszcza zagadnienie. Aby uzasadnić jego użycie rozważmy:

26 Zakładając, że T dominuje w równaniu dyfuzyjnym dostaniemy
gdzie [cgs]

27 F  KH >>P - przybliżenie adiabatyczne jest dobre
Dla przybliżenia adiabatycznego mamy całkując po czasie dostaniem w formalizmie Eulera mamy

28 W przybliżeniu adiabatycznym (Q=0)
mamy tylko zmienne: r , p’ , ’

29

30 PRZYBLIŻENIE COWLINGA, ’ = 0
Znacznie upraszcza równania pulsacyjne. Założenie: wkład do zmian  z jednej części gwiazdy jest prawie całkowicie znoszony przez wkłady z innych części gwiazdy. Ogólnie przybliżenie Cowlinga jest dobre dla 2, oraz wysokich owertonów (duże n), oraz wszędzie tam gdzie U=4 r3/Mr jest małe.

31 Jeśli ’=0 to na powierzchni
r=h2 2 - bezwymiarowa częstotliwość oscylacji 2=  2R3/GM

32 FORMALIZM DZIEMBOWSKIEGO
Dziembowski (1977, AcA 21, 289) podał bardzo użyteczną postać równań pulsacyjnych wprowadzając bezwymiarowe zmienne.

33 Zmienne te mają ten sam rząd wielkości, dlatego nie tracimy
znacząco dokładności w obliczeniach numerycznych. Sformułowanie to pozwala na bezpośrednie porównanie własności pulsacyjnych gwiazd o znacznie różnych parametrach gwiazdowych , np. białe karły a olbrzymy.

34 po wstawieniu zmiennych bezwymiarowych do wcześniej
poznanych równań pulsacyjnych otrzymamy: gdzie A< 0 → niestabilność konwektywną

35 Dla znalezienia częstotliwości własnych modów oscylacji
dla realistyczych modeli gwiazdowych musimy znać : C, V, A, U, 1 , w funkcji odległości od centrum x=r/R oraz średnią gęstość , <>.

36 WARUNKI BRZEGOWE

37 WEWNĘTRZNY (CENTRUM)

38 ZEWNĘTRZNY (POWIERZCHNIA)

39 Zadanie 1: Przekształcić równania pulsacyjne do równań
o zmiennych bezwymiarowych. Zadanie 2: Pokazać, ze jeśli współczynnik U jest mały to przybliżenie Cowlinga jest dobre.

40 2= L() OPERATOR OSCYLACJI ADIABATYCZNYCH
Pamiętamy, że równanie ruchu ma postać 2=p’-’- ’ 2= L() Zagadnienie na rzeczywiste wartości własne k2 i odpowiadajace im wektory własne k Jeśli k2 >0 to rozwiazanie opisuje mod oscylacji .

41 OPERATOR OSCYLACJI ADIABATYCZNYCH
L - operator hermitowski (liniowy, rzeczywisty, symetryczny) Ik – moment bezwładności modu ( inercja ) Ik małe – mody ciśnieniowe Ik duże – mody grawitacyjne

42 ZASADA WARIACYJNA Ponieważ operator nieradialnych oscylacji adiabatycznych jest symetryczny 2 spełnia zasadę wariacyjną

43 Rozważmy model statyczny nieco różniący się od
zadanego  = z + , L= Lz + L. Szukamy  . Czyli do wyliczenia poprawki do  nie trzeba wyliczać poprawek do wektorów własnych.

44 RADIALNE PULSACJE ADIABATYCZNE

45 Dla =0 pierwsze równanie pulsacyjne redukuje się do
podstawiamy do 3-go równania pulsacyjnego i otrzymujemy

46 całkujemy zakładając, że d’/dr nie jest osobliwe dla r=0
Podstawiamy te związki do drugiego równania pulsacyjnego i korzystamy z relacji dla stanu równowagowego

47 otrzymujemy równanie różniczkowe na adiabatyczne pulsacje radialne
Równanie to z warunkami brzegowymi dla =0: r=0 dla r =0, p =0 dla r=R jest zagadnieniem typu Sturma–Liouville’a na wartości własne 2, ze wszystkim konsekwencjami (Wykład 2).

48 NIERADIALNE PULSACJE ADIABATYCZNE

49 W przybliżeniu Cowlinga (’=0) mamy dwa równania,
w których są wyrazy proporcjonalne do 2 i 1/2 Dla przypadków asymptotycznych, 2  i 2 0, zagadnienie L[r]=0 z warunkami brzegowymi staje się zagadnieniem Sturma–Liouville’a.

50 Bezwymiarowa częstotliwość w funkcji  dla politropy n=3
log 2  Dla danego n częstotliwość jest wyższa dla wyższych wartości . Unno et al. 1989

51 Funkcje własne przesunięcia radialnego dla  =2,
dla politropy n=3, w funkcji odległości od centrum. Unno et al. 1989