Dane Informacyjne Nazwa szkoły: VIII LO im. A. Mickiewicza w Poznaniu

Prezentacja na temat: "Dane Informacyjne Nazwa szkoły: VIII LO im. A. Mickiewicza w Poznaniu"— Zapis prezentacji:

1

2 Dane Informacyjne Nazwa szkoły: VIII LO im. A. Mickiewicza w Poznaniu
ID grupy: /94_MF_G2 Kompetencja: matematyka i fizyka Temat projektowy: Liczby Fibonacciego Semestr/rok szkolny: /2012

3 Liczby Fibonacciego

4 Fibonacci (Leonardo z Pizy)
włoski matematyk twierdził, że „matematyka jest wszędzie – w całym otaczającym nas świecie...”

5 Biografia Fibonacciego
Bez większej przesady można powiedzieć, że europejska matematyka po wielu wiekach uśpienia zaczęła się odradzać na przełomie XII i XIII wieku i to za sprawą jednego człowieka. Był nim Pizańczyk - Leonardo Fibonacci. Ojciec Fibonacciego - Bonaccio, pizański kupiec, był gubernatorem włoskiej kolonii w północno-afrykańskim porcie Boużia. Tam Leonardo pobierał pierwsze lekcje matematyki u arabskiego nauczyciela. Dalsze studia zawiodły go w rozliczne miejsca. Były to Egipt, Syria, Prowansja, Grecja i Sycylia.

6 Biografia Fibonacciego
Po powrocie do Pizy, w 1202 roku, Leonardo napisał swoje głośne dzieło Liber Abaci (Księga Rachunków), w której pojawiają się arabskie cyfry. Warto tu wspomnieć, że ten dla nas tak dzisiaj naturalny system, wędrował do Europy za pośrednictwem Arabów dobre parę setek lat. Słynny wynalazek hinduski - zero, pojawiło się około IV-V wieku po Chrystusie, początkowo w formie kropki. Wraz z jego pojawieniem rozpoczął się dziesiętny system pozycyjny.

7 Biografia Fibonacciego – najważniejsze fakty
Znany również jako Leonardo z Pizy. Urodził się ok. 1180, zmarł ok W 1202 roku opublikował dzieło „Księga abaku” (Liber abaci) w której przedstawił całą ówczesną wiedzę z zakresu arytmetyki i algebry, podał tam również dziesiątkowy układ liczbowy i cyfry pochodzenia indyjskiego. W 1220 roku opublikował dzieło „Geometria praktyczna” (Practica geometriae)- dzieło o zastosowaniu algebry do geometrii. Jego dzieła stały się znane dopiero 200 lat po jego śmierci.

8 Biografia Fibonacciego – najważniejsze fakty
Znany również jako Leonardo z Pizy. Urodził się ok. 1180, zmarł ok W 1202 roku opublikował dzieło „Księga abaku” (Liber abaci) w której przedstawił całą ówczesną wiedzę z zakresu arytmetyki i algebry, podał tam również dziesiątkowy układ liczbowy i cyfry pochodzenia indyjskiego. W 1220 roku opublikował dzieło „Geometria praktyczna” (Practica geometriae)- dzieło o zastosowaniu algebry do geometrii. Jego dzieła stały się znane dopiero 200 lat po jego śmierci.

9 Króliki W czasie kolonizacji Australii plagą stały się przywiezione przez europejskich żeglarzy króliki. W parę lat króliki zdziczały a ich populacja wzrosła do tego stopnia, ze zaczęła zagrażać pastwiskom owiec. Leonardo Fibonacci, w swojej książce Liber Abbaci opublikowanej w 1202 r., zajął się problemem dotyczącym szybkości rozmnażania się stada królików.

10 Króliki W Liber Abaci Fibonacci rozważał następujący problem:
Ile będzie królików po liczbie n miesięcy, jeżeli: nowa para staje się płodna po miesiącu życia każda płodna para rodzi jedną parę nowych królików w miesiącu króliki nigdy nie umierają

11 Etapy ich rozwoju Fibonacci ujął na schemacie
Króliki Etapy ich rozwoju Fibonacci ujął na schemacie miesiąc liczba par styczeń para początkowa 1 luty 1 marzec 2 kwiecień 3 maj 5 8 czerwiec lipiec 13

12 Etapy ich rozwoju Fibonacci ujął na schemacie
Króliki Etapy ich rozwoju Fibonacci ujął na schemacie miesiąc liczba par styczeń para początkowa 1 luty 1 W każdym kolejnym miesiącu liczba par królików jest równa liczbie par z poprzedniego miesiąca, (króliki nie wymierają), plus liczba par nowo narodzonych królików, a tych jest tyle, ile było par dwa miesiące wcześniej. marzec 2 kwiecień 3 maj 5 8 czerwiec lipiec 13

13 Otrzymane liczby to liczby Fibonacciego
Króliki Otrzymane liczby to liczby Fibonacciego

14 Ciąg Fibonacciego Ciąg liczb Fibonacciego to ciąg liczb naturalnych, w którym każda liczba (oprócz dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich. Rekurencyjnie można go przedstawić w następujący sposób:

15 Pojęcie ciągu Ciągiem nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczba naturalnych (bez zera). Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu. (i nie ma nic wspólnego z ciągiem alkoholowym...) Np. jeśli ciąg mamy określony wzorem an=n2+2n, to wyrazy ciągu to: a1=3, a2=8, a3=15, itd. Jeśli mamy podany wzór ciągu oraz wartość wyrazu i mamy policzyć wyraz: np. an=2n2-13n+11, a szukany wyraz ma wartość 5, to rozwiązujemy równanie 2n2-13n+11=5 ⇔ 2n2-13n+6=0. Jest to typowe równanie kwadratowe, wyliczamy deltę i pierwiastki: Δ=121, n1=0.5, n2=6. n to nic innego jak numer wyrazu, ponieważ wyrazy są ponumerowane liczbami naturalnymi odrzucamy rozwiązanie n=0.5. Zatem wartość 5 w ciągu o wzorze an=2n2-13n+11 ma 6 wyraz.

16 Ciąg rekurencyjny Rekurencyjne określenie ciągu wygląda np. tak: Rekurencyjne określenie ciągu polega na wyliczaniu danego wyrazu ciągu na podstawie poprzedniego. W tym przykładzie wyraz a1=2, wyraz a2=2⋅a1-1=2⋅2-1=3, a3=2⋅a2-1=2⋅3-1=5, itd. Jeśli chodzi o zadania w stylu "Znajdź i udowodnij wzór na wyraz ogólny tego ciągu, są dwa główne sposoby: kombinatoryka i wyprowadzenie wzoru na n-ty wyraz ciągu. Aby lepiej przyswoić sobie pojęcie ciągu rekurencyjnego rozwiążmy kilka przykładowych zadań.

17 Przykładowe zadania z ciągów rekurencyjnych
1. Wyznacz rekurencyjne określenie ciągu (an) a) an = n(n+1) b) an = 1/n 2. Ciąg (an), gdzie n≥1 dany jest wzorem rekurencyjnym: a) Oblicz sumę 21 początkowych wyrazów tego ciągu. b) Wyznacz wszystkie liczby naturalne , dla których spełniona jest nierówność 3. Podaj wzór na n-ty wyraz ciągu (an), jeżeli a1 = 2 i an+1 = 7an dla n≥1

18 Odpowiedz 1 a) Wyznaczamy wyrazy: a1 = 1 * 2 = 2 oraz an+1 = (n+1)(n+2) Teraz możemy określić ten ciąg rekurencyjnie na podstawie różnicy: an+1 – an = (n+1)(n+2) – n(n+1) = n2 + 3n + 2 – (n2 + n) = 2n + 2 Stąd otrzymujemy rekurencyjnie określenie ciągu (an): a1 = 2 an+1 = an + 2n + 2 dla n≥1 b) Wyznaczmy wyrazy: a1 = 1/1 = 1 oraz an+1 = 1/(n+1) Rekurencyjne określenie ciągu możemy także wyznaczyć na podstawie ilorazu: an+1/an = n/(n+1) Stąd otrzymujemy rekurencyjne określenie ciągu (an): a1 = 1 an+1 = n/(n+1) * an { {

19 Odpowiedz 2 a) Przekształćmy podany warunek rekurencyjny: Różnica r = -√2 Wykorzystując wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: Obliczmy sumę 21 początkowych wyrazów podanego ciągu: S21= (2√6 – 20√2)/2 * 21 S21= (√6 – 20√) * 21 S21= 21√6 – 210√2

20 Odpowiedz 2 b) Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: Rozwiązujemy nierówność: 1 + √3 ≈ 2,71 7√2 - √3 + 1 ≈ 9,89 – 1, ≈ 9,18 n jest liczbą naturalną, więc:

21 Odpowiedz 3 an = 7an-1 = 72an-2 = 73an-3 = = 74an-4 = … = 7n-2a2 = 7n-1a1= = 7an-1 * 2 Zauważmy, że suma wykładnika potęgi 7 i numeru wyrazu dają n. Więc możemy „zamienić” je miejscami (suma pozostanie niezmieniona).

22 Wieża Hanoi Mamy trzy pałeczki. Na jedną z nich nadziano n krążków w kolejności od największego na dole do najmniejszego na górze. Należy przenieść wszystkie krążki z jednej pałeczki na drugą, przy czym wolno za każdym razem przenosić tylko jeden krążek i nie wolno kłaść większego krążka na mniejszy. W czasie przenoszenia wolno kłaść krążki na wszystkich trzech pałeczkach. Ile najmniej ruchów (tzn. pojedynczych przeniesień krążków) potrzeba, by przenieść wszystkie n krążków?

23 Wieża Hanoi Jak to działa? oznaczmy podstawki przez A, B, C niech n oznacza liczbę krążków ponumerujmy krążki od najmniejszego u góry do największego u dołu W celu przeniesienia n krążków z A do B należy: przenieść n-1 krążków z A do C – wówczas n-ty dysk samotnie pozostaje w A przenieść n-ty (największy) krążek z A do B przenieść n-1 krążków z C do B

24 Wieża Hanoi 3. 5. 7. 4. 6. 8.

25 Wieża Hanoi Przez XY oznaczmy czynność przenoszenia krążka z położenia X do położenia Y, w takim razie zadanie wykonane na poprzednim slajdzie można zapisać następująco: Dane wejściowe do algorytmu to liczba krążków n, a danymi wyjściowymi jest lista ruchów X  Y, które należy wykonać aby rozwiązać zadanie. Lista ruchów dla n=3 wygląda tak jak powyżej. Dla n=3 wymaganych jest 2n - 1 = 7 ruchów. A®B A®C B®C C®A C®B 1 2 3 4 5 6 7

26 Wieża Hanoi Co gdy liczba krążków wyniesie np. 64? Oznaczmy przez Hn najmniejszą liczbę ruchów, które należy wykonać by przenieść n krążków z jednej pałeczki na inną. Chcemy przenieść n+1 krążków z pierwszej pałeczki na drugą. W którymś momencie będziemy musieli przenieść największy krążek, leżący na samym dole na pierwszej pałeczce. Musimy przedtem zdjąć z niego wszystkie mniejsze krążki.

27 Wieża Hanoi Nie mogą one też leżeć na drugiej pałeczce, bo tam mamy położyć największy krążek. Musimy zatem przenieść n krążków z pierwszej pałeczki na trzecią. Wykonamy w tym celu Hn ruchów. Następnie przenosimy największy krążek (to jest jeden ruch) i wreszcie przenosimy n krążków z trzeciej pałeczki na drugą (tu znów mamy Hn ruchów). Razem wykonamy więc 2 ・Hn +1 ruchów.

28 Wieża Hanoi H0 = 0, Hn+1 = 2 ・ Hn + 1 dla n ≥ 0.
Równanie rekurencyjne: H0 = 0, Hn+1 = 2 ・ Hn + 1 dla n ≥ 0. Obliczmy kilka początkowych wyrazów ciągu (Hn): H0 = 0, H1 = 2H0 + 1 = 1, H2 = 2H1 + 1 = 3, H3 = 2H2 + 1 = 7, H4 = 2H3 + 1 = 15 i tak dalej. Wzór ogólny będzie zatem wyglądał w następujący sposób: Hn = 2n − 1

29 Żaby Fibonacciego Oto możliwe drogi żaby na czwarty kamień: Łącznie ma więc pięć rożnych sposobów dostania się na czwarty kamień. A ile istnieje sposobów dostania się na n-ty kamień?

30 Żaby Fibonacciego Oznaczmy przez Fn liczbę dróg żaby na n-ty kamień. Oczywiście F1 = 1. Na kamień z numerem 1 żaba może dostać się tylko w jeden sposób – ma wykonać jeden pojedynczy skok: Następnie F2 = 2. Na kamień z numerem 2 żaba może dostać się dwoma sposobami – wykonać dwa skoki pojedyncze lub jeden podwójny:

31 Żaby Fibonacciego F0 = 1, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn dla n ≥ 0. Wzór
Zobaczmy teraz, na ile sposobów żaba może się dostać na kamień o numerze n + 2. Ma ona Fn rożnych dróg na kamień o numerze n i Fn+1 dróg na kamień o numerze n+1. Ponieważ ostatni skok żaby jest skokiem podwójnym z kamienia o numerze n lub pojedynczym z kamienia o numerze n + 1, więc łącznie istnieje Fn + Fn+1 dróg żaby na kamień n + 2. A więc Fn+2 = Fn+1 + Fn. Zatem na trzeci kamień żaba może dostać się na = 3 sposoby, na czwarty na = 5 sposobów i tak dalej. Zatem ciąg (Fn) określony jest wzorami: F0 = 1, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn dla n ≥ 0.

32 Ciąg Lucasa W ciągu Lucasa każde kolejne wyrazy (tak jak w ciągu Fibonacciego) są sumą dwóch poprzednich, jednak różne są wartości pierwszych dwóch wyrazów tych ciągów: F0=0 F1=1 F2=1 F3=2 F4=3 L0=2 L1=1 L2=3 L3=4 L4=7

33 Zależności między ciągiem Fibonacciego i Lucasa

34 O ułamkach łańcuchowych

35 Zależności między kolejnymi wyrazami ciągu
Zależność między dwoma kolejnymi liczbami ciągu Fibonacciego zawsze można przedstawić jako skończony ułamek łańcuchowy arytmetyczny. Każda kolejna para liczb „poszerza” ułamek, tworząc go dłuższym o jedną część:

36 Czym jest trójkąt Pascla?
1 1 1 1 1 1 1 1 1

37 Czym jest trójkąt Pascla?
1 1 1 1 2 1 1 1 1 1

38 Czym jest trójkąt Pascla?
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 1

39 Czym jest trójkąt Pascla?
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

40 O trójkącie Pascala Aby zacząć mówić o trójkącie Pascala należy powiedzieć jak numerowane są tu miejsca: Wszystkie pozycje 0 układają się w rząd 0, pozycje 1, w rząd jeden, pozycje n w rząd n itd...

41 O trójkącie Pascala

42 O trójkącie Pascala WŁAŚCIWOŚCI w wierszu o numerze n jest n+1 liczb
suma liczb w wierszu n jest równa 2n pierwszy rząd składa się z kolejnych liczb naturalnych drugi rząd składa się z liczb trójkątnych (to znaczy, że odległości między tymi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi)

43 O trójkącie Pascala Poprowadźmy kilka prostych i policzmy sumę liczb znajdujących się na tej prostej:

44 Jak graficznie przedstawić ciąg Fibonacciego?
Ciąg kwadratów, których długości boków są kolejnymi liczbami Fibonacciego

45 Związek liczb Fibonacciego z złotą liczbą
Granica ciągu czyli ilorazów sąsiadujących ze sobą wyrazów ciągu Fibonacciego to tzw. złota liczba lub złota proporcja definiowana jako dodatnie rozwiązanie równania : lub

46 Ale czym jest złota liczba ?
Złoty podział (łac. sectio aurea), podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja (łac. divina proportio) – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ (czyt. "fi"). Wartość złotej liczby to : Co w rozwinięciu dziesiętnym prezentuje się następująco: Fi= 1,

47 Złota liczba a ciąg Fibonacciego
Kolejne, coraz to dokładniejsze rozwinięcia liczby Fi można obliczać dzieląc przez siebie kolejne ilorazy sąsiednich liczb ciągu Fibonacciego.

48 Złota liczba a ciąg Fibonacciego
Działa to także w drugą stronę: Każda liczba ciągu Fibonacciego pomnożona przez liczbę Fi= 1, daje kolejną liczbę tego ciągu. Co więcej, im większą liczbę tego ciągu pomnożymy przez złotą liczbę to otrzymamy dokładniejsze przybliżenie kolejnej liczby ciągu Fibonacciego.

49 historiA złotej liczby
Najstarsza wzmianka o złotej liczbie jako o ,,świętej proporcji” sięga 1650 r p.n.e., kiedy to spisano w Egipcie papirus Rhinda opisujący konstrukcję Wielkiej Piramidy w Gizie. Herodot ( p.n.e.) nazywany przez Cycerona ojcem historii, w jednym ze swych opisów ok. 440 r p.n.e. relacjonuje, że egipscy kapłani przekazali mu informację, iż rozmiary piramidy są tak dobrane, że pole kwadratu zbudowanego na jej wysokości jest równe polu trójkąta będącego ścianą boczną piramidy.

50 Nieznane oblicze złotej liczby
Okazuje się, iż ,,boska proporcja” może mieć wiele wspólnego z ,,tym Złym”. Wynika to z działania: sin(666)+cos(6*6*6)= φ Cóż, to, co boskie, równie dobrze może być szatańskie.

51 Konstrukcja: złoty podział odcinka
Odcinek AB dzielimy na połowy i znajdujemy punkt S. Kreślimy prostą prostopadłą do AB w punkcie A. Odkładamy na tej prostej odcinek AC o długości równej |AB|. Z punktu C kreślimy łuk o środku w punkcie S do przecięcia z półprostą BA – znajdujemy punkt E. Na odcinku AB odkładamy punkt D tak by |EA| = |AD|.

52 Interpretacja geometryczna
Złoty prostokąt to prostokąt w którym długości boków pozostają w złotym stosunku. Rysujemy kwadrat i dzielimy na dwa jednakowe prostokąty, w jednym z nich prowadzimy przekątną Kreślimy łuk o promieniu równym długości przekątnej prostokąta Prowadzimy prostopadłą do punktu przecięcia łuku z linią podstawy

53 Interpretacja geometryczna
Okazuje się, że jeżeli odetniemy z tego prostokąta kwadrat, to pozostanie prostokąt, który jest też złoty. W ten sposób można konstruować cały zbiór takich złotych prostokątów.

54 Interpretacja geometryczna
Jeśli wykreślimy w każdym z nowopowstałych kwadratów łuki tak, by je można było łączyć kolejno ze sobą, to okaże się, że dają one w sumie spiralę, którą możemy nazwać złotą spiralą, gdyż stosunek długości jej dowolnego promienia do poprzedniego ma się tak, jak złota liczba .

55 Interpretacja geometryczna
Złoty pięciokąt: wszystkie boki, kąty i przekątne są równe. każda przekątna jest równoległa do jednego  boku. punkt przecięcia przekątnych pięciokąta foremnego wyznacza ich złoty podział. Przekątna pięciokąta foremnego pozostaje w złotej proporcji z jego bokiem.

56 Konstrukcja pięciokąta foremnego
Znajdujemy odcinek CE, zgodnie z konstrukcją "Złoty podział odcinka". Odcinek ten odkładamy na okręgu o środku w punkcie A i promieniu r = |AB|, znajdując kolejne punkty pięciokąta. Jeśli odłożymy odcinak AE to otrzymamy dziesięciokąt foremny.

57 Dziesięciokąt foremny
W dziesięciokącie foremnym bok ma długość równą długości dłuższego z odcinków wyznaczonych przez złoty podział promienia okręgu opisanego na tym dziesięciokącie. Dziesięciokąt foremny można podzielić na 10 złotych trójkątów mających wspólny wierzchołek w środku okręgu opisanego na tym wielokącie.

58 System pozycyjny System pozycyjny – metoda zapisywania liczb w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. Powszechnie używa się systemu dziesiętnego, w którym za bazę przyjmuje się liczbę dziesięć, np. zapis znaczy:

59 System Fibonacciego System Fibonacciego jest binarnym, pozycyjnym systemem liczbowym, w którym poszczególnym pozycjom odpowiadają kolejne liczby z ciągu Fibonacciego.

60 System Fibonacciego W systemie Fibonacciego wagi pozycji są kolejnymi liczbami ciągu Fibonacciego, który definiujemy następująco: f0 = 0 f1 = 1 fi = fi-2 + fi-1, dla i > 1. Czyli, począwszy od elementu o numerze 2, kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego są sumą dwóch wyrazów poprzedzających. Oto kilka początkowych liczb ciągu Fibonacciego: …

61 System Fibonacciego Zapis liczby w systemie Fibonacciego wygląda następująco: waga pozycji → fn fn f3 f2 f1 cyfra → Cn-1 Cn C2 C1 C0 numer pozycji → n-1 n

62 System Fibonacciego Gdy mamy podaną liczbę w systemie Fibonacciego, by otrzymać ją w systemie dziesiątkowym, obliczamy ją w następujący sposób: waga pozycji →  f9 f8 f7 f6 f5 f4 f3 f2 f cyfra →  numer pozycji →  Liczbą w systemie dziesiątkowym jest suma wag pozycji, których cyfra = 1, tutaj: =48.

63 System Fibonacciego W systemie Fibonacciego wykorzystuje się cyfry o i 1 – można odwzorować go za pomocą bitów, tak więc jest to odmiana systemu binarnego.

64 Liczby Fibonacciego w budowie roślin

65 Kwiaty Liczba płatków wielu kwiatów, w tym popularnej stokrotki jest na ogół liczbą Fibonacciego . Przykładami takich roślin są : krwawnik kichawiec, jaskry (mają 5 płatków), lilie i tęczówki (mają 3 płatki), niektóre ostróżki (mają 8 płatków); margaretki (mają 13 płatków), niektóre astry (mają 21) czy stokrotki (mają 34, 55 lub nawet 89 płatków).

66

67

68

69 Szyszki i słoneczniki Najbardziej znanym przykładem występowania liczb w przyrodzie są zapewne układy łusek na szyszkach i układy pestek w tarczach słoneczników. Spirale na szyszce tworzone przez jej łuski są prawoskrętne i lewoskrętne. Nie zawsze szyszki, nawet tego samego gatunku, mają identyczną liczbę spiral. Jednak z wyjątkiem kilku procent badanych szyszek, łuski układają się wzdłuż spiral, których liczba jest związana z liczbami Fibonacciego. Fenomenem jest fakt, że matematyka wywiera tak duży wpływ na naturę, czy też przyroda na królową nauk.

70 Szyszki Szyszki pokazują spirale Fibonacciego wyraźnie. Oto obraz zwykłego stożka sosnowego wynikający z jego podstawy, gdzie łodygi łączą go z drzewem. 

71

72

73 Słonecznik Widać, że płatki układają się w spirale zarówno na lewo - 55 i na prawo Przekonasz się, że para liczb (licząc spirale w leczeniu lewo i wijąca się po prawej) są sąsiadami w serii Fibonacciego.

74 Liście słonecznika

75 Liście dębu Jeszcze bardziej zadziwiający wynik dają obserwacje rozkładu liści na gałązkach i gałązek na łodydze dębu. Od razu zauważymy, że nie wszystkie liście leżą jeden na drugim, podobnie gałązki. Przeciwnie, zamiast wzdłuż linii prostej, układają się one wzdłuż spirali, która okrąża łodygę. Krzywa ta nazywa się helisą. Cyklem tej krzywej nazywa się odległość liści osadzonych dokładnie jeden na drugim, wzdłuż gałęzi lub łodygi. Helisę danej rośliny można scharakteryzować dwiema liczbami: liczbą obrotów cyklu helisy wokół gałązki lub łodygi, oraz liczbą odstępów między kolejnymi liśćmi leżącymi nad sobą. Okazuje się, że dla bardzo wielu roślin te dwie liczby są Liczbami Fibonacciego. Na przykład drzewo bukowe ma cykl złożony z trzech liści i wykonuje on jeden obrót, a wierzba amerykańska ma cykl złożony z 13 liści i wykonuje on pięć obrotów.

76 Liście dębu i buku

77 Liście Taki rozkład liści i gałązek roślin można uzasadnić ich naturalnymi potrzebami zdobywania jak największej ilości światła i wilgoci.. Można więc argumentować, że liście nie rosną bezpośrednio nad sobą, gdyż zasłaniałyby sobie światło słoneczne padające z góry. Ponadto ich położenie względem siebie powoduje spadanie kropli rosy lub deszczu z jednego liścia na inny, leżący pod nim. Nie wiadomo jednak dlaczego wzorem do odstępów i układu liści są akurat Liczby Fibonacciego.

78 Jeżówka

79 Warzywa

80 Liczby Fibonacciego w budowie muszli ślimaka

81 Najbardziej efektownym przejawem istnienia złotej proporcji w świecie zwierząt są zapewne muszle, których kształt układa się zgodnie z przebiegiem tzw. Spirali Fibonacciego. Złota spirala występuje w większości kształtów muszli ślimaków czy ostryg.

82 Liczby Fibonacciego w architekturze i sztuce

83

84 Piramidy w Gizie W piramidzie zawarty jest trójkąt egipski – wysokość H, wysokość ściany a oraz łączący je odcinek na podstawie ostrosłupa. Stosunek wysokości ściany bocznej do połowy wymiaru podstawy określony jest złotą liczbą.

85 Partenon Stosunek boków prostokąta, w jakim zawarta jest budowla na Akropolu określa złota liczba.

86 Kompleks ONZ w Nowym Jorku
Plan kompleksu zbudowany jest tak, jak skorupa ślimaka, opisana liczbami Fibonacciego.

87 Sandro Botticelli Poziome kreski na obrazie Sandro Botticellego Narodziny Wenus pokazują złote proporcje.

88 Leonardo da Vinci Ten renesansowy twórca swoje dzieło Ostatnia wieczerza niemal w całości oparł na zasadzie złotego cięcia.

89 Leonardo da Vinci Złote prostokąty zawierają się w twarzy Mony Lisy.

90 Georges Seurat Płótno, na którym artysta namalował Kąpiel w Asnieres, jest złotym prostokątem. Niektóre fragmenty obrazu również wpisują się w złote prostokąty.

91 Piero della Francesca Kolejny renesansowy twórca, którego dzieła w całości oparte są na zasadzie złotego cięcia. Nie ma co się dziwić – artysta był również matematykiem.

92 Hokusai W dziele Wielka fala japoński drzeworytnik Hokusai wykorzystał złoty podział do oddania kształtu idealnej fali.

93 Michał Anioł W układzie obrazu Święta rodzina Michała Anioła wyraźnie widać pięciokąt gwiaździsty.

94 Ludwig van Beethoven Słynne otwarcie V Symfonii powtarza się również w 372 takcie – wyznacza złotą liczbę od początku utworu oraz w 228 – odcinek wyznaczający Fi od końca utworu. Całe dzieło składa się z 601 taktów.

95 Skrzypce Każde, dobrze wykonane skrzypce, również podlegają zasadzie złotego podziału. Menzura struny dzieli się na menzurę szyjki i menzurę korpusu rezonansowego. Stosunek tych długości oddają zasadę złotego cięcia.

96 Liczby Fibonacciego w przyrodzie ożywionej

97 Liczby Fibonacciego a pszczoły
Trutnie mają tylko matkę (królową) – powstają bez udziału ojca. Z kolei królowa ma dwoje rodziców – matkę (inną królową) i ojca (trutnia) .

98 Liczby Fibonacciego a pszczoły

99 Zastosowanie liczb Fibonacciego w ekonomii

100 Zastosowanie liczb Fibonacciego w ekonomii
Metoda poziomów Fibonacciego wychodzi z założenia, że liczby z ciągu Fibonacciego oraz wywodzące się z nich współczynniki możemy znaleźć w niezliczonych przypadkach w przyrodzie. Giełda oraz inne rynki finansowe jak wiadomo są tworem człowieka. Jednymi uczestnikami wszystkich rynków są wyłącznie ludzie dlatego współczynniki Fibonacciego mogą być wykorzystywane dla opisania pewnych zjawisk na nich zachodzących. W tym miejscu należy przybliżyć zagadnienie trendu w analizie technicznej. Według teorii fal Elliota trend, czyli wzrost bądź spadek kursu przez dłuższy okres czasu, można podzielić na pięć części zwanych falami. Jeśli mówimy o trendzie wzrostowym to trzy z opisanych elementów to impulsy wzrostowe, natomiast pozostałe dwa to korekty, czyli spadek ceny. W każdym, znacznym ruchu ceny korekty będą krótsze niż poprzedzające je impulsy wzrostowe. Innymi słowy trend nigdy nie jest linią prostą, a bardziej przypomina sinusoidę czyli morskie fale.

101 Zastosowanie liczb Fibonacciego w ekonomii
Podobnie jak w przypadku wyznaczania poziomów cenowych możemy za pomocą liczb bądź współczynników Fibonacciego wyznaczać prawdopodobne punkty zwrotne w czasie. Czas w tym przypadku będzie okresem jednostkowym liczonym pomiędzy kolejno występującymi ekstremami. Za jednostkę możemy obrać świecę dzienną lub godzinową. Przyjmując za jednostkę świecę dzienną możemy próbować określić ilość sesji, po których może nastąpić kolejne ekstremum. Wcześniej należy obliczyć ilość sesji dzielących kolejne dołki bądź szczyty w przeszłości. Wyniki bardzo często okazują się być liczbami z ciągu. Opisana metoda dostarcza nam kilka sposobów na to, aby wyznaczać najbardziej prawdopodobne punkty zwrotne na rynku. Założenia Fibonacciego działają analogicznie w przypadku trendu spadkowego. Jest to wiec technika z powodzeniem wykorzystywana na rynkach, na których istnieje możliwość zarabiania również na spadkach. Inwestor, który w stopniu zaawansowanym opanuje zniesienia Fibonacciego (analiza techniczna oparta na zasadzie złotej proporcji ) i dodatkowo połączy ją z innymi, równie skutecznymi, może osiągać bardzo dobre wyniki na dowolnym rynku.

102 Metody cenowe Teoria fal pozwala zaobserwować proporcje miedzy falami kolejnych ruchów cen. Fale te dzielą się na fale główne i następujące po nich fale korekty. Oba rodzaje wzrostów i spadków muszą być tego samego rzędu. Proporcję tę możemy opisać jako kolejne potęgi liczby Φ i jej odwrotności.

103 Metody czasowe Wyznaczenie dnia docelowego na bazie odległości między punktami zwrotnymi A i B oraz współczynnika 1,618. W analizie fal, okresy wynikające z sekwencji Fibonacciego wskazują na możliwe punkty zwrotne zwłaszcza jeżeli się zbiegają się z prognozowanymi poziomami cenowymi i porządkiem fal. Dłuższe obserwacje doprowadziły do powstania stref czasowych Fibonacciego, w których daty kolejnych dni docelowych obliczamy na podstawie wzoru: Cn= A + Φn gdzie: A - data dnia zwrotnego tj. dnia zmiany tendencji rynkowej. Fn- n-ta liczba ciągu Fibonacciego Cn- data n-tego dnia docelowego (DD)n

104 Metody cenowo-czasowe
Metoda ta to połączenie analizy cenowej i czasowej. Otrzymane w ten sposób punkty, dni odwrotu, oznaczane jako DD, charakteryzują się wyższym prawdopodobieństwem odwrócenia trendu, niż w każdej z powyższych dwóch metod osobno. Warunkiem powstania punktu DD jest otrzymanie takiej samej prognozy przy użyciu obydwu analiz: czasowej i cenowej.

105 Liczby Fibonacciego w proporcjach człowieka

106 Leochares - wymiary ciała mężczyzny
Odcinki: od czubka głowy do pępka (AC) i od pępka do palców stóp (CE), od czubka głowy do brody (AB) i od brody do pępka (BC), od pępka do kolan (CD) i od kolan do palców stóp (DE), pozostają w złotej proporcji. A B C D E

107 Da Vinci Leonardo Da Vinci zauważył, że ciało idealnie zbudowanego człowieka mieści się w kole i kwadracie, które w miejscach przecięcia tworzą wierzchołki złotego prostokąta.

108 Simonian Ustalił, że stosunek cyrkulującej krwi do objętości plazmy to 5:3, a stosunek objętości plazmy do globulin to 3:2 – liczby Fibonacciego. Dzięki temu można ocenić stopień zaawansowania zapalenia otrzewnej. Naukowcy udowodnili, że maksymalne ciśnienie tętnicze różni się w stosunku do ciśnienia skurczowego zdrowego człowieka w stanie spoczynku o 1,618 raza.

109 Złota ręka Człowiek idealny Leonarda stanowił pierwszą refleksję nad obecnością Fi w świecie ożywionym. Jednak już w średniowieczu ludzkie miary służyły za wzorzec pomiarowy. Konstruktorzy francuskich katedr użyli instrumentu pomiarowego składającego się z pięciu połączonych drążków o odległościach odpowiadających: dłoni, odległości między palcem małym a kciukiem, stopie i łokciowi.

110 Złota ręka Wszystkie te długości są wielokrotnościami jednej, zwanej linią, równoważnej 2,247 mm.

111 Złota ręka Odcinek Dłoń Rozstaw palców Rozstaw dłoni Stopa Łokieć Ilość linii 34 55 89 144 233 Długość w cm 7,64 12,63 20 32,36 52,36 Widać, że liczby linii są kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego, zatem stosunek każdej z nich do poprzedniej jest równy Fi, co zaskakuje tym bardziej, że źródłem jednostek były rozmiary ludzkiego ciała.

112 Złoty podział określa również…
… wygląd idealnego uśmiechu.

113 Zastosowanie liczb Fibonacciego w stomatologii

114 Zastosowanie liczb Fibonacciego w stomatologii
Fascynujące narzędzie Golden Section Divider - lekko lub szeroko otwarty wskazuje zawsze dwa segmenty według złotych proporcji. Golden Section Divider oraz bloczki z siatką pozwalają odkryć w kilka sekund teoretyczny idealny cel w stosunku do rzeczywistej sytuacji w jamie ustnej. Te informacje są bardzo bardzo przydatne dla: przypadku odbudowy estetycznej zębów przednich, tworzenia protez, ustalania kąta położenia osi zębów, gingiwektomii (zabieg chirurgiczny polegający na zmniejszeniu masy dziąsła dla potrzeb protetycznych lub implantologicznych) kontroli wosku.

115 Źródła http://pl.wikipedia.org http://www.swiatmatematyki.pl/
„Ścieżki matematyki” N. Langdon, C. Snape „Matematyka - kształcenie w zakresie podstawowym i rozszerzonym” – W. Babiański, L. Chańko, J. Czarnowska, G. Janocha - wyd. Nowa Era „Liczby Fibonacciego na Giełdzie” – Robert Fischer – wyd. WIG-PRESS 1996 Matematyka dyskretna, wykład 2, rekurencja Encyklopedia matematyka, pod red. Agnieszki Nawrot-Sabak, wyd. Greg Encyklopedia szkolna. Matematyka, pod red. prof. dr hab. Włodzimierza Waliszewskiego, WSiP.

116